समय आयाम विशेष क्यों है?

Question

आम तौर पर, मैंने सुना है कि संख्यात्मक विश्लेषकों की राय है

"बेशक, गणितीय तौर पर, समय सिर्फ एक और आयाम है, लेकिन अभी भी, समय है विशेष"

इसका औचित्य कैसे? कम्प्यूटेशनल विज्ञान के लिए समय किस मायने में खास है?

इसके अलावा, हम बार-बार परिमित आयामों के लिए परिमित अंतरों, परिमित तत्वों, वर्णक्रमीय विधियों, ... को लागू करते हुए, हम अक्सर परिमित अंतरों का उपयोग क्यों करना पसंद करते हैं? एक संभावित कारण यह है कि हम समय के आयाम में एक आईवीपी और स्थानिक आयामों में एक बीवीपी रखते हैं। लेकिन मुझे नहीं लगता कि यह इसे पूरी तरह से सही ठहराता है।

Answer 1

Causality इंगित करता है कि जानकारी केवल समय में आगे बढ़ती है, और एल्गोरिदम को इस तथ्य का फायदा उठाने के लिए डिज़ाइन किया जाना चाहिए। टाइम स्टेपिंग स्कीम ऐसा करती हैं, जबकि ग्लोबल-इन-टाइम स्पेक्ट्रल तरीके या अन्य विचार नहीं हैं। सवाल बेशक यह है कि हर कोई इस तथ्य का फायदा उठाने पर जोर देता है - लेकिन यह समझना आसान है: यदि आपकी स्थानिक समस्या पहले से ही एक लाख अज्ञात है और आपको 1000 बार कदम उठाने की आवश्यकता है, तो आज एक विशिष्ट मशीन पर आपके पास हल करने के लिए पर्याप्त संसाधन हैं एक के बाद एक स्थानिक समस्या एक के बाद एक टाइमस्टेप, लेकिन आपके पास अज्ञात की एक युग्मित समस्या से निपटने के लिए पर्याप्त संसाधन नहीं हैं ।$10^9$

स्थिति वास्तव में बहुत अलग नहीं है जो आपके पास परिवहन की घटनाओं के स्थानिक विवेक के साथ है। निश्चित रूप से, आप विश्व स्तर पर युग्मित दृष्टिकोण का उपयोग करके शुद्ध 1 डी संवहन समीकरण को विवेकाधीन कर सकते हैं। लेकिन अगर आप दक्षता के बारे में परवाह करते हैं, तो अब तक का सबसे अच्छा तरीका एक डाउनस्ट्रीम स्वीप का उपयोग करना है जो अंतर्वाह से डोमेन के बहिर्वाह हिस्से तक जानकारी पहुंचाता है। ठीक यही समय समय पर कदम उठाने वाली योजनाओं का है।

Comments

यह एक अच्छी बात है ... स्मृति निश्चित रूप से एक बड़ी बाधा है! :)

— पॉल

मैं निश्चित रूप से इस बिंदु को देखता हूं कि कार्य-कारणता स्वाभाविक रूप से परिमित अंतर के साथ आती है, लेकिन "वैश्विक युग्मन" के साथ नहीं। इसके विपरीत, BVPs को हल करने के लिए "शूटिंग के तरीके" इसके विपरीत करते हैं। यह अवांछित कारण का परिचय देता है। विश्लेषणात्मक रूप से बोलना, कुछ समीकरणों के लिए (जैसे। 2 क्रम हाइपरबोलिक पीडीई) कार्यशीलता के लिए विशिष्टता की आवश्यकता है। हालाँकि, कुछ मामलों में, यह नहीं है, और मुझे लगता है कि एक समय में बहुत अच्छी तरह से वर्णक्रमीय तरीके कर सकते हैं। जैसा कि आप कहते हैं, मुझे लगता है कि सिस्टम का आकार कम करना भी एक बड़ी बात है। और यह कुछ मनमाने स्थानिक आयामों की तुलना में समय में एफडी करने के लिए अधिक समझ में आता है।

— पैट्रिक

Answer 2

अपने पोस्ट में उल्लिखित कार्यशीलता वुल्फगैंग के समान, हम इस कारण को देख सकते हैं कि समय का आयाम मिन्कोवस्की स्पेसटाइम दृष्टिकोण से विशेष क्यों है:$\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$

आयामी अंतरिक्ष समय एक आंतरिक उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है अगर और दो 1- Minkowski spacetime में फ़ॉर्म: , एक समान फैशन में परिभाषित किया गया है, एक आंतरिक उत्पाद (या कहने के लिए, मीट्रिक) के पीछे अंतर्ज्ञान निरपेक्ष प्रकाश गति के विचार को लागू करने के लिए, जैसे कि स्पेसटाइम में दो अलग-अलग बिंदुओं (घटनाओं) की शून्य दूरी होती है ("उसी समय में" होती है, जैसे हम दूर प्रकाश के अरबों आकाशगंगाओं की गति का अवलोकन कर रहे हों जैसे कि वे गतिमान हों) अभी) अगर वे एक ही प्रकाश शंकु पर हैं।$(3+1)$

$$(A,B) = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z - \dfrac{1}{c^2}A_t B_t$$ $A$$B$$A = A_x \rd x + A_y \rd y + A_z \rd z + A_t \rd t$$B$

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह आंतरिक उत्पाद प्रकाश की गति द्वारा समय आयामी की उपस्थिति के कारण सकारात्मक निश्चित नहीं है , इसलिए सहजता से बोल रहा है, जब एक समस्या का इलाज कर रहा है, जो कि स्पेसटाइम में मात्रा प्रसार के संबंध में है, तो हम केवल 3 में प्रमेय नहीं लागू कर सकते हैं -डिमैटिक यूक्लिडियन मेट्रिक टू -डिमैटिक स्पेसटाइम, बस 3-आयामी अण्डाकार पीडीई सिद्धांतों के बारे में सोचो और उनके संबंधित संख्यात्मक तरीके अतिपरवलयिक पीडीई सिद्धांतों से काफी भिन्न होते हैं। $c$$(3+1)$

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शायद ऑफ-टॉपिक, लेकिन स्पेस बनाम स्पेसटाइम (अण्डाकार बनाम हाइपरबोलेकिक) का एक और बड़ा अंतर यह है कि अधिकांश अण्डाकार समीकरण संतुलन का मॉडल बनाते हैं और अण्डाकारता हमें "अच्छा" नियमितता प्रदान करती है, जबकि हाइपरबोलिक समस्याओं (सदमे, दुर्लभता) में सभी प्रकार की विसंगतियाँ हैं। आदि)।

संपादित करें: मुझे नहीं पता कि आपको परिभाषा देने के अलावा अन्य अंतर के बारे में एक समर्पित लेख है, जो मैंने पहले सीखा था, विशिष्ट दीर्घवृत्तीय समीकरण जैसे कि पॉइसन समीकरण या लोच, एक स्थिर घटना, मॉडल "अगर" डेटा और "चिकनी" समाधान है गवर्नमेंट डिफरेंशियल ऑपरेटर की रुचि के डोमेन की सीमा "सुचारू" है, यह अण्डाकारता (या सकारात्मक सकारात्मक संपत्ति कहने के कारण) के कारण होता है, इस प्रकार के समीकरण हमें एक बहुत ही सहज गैलेरिन प्रकार के दृष्टिकोण की ओर ले जाते हैं (एक परीक्षण कार्य और एकीकरण भागों द्वारा), ठेठ निरंतर परिमित तत्व अच्छी तरह से काम करता है। इसी तरह की चीजें गर्मी के समीकरण जैसे परवलयिक समीकरण पर लागू होती हैं, जो समय में अनिवार्य रूप से एक अण्डाकार समीकरण है, जिसमें समान "चौरसाई" संपत्ति होती है, एक प्रारंभिक तेज कोने को समय के साथ सुचारू किया जाएगा,

हाइपरबोलिक समस्या के लिए, जिसे आमतौर पर एक संरक्षण कानून से प्राप्त किया जाता है, "रूढ़िवादी" या "फैलानेवाला" है। उदाहरण के लिए, रेखीय संवहन समीकरण, एक वेक्टर क्षेत्र के साथ प्रवाह की निश्चित मात्रा का वर्णन करता है, यह बताता है कि यह विशिष्ट मात्रा शुरू में कैसी है, बस यह वेक्टर क्षेत्र के साथ स्थानिक रूप से आगे बढ़ता है, असंतोष का प्रसार करेगा। श्रोडिंगर समीकरण, एक और हाइपरबोलिक समीकरण, हालांकि, फैलाने वाला है, यह एक जटिल मात्रा का प्रसार है, एक गैर-दोलनशील प्रारंभिक अवस्था समय के साथ अलग-अलग दोलनशील तरंग पैकेट बन जाएगी।

जैसा कि आपने "टाइम-स्टेपिंग" का उल्लेख किया है, आप सोच सकते हैं कि समय "फ़ील्ड्स" में "प्रवाह" की मात्रा एक निश्चित वेग के साथ कार्य-कारण के रूप में होती है, जो कि रैखिक संवहन समीकरण BVP के समान है, हमें केवल इनफ्लो बाउंडेड कंडीशन लागू करना होगा। अर्थात, ब्याज के क्षेत्र में प्रवाहित होने के दौरान मात्रा क्या है, और समाधान हमें बताएगा कि बहते समय क्या मात्रा होती है, एक विचार हर विधि के समान है जो समय-कदम का उपयोग करता है। अंतरिक्ष में 2 डी संवहन समीकरण को हल करना स्पेसटाइम में 1 डी एक तरफा प्रसार समस्या को हल करने जैसा है। संख्यात्मक योजनाओं के लिए, आप स्पेसटाइम एफईएम के बारे में जान सकते हैं।

Comments

मुझे कहना होगा कि आप जो कहते हैं, उसमें से अधिकांश मेरे सिर के ऊपर है। लेकिन आखिरी पैराग्राफ बहुत दिलचस्प था, और निश्चित रूप से अंतर्दृष्टि उधार देता है। क्या आपके पास (अंतरिक्ष और स्पेसटाइम) बनाम (अण्डाकार और अतिशयोक्तिपूर्ण) लिंक है?

— पैट्रिक

@ पैट्रिक रुचि के लिए धन्यवाद, मैंने अपने उत्तर में अधिक संपादित किया है।

— शुआओ काओ

Answer 3

हालांकि कुछ अपवाद हैं (उदाहरण के लिए पूरी तरह से परिमित तत्व विधियों), अस्थायी विवेचना का तात्पर्य सूचना के प्रवाह में अंतर्निहित अनुक्रमिक निर्भरता से है। यह निर्भरता सेमी-असतत एल्गोरिदम (अंतरिक्ष में बीवीपी, समय में आईवीपी) को क्रमबद्ध तरीके से उप-उत्पाद के समाधान की गणना करने के लिए प्रतिबंधित करती है। यह विवेक आमतौर पर अपनी सादगी के लिए पसंद किया जाता है और क्योंकि यह अंतरिक्ष और समय दोनों में विश्लेषक को उच्च सटीकता के लिए कई अच्छी तरह से विकसित एल्गोरिदम प्रदान करता है।

यह संभव है (और सरल) स्थानिक आयामों में परिमित अंतर का उपयोग करने के लिए, लेकिन परिमित तत्व विधियाँ परिमित अंतर विधियों की तुलना में ब्याज पर डोमेन के प्रकार (जैसे गैर-नियमित आकार) में आसान लचीलापन प्रदान करती हैं। स्थानिक विवेक का "अच्छा" विकल्प अक्सर बहुत समस्या पर निर्भर होता है।