पीडीई को हल करते समय स्थानीय संरक्षण महत्वपूर्ण क्यों है?

Question

इंजीनियर अक्सर स्थानीय रूप से रूढ़िवादी तरीकों जैसे कि परिमित मात्रा, रूढ़िवादी परिमित अंतर, या पीडीई को हल करने के लिए बंद गैलेर्किन विधियों का उपयोग करने पर जोर देते हैं।

स्थानीय रूढ़िवादी नहीं है कि एक विधि का उपयोग करते समय क्या गलत हो सकता है?

ठीक है, इसलिए हाइपरबोलिक पीडीई के लिए स्थानीय संरक्षण महत्वपूर्ण है, अण्डाकार पीडीई के बारे में क्या?

Answer 1

नॉनलाइनियर हाइपरबोलिक पीडीई के समाधान में, प्रारंभिक स्थिति के सुचारू होने पर भी डिसकंटिनिटी ("झटके") दिखाई देते हैं। असंतोष की उपस्थिति में, समाधान की धारणा को केवल कमजोर अर्थों में परिभाषित किया जा सकता है। एक झटके का संख्यात्मक वेग सही रैंकिन-हगोनीओट स्थितियों पर निर्भर करता है, जो बदले में स्थानीय रूप से अभिन्न संरक्षण कानून को संख्यात्मक रूप से संतुष्ट करने पर निर्भर करता है। लैक्स-Wendroff प्रमेय गारंटी देता है कि एक संसृत संख्यात्मक पद्धति अतिशयोक्तिपूर्ण संरक्षण कानून की एक कमजोर समाधान के लिए अभिसरण होगा ही अगर विधि रूढ़िवादी है।

न केवल आपको एक रूढ़िवादी विधि का उपयोग करने की आवश्यकता है, वास्तव में आपको एक ऐसी विधि का उपयोग करने की आवश्यकता है जो सही मात्रा का संरक्षण करती है। इसका एक अच्छा उदाहरण है जो इसे LeVeque के "हाइपरबोलिक समस्याओं के लिए परिमित मात्रा पद्धति", धारा 11.12 और धारा 12.9 में बताता है। यदि आप बर्गर के समीकरण को विवेकाधीन करते हैं

$$u_t + 1/2 (u^2)_x = 0$$

लगातार विवेक के माध्यम से

$$U^{n+1}_i = U^n_i - \frac{\Delta t}{\Delta x} U^n_i (U^n_i-U^n_{i-1})$$

आप देखेंगे कि झटके गलत गति से चलते हैं, चाहे आप ग्रिड को कितना भी परिष्कृत करें। यही है, संख्यात्मक समाधान वास्तविक समाधान में परिवर्तित नहीं होगा । यदि आप इसके बजाय रूढ़िवादी विवेक का उपयोग करते हैं

$$U^{n+1}_i = U^n_i - \frac{\Delta t}{2\Delta x} ( (U^n_i)^2-(U^n_{i-1})^2)$$

फ्लक्स-डिफरेंसिंग के आधार पर, झटके सही गति से आगे बढ़ेंगे (जो इस समीकरण के लिए राज्यों के बाएं और झटके के औसत का औसत है)। इस उदाहरण का वर्णन इस IPython नोटबुक में मैंने किया था ।

रैखिक हाइपरबोलिक पीडीई के लिए, और अन्य प्रकार के पीडीई के लिए, जिनमें आमतौर पर चिकनी समाधान होते हैं, स्थानीय संरक्षण अभिसरण के लिए एक आवश्यक घटक नहीं है। हालांकि, यह अन्य कारणों के लिए महत्वपूर्ण हो सकता है (जैसे, यदि कुल द्रव्यमान ब्याज की मात्रा है)।

Answer 2

मुझे लगता है कि आपके प्रश्न का एक उत्तर यह है कि कुछ समुदायों ने हमेशा रूढ़िवादी योजनाओं का उपयोग किया है और इसलिए यह "जिस तरह से किया गया है" का हिस्सा बन गया है। कोई यह तर्क दे सकता है कि क्या यह करने का सबसे अच्छा तरीका है, लेकिन यह उतना ही फलदायी है जितना कि अंग्रेजों को दाईं ओर ड्राइव करने के लिए कहना क्योंकि यह केवल मानक पक्ष पर होने के लिए अधिक सुविधाजनक होगा।

उस ने कहा, मैं उन मामलों को देखता हूं जहां यह उपयोगी है। उदाहरण के लिए, दो-चरण झरझरा मीडिया प्रवाह के बारे में सोचें। यह समस्या आमतौर पर निम्नलिखित तरीके से सामने : यहां, समस्या का एक हिस्सा मिश्रित लाप्लास को हल कर रहा है जो पहले दो समीकरणों को बनाता है, पारंपरिक रूप से रविर्ट-थॉमस तत्वों का उपयोग करते हुए एक कार्य। उन्हें अक्सर "सामूहिक संरक्षण सुनिश्चित करने के महत्व" के कारण चुना जाता है, और एक मायने में मैं यह समझ सकता हूं: यदि आप एक वेग क्षेत्र के साथ समाप्त होते हैं जो बड़े पैमाने पर रूढ़िवादी नहीं है, तो आपको एक संतृप्ति समीकरण मिलेगा जो समग्र संरक्षण नहीं करता है परिवहन द्रव का द्रव्यमान। बेशक कोई भी यह तर्क दे सकता है कि '

$$u + K \nabla p = 0 \\ \nabla \cdot u = f \\ \partial_t S + u \cdot \nabla S = q.$$ $h\rightarrow 0$, लेकिन यह सुनिश्चित करने के लिए आग्रह है कि यह संपत्ति परिमित जाल आकारों के लिए भी रखती है, कुछ समझ में नहीं आता है।

Answer 3

कई बार, हल किए जाने वाले समीकरण एक भौतिक संरक्षण कानून का प्रतिनिधित्व करते हैं। उदाहरण के लिए, तरल गतिकी के लिए यूलर समीकरण द्रव्यमान, गति और ऊर्जा के संरक्षण का प्रतिनिधित्व करते हैं। यह देखते हुए कि अंतर्निहित वास्तविकता जो हम मॉडलिंग कर रहे हैं, रूढ़िवादी है, ऐसे तरीकों को चुनना फायदेमंद है जो रूढ़िवादी भी हैं

आप विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों के साथ भी कुछ ऐसा ही देख सकते हैं। मैक्सवेल के नियमों में चुंबकीय क्षेत्र के लिए विचलन-मुक्त स्थिति शामिल है, लेकिन उस समीकरण का उपयोग हमेशा खेतों के विकास के लिए नहीं किया जाता है। इस स्थिति का संरक्षण करने वाली एक विधि (उदाहरण के लिए: विवश परिवहन) वास्तविकता की भौतिकी से मेल खाने में मदद करती है।

संपादित करें: @hardmath ने बताया कि मैं "गलत क्या हो सकता है" को संबोधित करना भूल गया (प्रश्न (धन्यवाद!))। यह सवाल विशेष रूप से इंजीनियरों को संदर्भित करता है, लेकिन मैं अपने स्वयं के क्षेत्र (खगोल भौतिकी) से कुछ उदाहरण प्रदान करूंगा और आशा करता हूं कि वे इंजीनियरिंग अनुप्रयोग में गलत हो सकने वाले विचारों को सामान्य बनाने के लिए पर्याप्त विचारों को चित्रित करने में मदद करते हैं।

(1) जब एक सुपरनोवा का अनुकरण करते हैं, तो आपके पास एक परमाणु प्रतिक्रिया नेटवर्क (और अन्य भौतिकी से जुड़े द्रव गतिकी) हैं, लेकिन हम इसे अनदेखा करेंगे)। कई परमाणु प्रतिक्रियाएं तापमान पर दृढ़ता से निर्भर करती हैं, जो (एक प्रथम-क्रम सन्निकटन) ऊर्जा का कुछ माप है। यदि आप ऊर्जा का संरक्षण करने में विफल रहते हैं, तो आपका तापमान या तो बहुत अधिक हो जाएगा (जिस स्थिति में आपकी प्रतिक्रियाएं बहुत तेज चलती हैं और आप कहीं अधिक ऊर्जा का परिचय देते हैं और आपको एक ऐसा पलायन होता है जो मौजूद नहीं होना चाहिए) या बहुत कम (जिस स्थिति में आपकी प्रतिक्रियाएं होती हैं बहुत धीमी गति से चलाएं और आप सुपरनोवा को शक्ति नहीं दे सकते)।

(2) बाइनरी सितारों का अनुकरण करते समय, आपको कोणीय गति के संरक्षण के लिए संवेग समीकरण को फिर से बनाना होगा। यदि आप कोणीय गति का संरक्षण करने में विफल रहते हैं, तो आपके तारे एक दूसरे की सही परिक्रमा नहीं कर सकते हैं। यदि वे अतिरिक्त कोणीय गति प्राप्त करते हैं, तो वे अलग हो जाते हैं और सही ढंग से बातचीत करना बंद कर देते हैं। यदि कोणीय गति खो देते हैं, तो वे एक दूसरे में दुर्घटनाग्रस्त हो जाते हैं। इसी तरह के मुद्दे तब होते हैं जब तारकीय डिस्क का अनुकरण करते हैं। (रैखिक) संवेग का संरक्षण वांछनीय है, क्योंकि भौतिकी के नियम रैखिक गति का संरक्षण करते हैं, लेकिन कभी-कभी आपको रैखिक गति को छोड़ना पड़ता है और कोणीय गति का संरक्षण करना पड़ता है, क्योंकि यह हाथ में समस्या के लिए अधिक महत्वपूर्ण है।

मुझे स्वीकार करना होगा, चुंबकीय क्षेत्रों के विचलन-मुक्त स्थिति का हवाला देने के बावजूद, मैं वहां जानकार नहीं हूं। विचलन-मुक्त स्थिति बनाए रखने में विफलता चुंबकीय मोनोपोल उत्पन्न कर सकती है (जिसका हमारे पास वर्तमान में कोई प्रमाण नहीं है), लेकिन मेरे पास ऐसे किसी भी अच्छे उदाहरण नहीं हैं जो एक सिमुलेशन में पैदा होने वाले मुद्दों से दूर हो।

Comments

ऐसे तरीके जो स्पष्ट रूप से एक विचलन-मुक्त स्थिति को लागू नहीं करते हैं (उदाहरण के लिए एक गैलेरकिन विधि के परीक्षण कार्यों पर) जो कि प्रश्न के बारे में पूछता है, का एक अच्छा चित्रण लगता है, लेकिन यह चर्चा में सुधार होगा "[w] टोपी गलत हो "ऐसी सेटिंग में। मुझे पता है कि असंगत नवियर-स्टोक्स के संदर्भ में इसके बारे में कागजात हैं।

— हार्डमैथ

धन्यवाद, @hardmath, यह इंगित करने के लिए कि मैंने सवाल का "गलत क्या हो सकता है" पहलू को संबोधित नहीं किया। मैं अचूक नवियर-स्टोक्स का उपयोग नहीं करता हूं, लेकिन मैंने कुछ उदाहरण दिए हैं जिनसे मैं परिचित हूं। मुझे अण्डाकार पीडीई में संरक्षण का बहुत ज्ञान नहीं है, हालांकि, इसलिए मैंने अभी भी इसे छोड़ दिया है।

— ब्रेंडन

Answer 4

आज मैं एक थीसिस नवियर-स्टोक्स सिमुलेशन के लिए ईएमएसी योजना, और फ्लो पास्ट ब्लफ बॉडीज के लिए आवेदन करता हूं और नोटिस धारा 1.2 में ओपी के सवाल का जवाब दिया गया है, कम से कम आंशिक रूप से। प्रासंगिक भाग हैं:

कम्प्यूटेशनल फ्लुइड डायनामिक्स ( सीएफडी ) समुदाय में यह व्यापक रूप से माना जाता है कि अधिक भौतिकी विवेक में निर्मित होती है, असतत समाधान अधिक सटीक और स्थिर होते हैं, खासकर लंबे समय के अंतराल पर। 1959 में एन फिलिप्स [42] ने बारोट्रोपिक नाइलिनियर वोरटिटी समीकरण (एक परिमित-अंतर योजना का उपयोग करके) के लिए एक उदाहरण का निर्माण किया, जहां संवहन की शर्तों के लंबे समय के एकीकरण के परिणामस्वरूप किसी भी समय कदम के लिए संख्यात्मक सिमुलेशन की विफलता होती है। में [4] अरकावा ने दिखाया कि व्यक्ति लंबे समय तक एकीकरण के साथ अस्थिरता के मुद्दों से बच सकता है यदि विवेकाधीन योजना के द्वारा गतिज ऊर्जा और एनस्ट्रोफी (2 डी में) का संरक्षण किया जाता है। …। 2004 में, लियू और वांग ने तीन आयामी प्रवाह के लिए हेलीकॉप्टर और ऊर्जा का संरक्षण किया। में [35] , वे axisymmetric प्रवाह के लिए एक ऊर्जा और helicity-संरक्षण योजना प्रस्तुत करते हैं। वे यह भी दिखाते हैं कि उनकी दोहरी संरक्षण योजना बड़ी गैर-संख्यात्मक संख्यात्मक चिपचिपाहट की आवश्यकता को समाप्त करती है। ...

... यह सीएफडी में दशकों से ज्ञात है, कि अधिक भौतिक मात्रा एक परिमित तत्व योजना द्वारा संरक्षित की जाती है, विशेष रूप से लंबे समय के अंतराल पर भविष्यवाणी जितनी सटीक होती है। इस प्रकार एक अधिक शारीरिक रूप से सटीक योजना द्वारा प्रदान किए गए समाधान भी शारीरिक रूप से अधिक प्रासंगिक हैं। यदि कोई पूरी तरह से हल किया गया जाल और असीम रूप से छोटे समय के कदम उठा सकता है, तो आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले सभी परिमित तत्व योजनाओं को समान संख्यात्मक समाधान प्रदान करने के लिए माना जाता है। हालाँकि, व्यवहार में कोई भी 3 डी-सिमुलेशन में पूरी तरह से हल किए गए जाल को बर्दाश्त नहीं कर सकता है, खासकर समय-निर्भर समस्याओं के लिए। उदाहरण के लिए अध्याय 2 में हमें 50-60 हजार समय कदमों की आवश्यकता होती है, जहां हर बार कदम के लिए 4 मिलियन अज्ञात के साथ विरल रैखिक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता होती है। यह 24 कोर के साथ 5 नोड्स पर अत्यधिक समानांतर कोड के साथ 2-3 सप्ताह के कम्प्यूटेशनल समय की आवश्यकता थी।