आप एक विलक्षण रेखीय ODE के आइगेंस सिस्टम को खोजने के लिए एक परिमित अंतर विधि की सटीकता में सुधार कैसे करते हैं

Question

मैं इस प्रकार के समीकरण को हल करने का प्रयास कर रहा हूं:

$\left( -\tfrac{\partial^2}{\partial x^2} - f\left(x\right) \right) \psi(x) = \lambda \psi(x)$

जहां में सबसे छोटा eigenvalues ​​और eigenvectors के लिए पर एक साधारण पोल है । सीमा शर्तें हैं: और , और मैं केवल फ़ंक्शन को देख रहा हूं ।0 एन ψ ( 0 ) = 0 ψ ( आर ) = 0 ( 0 , आर $f(x)$$0$$N$$\psi(0) = 0$$\psi(R)=0$$(0,R]$

हालांकि, अगर मैं एक बहुत ही सरल, समान रूप से परिमित अंतर विधि करता हूं, तो सबसे छोटा आइगेनवेल्यू बहुत ही गलत है, (कभी-कभी एक "झूठा" आइगेनवेल्यू होता है, जो कि मुझे पता होना चाहिए कि तुलना में अधिक नकारात्मक परिमाण के कई आदेश हैं, वास्तविक होना चाहिए) "पहला ईजेंवल्यू" दूसरा बन जाता है, लेकिन अभी भी गरीब है)।

ऐसी परिमित अंतर योजना की सटीकता को क्या प्रभावित करता है? मुझे लगता है कि विशिष्टता क्या समस्या पैदा कर रही है, और यह कि एक असमान रूप से ग्रिड से चीजों में काफी सुधार होगा, क्या ऐसे कोई कागजात हैं जो मुझे एक अच्छे गैर-समान परिमित अंतर पद्धति की ओर इंगित कर सकते हैं? लेकिन शायद एक उच्चतर ऑर्डर अंतर योजना इसे और बेहतर बनाएगी? आप कैसे निर्णय लेते हैं (या यह सिर्फ "दोनों को देखें और देखें")

ध्यान दें: मेरी परिमित अंतर योजना सममित त्रिभुज है जहां 3 विकर्ण हैं:

$\left( -\frac{1}{2 \Delta^2}, \; \frac{1}{\Delta^2} - f(x), \; -\frac{1}{2 \Delta^2} \right)$

जहां ग्रिड रिक्ति है। और मैं एक सीधा सममितीय सॉल्वर का उपयोग करके मैट्रिक्स को हल कर रहा हूं (मैं यह मान रहा हूं कि सॉल्वर द्वारा सटीकता बहुत प्रभावित नहीं होती है, क्या मैं गलत हूं?)$\Delta$

Comments

आपके अलग-अलग स्टेंसिल का मध्य पद 1 नहीं होना चाहिएबजाय? $\frac{1}{\Delta^2}-f(x)$

— वोल्फगैंग बैंगर्थ

Answer 1

यदि आप एक परिमित अंतर योजना की सटीकता बढ़ाना चाहते हैं, तो आप हमेशा अपने स्टैंसिल की डिग्री बढ़ाने की कोशिश कर सकते हैं। समवर्ती बिंदुओं पर, हालांकि, इससे संख्यात्मक अस्थिरता हो सकती है। इन समस्याओं से बचने और अभी भी उच्च सटीकता प्राप्त करने के लिए, मैं स्पेक्ट्रल तरीकों का उपयोग करने का सुझाव दूंगा ।

यदि आपकी समस्या में कोई समस्या नहीं है, तो आप अपने डोमेन को विभाजित करके और दो युग्मित समस्याओं को हल करके उनके चारों ओर जाने की कोशिश कर सकते हैं।

Chebfun प्रणाली (अस्वीकरण: जिनमें से मैं डेवलपर्स में से एक हूँ), जैसा कि ऊपर उल्लेख तकनीकों का उपयोग करता है और आप अपनी समस्या में एक त्वरित स्पिन दे सकता है chebguiइंटरफ़ेस। मैं इसे स्वयं आज़माता हूँ, लेकिन मुझे नहीं पता कि आपका डोमेन या है।$f(x)$

chebgui[ - 1 , 1 $-u''(x) - u(x)x = \lambda u$$[-1,1]$

अपडेट करें

यदि आप चेबफुन में बहुत अधिक हो रही बिना इस समस्या को हल करना चाहते हैं, तो सभी विवरण निक ट्रेफेथेन की पुस्तक " मैटलैब में स्पेक्ट्रल तरीके " में अध्याय 9 में होना चाहिए ।

Comments

मैंने अपनी मूल पोस्ट को यह स्पष्ट करने के लिए संपादित किया कि मैं वास्तव में पोल ​​पर नहीं देख रहा हूं, बस बहुत निकट है। जानकारी के लिए धन्यवाद, मुझे चेबफुन की जांच करनी होगी।

— एंड्रयू स्पॉट

बिना टिप्पणी के वोट दिया गया? कृपया, सभी के लाभ के लिए, क्या आप बता सकते हैं कि इस उत्तर को कैसे बेहतर बनाया जा सकता है?

— पेड्रो

Answer 2

चीजों को जल्दी से बेहतर बनाने का एक तरीका (हालांकि संभवतः ज्यादा बेहतर नहीं है) सबसे कम ऑर्डर परिमित अंतर विधियों के बीच समानता और सबसे कम ऑर्डर परिमित तत्व विधि के बीच समानता पर विचार करना है। यदि आप त्रि-विकर्ण मैट्रिक्स की गणना करते हैं जो आपको 1d में रैखिक परिमित तत्व आकार कार्यों का उपयोग करने से मिलता है, तो दूसरे डेरिवेटिव का विवेक बिल्कुल एक जैसा दिखाई देगा (एक कारक लेकिन आपको किसके लिए एक अलग शब्द मिलेगा बंद आता है । मुझे नहीं पता कि आपके मामले में कैसा दिखता है, लेकिन अभी आप उपयोग कहां करते हैं , यह बदले में जहां$\Delta x$$f(x)\psi(x)$$f(x)$$f(x_i)$$\int_{x_{i-1}}^{x_{i+1}} f(x) \varphi_i(x)$$\varphi_i(x)$टोपी समारोह है जो पर चोटियों है । यदि पर्याप्त रूप से सरल है, तो आप इस अभिन्न अंग की गणना कर सकते हैं, और यह एक अधिक सटीक मैट्रिक्स प्रदान करेगा जिसके लिए आपको आइगेनवैल्यू ढूंढना होगा।$x_i$$f(x)$

बेशक, यदि आप पहले से ही परिमित तत्व करते हैं, तो आप उच्च क्रम तत्वों का उपयोग करने में भी निवेश कर सकते हैं जो कि 1 डी में बहुत अधिक कठिन नहीं हैं।