परिमित तत्व विधि का परिवर्तन जब दाहिने हाथ की ओर केवल ( पिसोन कुक्कुट )

मुझे पता है कि piecewise रैखिक परिमित तत्व सन्निकटन की को संतुष्ट करता है बशर्ते कि पर्याप्त और । $u_h$

Δ u (x) = f (x) in U u (x) = 0 on \partial U

$\Delta u(x)=f(x)\quad\text{in }U\\ u(x)=0\quad\text{on }\partial U$

‖ u - u_{h} ‖_{H_{0}^{1} (U)} \leq C h ‖ f ‖_{L^{2} (U)}

$\|u-u_h\|_{H^1_0(U)}\leq Ch\|f\|_{L^2(U)}$

U

$U$

f \in L^{2} (U)

$f\in L^2(U)$

प्रश्न: अगर $f\in H^{-1}(U)\setminus L^2(U)$ , तो क्या हमारे पास निम्न अनुरूप अनुमान है, जिसमें दोनों तरफ से एक व्युत्पन्न लिया जाता है:

‖ u - u_{h} ‖_{L^{2} (U)} \leq C h ‖ f ‖_{H^{- 1} (U)} ?

$\|u-u_{h}\|_{L^2(U)}\leq Ch\|f\|_{H^{-1}(U)}\quad?$

क्या आप संदर्भ प्रदान कर सकते हैं?

विचार: चूंकि हमारे पास अभी भी $u\in H^1_0(U)$ , इसलिए में अभिसरण प्राप्त करना संभव होना चाहिए $L^2(U)$ । सहज रूप से, यह भी टुकड़े टुकड़े निरंतर कार्यों के साथ संभव होना चाहिए।

— Bananach
स्रोत

मुझे लगता है कि आपको से मानक Nitsche की ट्रिक यहां तक कि भी । आप इसे पा सकते हैं उदा जैसे ब्रेस्ट - परिमित तत्व।

‖ u - u_{h} ‖_{0} \leq C h ‖ u - u_{h} ‖_{1}

$\|u-u_h\|_0 \leq C h \|u-u_h\|_1$

u \in H^{1}

$u \in H^1$

— 14

हाँ , यह मानक ऑबिन-निट्स (या द्वैत ) चाल है। इस तथ्य का उपयोग करने के लिए विचार है कि एक ऑपरेटर ऑपरेटर मान के रूप में -norm लिखने के लिए अपना स्वयं का दोहरा स्थान है इस प्रकार हमें मनमानी लिए का अनुमान । ऐसा करने के लिए, हम " को जाते हैं में लिए पहले विचार करके समाधान में दोहरी समस्या $L^2$ $L^2$

‖ यू ‖_{{एल}^{2}} = \underset{φ \in {एल}^{2} ∖ {0}}{सुड़कना} \frac{(यू, φ)}{‖ φ ‖_{{एल}^{2}}} ।

$\|u\|_{L^2} = \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{(u,\phi)}{\|\phi\|_{L^2}}.$

(u - u_{h}, ϕ)

$(u-u_h,\phi)$

ϕ \in L^{2}

$\phi\in L^2$

u - u_{h}

$u-u_h$

H_{0}^{1}

$H^1_0$

ϕ \in L^{2}

$\phi\in L^2$

w_{ϕ} \in H_{0}^{1}

$w_\phi\in H^1_0$

\begin{matrix} (1) & (\nabla w_{φ}, \nabla v) = (φ, v) सबके लिए v \in {एच}_{0}^{1} । \end{matrix}

$\label{eq1}\tag{1} (\nabla w_\phi,\nabla v) =(\phi,v) \qquad\text{for all }v\in H^1_0.$ समीकरण की मानक नियमितता का उपयोग करते हुए, हम जानते हैं कि

‖ w_{φ} ‖_{{एच}^{2}} \leq सी ‖ φ ‖_{{एल}^{2}} ।

$\|w_\phi\|_{H^2}\leq C \|\phi\|_{L^2}.$

सम्मिलित करना में और समारोह किसी भी परिमित तत्व के लिए Galerkin ओर्थोगोनालिटी का उपयोग कर (, piecewise रैखिक अपने मामले में) अनुमान पैदावार चूंकि यह सभी , असमानता अभी भी सही है अगर हम सभी टुकड़े-टुकड़े रैखिक । हम इसलिए प्राप्त करते हैं $v=u-u_h\in H^1_0$ $\eqref{eq1}$ $w_h$

\begin{aligned} (ϕ, u - u_{h}) & = (\nabla w_{ϕ}, \nabla (u - u_{h})) \\ = (\nabla w_{ϕ} - \nabla w_{h}, \nabla (u - u_{h})) \\ \leq C ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} ‖ w_{ϕ} - w_{h} ‖_{H^{1}} . \end{aligned}

$\begin{aligned} (\phi,u-u_h) &= (\nabla w_\phi,\nabla (u-u_h))\\ &= (\nabla w_\phi-\nabla w_h,\nabla (u-u_h))\\ &\leq C \|u-u_h\|_{H^1}\|w_\phi-w_h\|_{H^1}. \end{aligned}$

w_{h}

$w_h$

w_{h}

$w_h$

\begin{matrix} (2) & ‖ u - u_{h} ‖_{L^{2}} = sup_{ϕ \in L^{2} ∖ {0}} \frac{(u - u_{h}, ϕ)}{‖ ϕ ‖_{L^{2}}} \leq C ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} sup_{ϕ \in L^{2} ∖ {0}} \frac{inf_{w_{h}} ‖ w_{ϕ} - w_{h} ‖_{H^{1}}}{‖ ϕ ‖_{L^{2}}} . \end{matrix}

$\label{eq2}\tag{2} \|u-u_h\|_{L^2} = \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{(u-u_h,\phi)}{\|\phi\|_{L^2}} \leq C \|u-u_h\|_{H^1} \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{\inf_{w_h}\|w_\phi-w_h\|_{H^1}}{\|\phi\|_{L^2}}.$ यह ऑबिन-निट्शे-लेम्मा है ।

अगला कदम अब पॉइसन समीकरण के समाधान के सर्वोत्तम परिमित तत्व अनुमान के लिए मानक त्रुटि अनुमान का उपयोग करना है। चूँकि केवल , इसलिए हमें से बेहतर अनुमान नहीं है लेकिन सौभाग्य से, हम इस तथ्य का उपयोग कर सकते हैं कि में बजाय दाहिने हाथ की ओर से उच्च नियमितता है । इस स्थिति में, हमारे पास डालने और में $u$ $H^1$

\begin{matrix} (3) & ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} \leq inf_{v_{h}} ‖ u - v_{h} ‖_{H^{1}} \leq c ‖ u ‖_{H^{1}} \leq C ‖ f ‖_{H^{- 1}} . \end{matrix}

$\label{eq3}\tag{3} \|u-u_h\|_{H^1} \leq \inf_{v_h}\|u-v_h\|_{H^1} \leq c \|u\|_{H^1} \leq C \|f\|_{H^{-1}}.$

w_{ϕ}

$w_\phi$

ϕ \in L^{2}

$\phi\in L^2$

H^{- 1}

$H^{-1}$

\begin{matrix} (4) & inf_{w_{h}} ‖ w_{ϕ} - w_{h} ‖_{H^{1}} \leq c h ‖ w_{ϕ} ‖_{H^{2}} \leq C h ‖ ϕ ‖_{L^{2}} \end{matrix}

$\label{eq4}\tag{4} \inf_{w_h}\|w_\phi-w_h\|_{H^1} \leq c h \|w_\phi\|_{H^2} \leq C h \|\phi\|_{L^2}$

(3)

$\eqref{eq3}$

(4)

$\eqref{eq4}$

(2)

$\eqref{eq2}$ अब वांछित अनुमान देता है।

(ध्यान दें कि कि मानक अनुमानों की आवश्यकता होती है बहुपद डिग्री परिमित तत्व सन्निकटन और सोबोलेव प्रतिपादक के सही समाधान संतुष्ट का , तो यह तर्क piecewise निरंतर (लिए काम नहीं करता ) सन्निकटन। हमने उस भी उपयोग किया है - अर्थात, हमारे पास एक अनुरूप अनुमान है - जो कि टुकड़े-टुकड़े स्थिरांक के लिए सही नहीं है।) $k$ $m$ $m<k+1$ $k=0$ $u-u_h\in H^1_0$

चूँकि आपने एक संदर्भ के लिए कहा: आप एक बयान (यहां तक कि नकारात्मक Sobolev रिक्त स्थान के लिए बजाय ) Theorem 5.8.3 (Theorem 5.4.8 के साथ) में पा सकते हैं। $H^{-s}$ $L^2$

सुसैन सी। ब्रेनर और एल। रिडवे स्कॉट , एमआर 2373954 परिमित तत्व विधियों का गणितीय सिद्धांत , एप्लाइड मैथेमेटिक्स में ग्रंथों ISBN: 978-0-387-75933-3।

— क्रिश्चियन क्लैसन
स्रोत

और मुझे हमारी चमकदार नई प्रशस्ति सुविधा का उपयोग करने का मौका मिला :)

— ईसाई क्लैसन

आपके उत्तर के लिए धन्यवाद, लेकिन निरंतर कार्य में एम्बेड नहीं किए गए हैं?

H_{0}^{1}

$H^1_0$

— बैनाच

हां, क्षमा करें, मैं वहां से चला गया - वे घने हैं, लेकिन एम्बेडेड नहीं हैं। द्वैत तर्क एक ही काम करता है, हालांकि (बस और सीधे काम करते हैं)। मैं उसी के अनुसार अपना उत्तर संपादित करूंगा।

H_{0}^{1}

$H^1_0$

H^{- 1}

$H^{-1}$

— क्रिश्चियन क्लैसन

व्यापक अपडेट के लिए धन्यवाद। और एक और चमकदार प्रशस्ति पत्र खोजने के लिए

— Bananach

@Praveen मुझे नहीं लगता कि आपको यहां किसी सिद्धांत की आवश्यकता है। निरंतर शून्य होने के लिए सरल चुनें ।

v_{h}

$v_h$

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