कौन सी विधियाँ यह सुनिश्चित कर सकती हैं कि पीडीई सिमुलेशन के दौरान भौतिक मात्रा सकारात्मक बनी रहे?

18

दबाव, घनत्व, ऊर्जा, तापमान और एकाग्रता जैसी भौतिक मात्रा हमेशा सकारात्मक होनी चाहिए, लेकिन संख्यात्मक पद्धतियां कभी-कभी समाधान प्रक्रिया के दौरान नकारात्मक मूल्यों की गणना करती हैं। यह ठीक नहीं है क्योंकि समीकरण जटिल या अनंत मूल्यों (आमतौर पर कोड को दुर्घटनाग्रस्त) की गणना करेंगे। यह निर्धारित करने के लिए कि इन राशियों को सकारात्मक बने रहने के लिए किस संख्यात्मक विधियों का उपयोग किया जा सकता है? इनमें से कौन सी विधि सबसे कुशल है?

pde fluid-dynamics hyperbolic-pde

— जेड ब्राउन
स्रोत

यह निर्दिष्ट करने में मदद कर सकता है कि आप किस प्रकार के पीडीई में रुचि रखते हैं। नीचे दिए गए उत्तर मुख्य रूप से हाइपरबोलिक पीडीई के लिए प्रासंगिक हैं।

— डेविड केचेसन

14

सबसे आम तरीका कुछ छोटे, सकारात्मक संख्या के लिए नकारात्मक मूल्यों को रीसेट करना है। बेशक, यह एक गणितीय ध्वनि समाधान नहीं है। एक बेहतर सामान्य दृष्टिकोण जो काम कर सकता है और आसान है, वह है आपके समय कदम के आकार को कम करना।

हाइपरबोलिक पीडीई के समाधान में अक्सर नकारात्मक मूल्य उत्पन्न होते हैं, क्योंकि झटके की उपस्थिति दोलनों को जन्म दे सकती है, जो कि झटके के पास-वैक्यूम राज्यों में होने पर नकारात्मक मूल्य बनाने की प्रवृत्ति होगी। एक का उपयोग करते हुए कुल भिन्नता ह्रासमान (TVD) या अन्य गैर oscillatory ( ENO, Weno ) विधि इस प्रवृत्ति को कम कर सकते हैं। वे तरीके समाधान के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए गैर-रेखीय सीमाओं का उपयोग करने पर आधारित हैं। हालांकि, अगर आप कर सकते हैं अभी भी कई कारणों से नकारात्मक मूल्यों को प्राप्त:

यदि आप लाइनों की विधि का उपयोग करते हैं और एक उच्च-क्रम समय इंटीग्रेटर लागू करते हैं। अधिकांश TVD योजनाएं केवल TVD अर्ध-असतत अर्थों में या यूलर की विधि के साथ हैं। उच्च क्रम समय एकीकरण के लिए, आपको एक मजबूत स्थिरता संरक्षण (एसएसपी) समय के विवेक का उपयोग करना चाहिए ; इन योजनाओं को "संकुचनशील" या "एकरूपता संरक्षण" के रूप में भी जाना जाता है। सिगल गॉटलिब, ची-वांग शू और स्वयं द्वारा इस विषय पर एक हालिया पुस्तक है।
यदि आप समीकरणों के सिस्टम के लिए स्थानीय विशेषता अपघटन का उपयोग नहीं करते हैं , तो आपका समाधान TVD नहीं होगा (TVD योजनाएं केवल स्केलर समस्याओं के लिए उस संपत्ति के अधिकारी हैं)। तो यह विशेषता चर में पुनर्निर्माण / प्रक्षेप करने के लिए सबसे अच्छा है।
यदि आपके पास एक nonlinear प्रणाली है, तो नकारात्मक मान उत्पन्न हो सकते हैं भले ही आप स्थानीय विशेषता अपघटन का उपयोग करें। उदाहरण के लिए, उथले पानी के समीकरणों या यूलर समीकरणों के लिए किसी भी रेखीय रिऐमन सॉल्वर (जैसे कि एक रो सोलर) को पर्याप्त चुनौतीपूर्ण परिस्थितियों में नकारात्मक मान उत्पन्न करने के लिए दिखाया जा सकता है। एक समाधान एक एचएलएल सॉल्वर (या एचएलएल का एक प्रकार) का उपयोग करना है; उनमें से कुछ साबित सकारात्मक हैं।
टीवीडी योजनाएं केवल दूसरा आदेश हैं; उच्च आदेश गैर-दोलन योजनाएं जैसे WENO TVD या अधिकतम सिद्धांतों को कड़ाई से संतुष्ट नहीं करते हैं। लेकिन उन उच्च-क्रम योजनाओं का एक नया संशोधन करता है; इसे कई हालिया पेपर्स में विकसित किया गया है, जो जियांगक्सियॉन्ग झांग (ची-वांग शू का छात्र) है।

निश्चित रूप से, विशेष समीकरणों के लिए कई अन्य विशिष्ट दृष्टिकोण हैं, जैसे कि डेविड जॉर्ज के जियोक्लाव कोड में, जो सकारात्मकता को लागू करने के लिए अतिरिक्त गैर-भौतिक तरंगों के साथ रीमैन सॉल्वर का उपयोग करता है।

— डेविड केचेसन
स्रोत

6

यह मानते हुए कि हम किसी भी स्रोत की शर्तों के बिना हाइपरबोलिक समीकरणों को हल कर रहे हैं और यह मानते हुए कि हम भौतिक प्रारंभिक शर्तें प्रदान करते हैं, यह सुनिश्चित करते हुए कि हम जिस संख्यात्मक योजना का उपयोग करते हैं, वह कुल भिन्नता है घटते हुए समाधान की "भौतिकता" सुनिश्चित करने का एक अच्छा तरीका है। चूंकि एक टीवीडी योजना एकरसता को बनाए रखती है, इसलिए कोई नई मिनीमा या मैक्सिमा नहीं बनाई जाएगी और समाधान उन प्रारंभिक मूल्यों से बंधे रहेंगे, जिन्हें हम उम्मीद करते हैं कि वे सही तरीके से निर्धारित करेंगे। बेशक मुद्दा यह है कि टीवीडी योजनाएं सबसे स्पष्ट नहीं हैं। रैखिक योजनाओं के बीच, केवल पहली ऑर्डर योजनाएं TVD (गोडुनोव 1954) हैं। इसलिए 50 के दशक के बाद से, हाइपरबोलिक समीकरणों के समाधान के लिए उच्च सटीकता और एकरसता के संयोजन के लिए गैर-रेखीय टीवीडी योजनाओं की एक किस्म विकसित की गई है।

मेरे अनुप्रयोगों के लिए, बड़े दबाव / घनत्व ग्रेडिएंट्स के साथ नवियर -स्टोक्स समीकरणों को हल करते हुए, हम बड़े ग्रेडिएंट्स / डिसकंट्यूएटीज़ को पकड़ने और उनसे दूर रखने के लिए अच्छी सटीकता बनाए रखने के लिए एक हाइब्रिड MUSCL -central योजना का उपयोग करते हैं। पहली MUSCL स्कीम (MUSCL का अर्थ है मोनोटोन अपस्ट्रीम-सेंटर्ड स्कीम्स फॉर कंजर्वेशन लॉ) को 1979 में वान लेयर ने तैयार किया था।

यदि आप इस विषय के बारे में अधिक जानना चाहते हैं, तो कृपया हर्टन, वान लीयर, लैक, सोद और टोरो के कार्यों से परामर्श करें।

— FrenchKheldar
स्रोत

4

उपरोक्त उत्तर समय-निर्भर समस्याओं पर लागू होते हैं, लेकिन आप एक सरल दीर्घवृत्तीय समीकरण में सकारात्मकता की मांग भी कर सकते हैं। इस मामले में, आप इसे वैरिएबल असमानता के रूप में तैयार कर सकते हैं , चर के लिए सीमाएं दे सकते हैं।

PETSc में, दो VI सॉल्वर हैं। एक कम-स्थान विधि का उपयोग करता है, जहां सक्रिय बाधाओं में चर को हल करने के लिए सिस्टम से हटा दिया जाता है। अन्य एक अर्द्ध चिकनी न्यूटन विधि का उपयोग करता है ।

— मैट नेप्ले
स्रोत

3

$A$

A u = b

$Au = b$

A

$A$

A^{- 1}

$A^{-1}$

$B\in\mathbb{R}^{n \times n}$ $B\geq0$ $B$

(B \geq 0) \Leftrightarrow (u \leq v \Rightarrow B u \leq B v, \forall u, v \in R^{n})

$(B\geq 0) \qquad\Leftrightarrow\qquad (u\leq v ~\Rightarrow~ Bu\leq Bv, ~~\forall u,v \in \mathbb{R}^n )$

$A$

0 \leq b \Rightarrow 0 = A^{- 1} 0 \leq A^{- 1} b = u

$0 \leq b ~\Rightarrow~ 0=A^{-1}0 \leq A^{-1}b = u$

b

$b$

b \geq 0

$b\geq 0$

आमतौर पर, विवेकाधीन योजनाएं जो एम-मैट्रिक्स की ओर ले जाती हैं, उन्हें मोनोटोन योजना कहा जाता है और यह वे योजनाएं हैं, जो गैर-नकारात्मकता को संरक्षित करती हैं।

— एमएच
स्रोत

M

$M$