"लहर समीकरण", विशेषताओं की विधि के लिए परिमित अंतर योजना

निम्नलिखित समस्या पर विचार करें जहां फोर्सिंग शब्द पर निर्भर कर सकता है ( फॉर्मूलेशन के लिए नीचे संपादित 1 देखें), और और उसका पहला डेरिवेटिव। यह 1 + 1 आयामी तरंग समीकरण है। हमारे पास प्रारंभिक डेटा पर निर्धारित है ।

W_{u v} = F

$W_{uv} = F$

u, v

$u,v$

W

$W$

{u + v = 0}

$\{u+v = 0\}$

मुझे एक अंतराल की निर्भरता के डोमेन के अंदर समाधान में दिलचस्पी है और मैं निम्नलिखित अंतर योजना पर विचार कर रहा हूं।

{u + v = 0, u \in [- u_{M}, u_{M}]}

$\{ u+v = 0, u \in [- u_M,u_M]\}$

लक्ष्य विकसित करने के लिए है द्वारा और इसी तरह । यह योजना इस अर्थ में है कि तो मैं को प्रारंभिक डेटा से ऊपर की ओर एकीकृत करके लगातार गणना कर सकता हूं ; इसलिए मुझे केवल और के विकास समीकरणों को देखने की आवश्यकता है । $W_u$ $W_u(u,v+1) - W_u(u,v) = F(u,v)$ $W_v(u+1,v) - W_v(u,v) = F(u,v)$ $W (u, v) + W_{u} (u, v) + W_{v} (u + 1, v) = W (u + 1, v + 1) = W (u, v) + W_{v} (u, v) + W_{u} (u, v + 1)$ $W(u,v) + W_u(u,v) + W_v(u+1,v) = W(u+1,v+1) = W(u,v) + W_v(u,v) + W_u(u,v+1)$ $W$ $W_v$ $W_u$
प्रारंभिक डेटा के लिए, हमें संगतता स्थिति । जिससे पता चलता है कि मैं (में आगे का उपयोग करके प्रारंभिक डेटा गणना कर सकता है ) के परिमित अंतर दिया के मूल्यों के साथ प्रारंभिक समय पर आधा पूर्णांक बिंदुओं पर । $W_u(u,v) - W_v(u+1,v-1) = W(u+1,v-1) - W(u,v)$ $u$ $W$ $W_t$ $(u+0.5,v-0.5)$

प्रश्न :

क्या यह एक प्रसिद्ध योजना है? विशेष रूप से, मुझे इस योजना का विश्लेषण कहां मिल सकता है?
किसी भी चीज़ के लिए मुझे स्पष्ट दिखना चाहिए?

बैकग्राउंड : प्रिटेंड मैं कुछ भी नहीं जानता (जो शायद सच है, जैसा कि मैं एक शुद्ध गणितज्ञ हूं, थोड़ा सा कम्प्यूटेशन मशीनरी सीखने की कोशिश कर रहा हूं)।

संपादित करें 1 : बस स्पष्ट करने के लिए (कुछ टिप्पणियों को संबोधित करने के लिए): निर्देशांक में समीकरण और और ¨null निर्देशांकों द्वारा दिए गए हैं (कुछ असामान्य कारकों तक) 2) और । तो प्रारंभिक डेटा वास्तव में । $x$ $t$

W_{t t} - W_{x x} = F

$W_{tt} - W_{xx} = F$

u

$u$

v

$v$

u = t + x

$u = t+x$

v = t - x

$v = t-x$

{u + v = 0}

$\{u+v = 0\}$

{t = 0}

$\{t = 0\}$

इसलिए अनुकूल एक जाल के बजाय मैं अनुकूल एक जाल पर विचार करता हूं जिसे ¨ 45 डिग्री से ¨ क्रिएट किया गया है। की तुलना में जहां मूल्यों पूर्णांक लेते हैं, एक के बारे में सोच सकते हैं अतिरिक्त अंक जहां होने के रूप में जाल दोनों (लेकिन सिर्फ एक का) और आधा पूर्णांक मूल्यों ले। $(t,x)$ $(u,v)$ $(t,x)$ $t,x$ $u,v$ $t$ $x$

finite-difference reference-request hyperbolic-pde

— विली वोंग
स्रोत

मैं आपकी सदस्यता से थोड़ा भ्रमित हूं, लेकिन यह मुझे किसी प्रकार के परिमित-अंतर समय-डोमेन सूत्रीकरण के रूप में देखता है । । । शायद एक कंपित मेष सूत्रीकरण (आधा सूचकांक?) के साथ।

— 19

@meawoppl: वह आमतौर पर के रूप में बजाय अपने चर कहते हैं । (सामान्य फॉर्मुलेशन में, उन्हें खिलाफ स्पेस-टाइम प्लेन में घुमाया जाता है , लेकिन यह एक अलग मामला है।)

u, v

$u,v$

x, t

$x,t$

u, v

$u,v$

45^{\circ}

$45^\circ$

x, t

$x,t$

— वुल्फगैंग बैंगर्थ

मैंने स्पष्ट करने के लिए संपादन किया है (वोल्फगैंग बंगर्थ की व्याख्या है कि मेरे मन में क्या था)।

— विली वोंग

जवाबों:

इस तरह की योजनाओं पर निश्चित रूप से साहित्य है। दो कीवर्ड हैं

विशेषताओं का संशोधित तरीका
सेमी-लैग्रेंजियन योजनाएं

20 मिनट के गोग्लिंग के बाद: कुछ संभवतः महत्वपूर्ण कागजात http://dx.doi.org/10.1137/0719063 और http://dx.doi.org/10.1137/0728024 (वहां से आगे खोज करें) हैं। वे शायद वहाँ सबसे अच्छा संदर्भ नहीं हैं , लेकिन वे आपको सही साहित्य में लाने के लिए एक प्रारंभिक बिंदु होना चाहिए।

W_{t t} - W_{x x} = F

$W_{tt}-W_{xx} = F$

u = t + x, v = t - x .

$u = t+x, \ \ \ \ v = t-x.$ , दोनों ही पहले क्रम में सटीक हैं।

$F=0$ $F$ $F=0$ $F$ $F$ विशुद्ध रूप से काल्पनिक स्वदेशी हैं, योजना अस्थिर होगी।

पीडीई को ODEs की एक प्रणाली (जैसा कि आपकी विधि में) को कम करने के सामान्य विवेकाधीन दृष्टिकोण को लाइनों की विधि के रूप में जाना जाता है। जैसा कि लाइनों के विवेक के किसी भी तरीके से, आप उच्च-क्रम वाले ODE सॉल्वर का उपयोग करके सटीकता के क्रम को बढ़ा सकते हैं और आप एक उपयुक्त अंतर्निहित ODE सॉल्वर (प्रति चरण कम्प्यूटेशनल लागत में परिचर वृद्धि के साथ) का उपयोग करके स्थिरता में सुधार कर सकते हैं।

— डेविड केचेसन
स्रोत

"लेकिन Google आपकी अधिक सहायता करेगा" वास्तव में यह बड़ी समस्याओं में से एक है। मुझे बिल्कुल यकीन नहीं है कि Google के लिए क्या है (मुझे संदेह है कि संख्यात्मक साहित्य शुद्ध साहित्य से कुछ अलग शब्दों का उपयोग कर सकता है)। यदि आप कुछ ऐसे कीवर्ड सुझा सकते हैं जिन्हें मुझे खोजना चाहिए, तो मैं आभारी रहूँगा। ("लाइनों की विधि", उदाहरण के लिए, मुझे सूचना की एक सत्य संपत्ति की ओर इशारा कर रही है [शायद मेरे लिए थोड़ा सा भी फिल्टर के माध्यम से सक्षम होना चाहिए]]।)

— विली वोंग

@WillieWong - हाइपरबोलिक समीकरणों के लिए एक संदर्भ जो हम आमतौर पर उद्धृत करते हैं, हाइपरबोलिक समस्याओं के लिए लेवीक के परिमित मात्रा के तरीके हैं । मुझे यकीन नहीं है कि आपके साथ शुरू करने के लिए यह सही संदर्भ है, लेकिन यह कम से कम आपको क्षेत्र में शर्तों और तकनीकों का परिचय प्रदान करेगा।

— एरन अहमदिया

ठीक है, मैंने कुछ कीवर्ड और संदर्भ जोड़े। मुझे उम्मीद है कि वे मदद करेंगे।

— डेविड केचेसन

संदर्भ के लिए बहुत धन्यवाद! इससे मुझे अच्छी शुरुआत मिली।

— विली वोंग

डेविड केचेसन ने मुझे अपने उत्तर में छोड़ दिया, जहां से शुरू होकर थोड़ी और खोज से कुछ ऐतिहासिक नोटों का पता चला।

मेरे द्वारा ऊपर बताई गई योजना को 1900 में जे मासौ द्वारा पहले से ही वापस माना गया था । काम 1952 में जी डेलपोर्टे, मॉन्स द्वारा पुनः प्रकाशित किया गया।

इसके अभिसरण का पहला (यद्यपि संक्षिप्त) आधुनिक विश्लेषण और इस तरह मैथ में उनके क्लासिक 1928 के पेपर में कोर्टेंट, फ्रेडरिक, और लेवी द्वारा दिया गया था। एन।

— विली वोंग
स्रोत

वाह, मुझे विश्वास नहीं हो रहा है कि मुझे एहसास नहीं था कि यह सीएफएल पेपर में था ...

— डेविड केचेसन