विशाल घने रैखिक प्रणाली को हल करना?

Question

क्या निम्न रैखिक प्रणाली को कुशलतापूर्वक पुनरावृत्त विधि से हल करने में कोई उम्मीद है?

$A \in \mathbb{R}^{n \times n}, x \in \mathbb{R}^n, b \in \mathbb{R}^n \text{, with } n > 10^6$

$Ax=b$

साथ में

Δ - 6 6 $A=(\Delta - K)$ , जहाँ कुछ विकर्णों के साथ एक बहुत ही विरल मैट्रिक्स है, जो लाप्लास ऑपरेटर के विवेक से उत्पन्न होता है। इसके मुख्य विकर्ण पर और इस पर साथ अन्य विकर्ण हैं ।$\Delta$$-6$$6$$1$

आर एन × $K$ एक पूर्ण मैट्रिक्स है जिसमें पूरी तरह से शामिल हैं।$\mathbb{R}^{n \times n}$

हल करना गॉस-सेडेल जैसे पुनरावृत्त तरीकों के साथ ठीक काम करता है, क्योंकि यह एक विरल तिरछे वर्चस्व वाला मैट्रिक्स है। मुझे संदेह है कि समस्या की बड़ी संख्या के लिए कुशलतापूर्वक हल करना बहुत असंभव है , लेकिन क्या की संरचना का शोषण करते हुए शायद इसे हल करने की कोई चाल है ?$A=\Delta$$A=(\Delta - K)$$n$$K$

संपादित करें: ऐसा कुछ करना होगा

x k + $\Delta x^{k+1} = b + Kx^{k}$ // के लिए Gauss-Seidel से हल करें$x^{k+1}$

सही समाधान के लिए जुटे? मैंने पढ़ा कि इस तरह की स्प्लिटिंग विधि अगर , जहां स्पेक्ट्रल मानदंड है। मैंने मैन्युअल रूप से के eigenvalues ​​की गणना कुछ अलग छोटे मूल्यों के लिए की है और वे सभी शून्य हैं सिवाय एक के जो एक उच्च नकारात्मक मान है। ( लिए ~ 500 के बारे में ) तो मुझे लगता है कि काम नहीं करेगा।ρ Δ - 1 कश्मीर एन एन = $\rho(\Delta^{-1} K) < 1$$\rho$$\Delta^{-1} K$$n$$n=256$

EDIT: बारे में अधिक जानकारी$\Delta$ :

$\Delta \in \mathbb{R}^{n \times n}$ सममित है और नकारात्मक निश्चित और विकर्ण प्रमुख है।

यह matlab में निम्नलिखित तरीके से बनाया गया है

n=W*H*D;

e=ones(W*H*D,1);

d=[e,e,e,-6*e,e,e,e];

delta=spdiags(d, [-W*H, -W, -1, 0, 1, W, W*H], n, n);

Comments

कृपया आप पर अधिक जानकारी प्रदान कर सकते हैं ? सममित? निश्चित, अर्ध-निश्चित, निश्चित नहीं? $\Delta$

— स्टेफानो एम।

$\Delta$ सममित और नकारात्मक निश्चित है।

— यॉन 21:12

क्या के -लो-रैंक के बाद से वुडबरी मैट्रिक्स आइडेंटिटी आपकी मदद करती है?

— एरन अहमदिया

Answer 1

$n>10^6$$n \approx 10^{12}$$\Delta$$\Delta$

• सीमा प्रणाली का उपयोग करें

$$\newcommand\ee{\mathbf{e}} M = \begin{pmatrix} \Delta & \ee \\ \ee^T & 1 \end{pmatrix}$$

जहां एक कॉलम वेक्टर है जिसमें सभी शामिल हैं और सिस्टम को हल करते हैं$\ee$

$$M \begin{pmatrix} \mathbf{x} \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf{b} \\ 0 \end{pmatrix}$$

पुनरावृत्त या प्रत्यक्ष सॉल्वर का उपयोग करना।

• क्रायलोव विधि का प्रयोग करें और मैट्रिक्स को (यानी विरल मैट्रिक्स प्लस रैंक -1 सुधार) लागू करें। अपने मौजूदा पूर्व-क्रमांक , या का उपयोग करें। , विशेष रूप से यदि आप प्रत्यक्ष हल का उपयोग करना चाहते हैं, तो इसे शर्मन-मॉरिसन फॉर्मूला से अपडेट करें ।$A$$\Delta - \ee \ee^T$$P^{-1} \approx \Delta^{-1}$$\Delta$

Comments

मुझे लगता है कि आप दूसरे दृष्टिकोण से बहुत बेहतर हैं। इसका सीधा सा मतलब यह है कि आपको मैट्रिक्स को मेमोरी में स्टोर करने की कोशिश नहीं करनी चाहिए और न ही इसके साथ मैट्रिक्स वेक्टर प्रोडक्ट करने की कोशिश करनी चाहिए। बल्कि, हर बार जब आपको अपनी पुनरावृत्ति योजना में वेक्टर साथ को गुणा करना होता है , तो आप गुणा करते हैं और फिर गणना करते हैं । कोष्ठक में शब्द सिर्फ की प्रविष्टियों का योग है और आप इसे केवल एक बार ही गणना करते हैं। जेड ने पहले ही यह अच्छी तरह से समझाया लेकिन मैं संचालन के आदेश पर जोर देना चाहता था। A z h = Δ z y = h - e ( e T z ) $K$$A$$z$$h = \Delta z$$y = h - \mathbf e (\mathbf e^T z)$$z$

— वुल्फगैंग बंगर्थ जूथ