उत्तोलन समीकरण के लिए पर्याप्त परिमित अंतर योजनाएं

Question

वेब में चर्चा के लिए समीकरण समीकरण लिए कई FD योजनाएं हैं । यहाँ उदाहरण के लिए: http://farside.ph.utexas.edu/teaching/329/lectures/nodex.html$\frac{\partial T}{\partial t}+u\frac{\partial T}{\partial x}=0$

लेकिन मैंने किसी को भी इस तरह की "निहित" उत्थान योजना का प्रस्ताव नहीं देखा है: ।$\frac{T^{n+1}_i-T^{n}_i}{\tau}+u\frac{T^{n+1}_i-T^{n+1}_{i-1}}{h_x}=0$

मेरे द्वारा देखी गई सभी अपवर्जित योजनाएं पिछले समय-चरण में स्पेसियल डेरिवेटिव में डेटा के साथ काम कर रही थीं। उसका क्या कारण है? जो मैंने ऊपर लिखा है, उसकी तुलना में शास्त्रीय अपवर्जन योजना की तुलना कैसे की जाती है?

Answer 1

कम्प्यूटेशनल तरल गतिकी में यह काफी आम है कि आप जो प्रस्ताव देते हैं, उसके समान निहित योजनाओं का उपयोग करें। लोगों को मैं के बारे में पता कॉम्पैक्ट परिमित अंतर सूत्रों पर आधारित होते हैं (बस नहीं की जगह पर के साथ मौजूदा योजनाओं में)। उदाहरण के लिए, सबसे व्यापक रूप से इस्तेमाल की जाने वाली योजनाओं में से एक 1992 में लेले द्वारा इस पत्र में> 2500 उद्धरणों के साथ विकसित की गई थी । ऐसी योजनाओं को विशिष्ट स्पष्ट योजनाओं की तुलना में बेहतर फैलाने वाले गुण हो सकते हैं।$n$$n+1$

अंतर्निहित तरीकों और बड़े समय के चरणों के आकार का उपयोग करते समय आमतौर पर अपवॉइंडिंग कम महत्वपूर्ण होती है, क्योंकि बड़ी मात्रा में प्रसार (जेरेमी द्वारा उल्लिखित) का मतलब है कि आप वैसे भी झटके को हल नहीं कर सकते हैं।

आपके द्वारा प्रस्तावित विशेष योजना के बारे में:

• यह अंतरिक्ष में एक पिछड़े अंतर और समय में पिछड़े (निहित) यूलर विधि का उपयोग करके एक विधि-आधारित लाइनों के विवेक से प्राप्त किया जा सकता है।
• यह बिना शर्त स्थिर है जब तक कि (दिलचस्प है, यह लिए भी स्थिर है यदि समय कदम छोटा नहीं है !) $u\ge0$$u<0$
• यह पारंपरिक स्पष्ट उत्थान योजना की तुलना में अधिक विघटनकारी है।
• स्पष्ट अपवर्जन योजना के विपरीत, यह यूनिट CFL स्थिति को संतुष्ट नहीं करता है (यानी, यह उस मामले में सटीक नहीं है जो ) है। इसके बजाय यह एंटी-यूनिट CFL कंडीशन को संतुष्ट करता है (यह बिल्कुल सही है अगर )।$\tau u/h = 1$$\tau u/h = -1$

Comments

कॉम्पैक्ट योजनाओं के बारे में अच्छी बात, ये निश्चित रूप से निहित योजनाओं का एक महत्वपूर्ण वर्ग हैं! इसके अलावा, कभी भी यूनिट-विरोधी सीएफएल स्थिति और पिछड़े यूलर के सटीक होने के बारे में नहीं सोचा ...

— जेरेमी कोजडॉन

$u$$x$$\rho$$T$

यह अच्छा है अगर यह नकारात्मक वेगों का इलाज कर सकता है, क्योंकि यह मेरी समस्या में हो सकता है।

— तियाम

Answer 2

ऐसा कोई कारण नहीं है कि आपने जो लिखा है वह आप नहीं कर सकते। कारणों में से एक यह असामान्य है कि हाइपरबोलिक (उत्तोलन) प्रकार की समस्याओं के लिए निर्भरता के क्षेत्र में परिमितता है। इस प्रकार एक स्पष्ट तरीके कम्प्यूटेशनल दक्षता के दृष्टिकोण से समझ में आता है।

आपके द्वारा लिखी गई निहित योजना को एक रैखिक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता होगी, भले ही आपने त्रिकोणीय लिखा है, और इस प्रकार हल करने के लिए काफी सरल है। बेशक, जब आप सिस्टम, और कई आयामों पर जाते हैं, तो सिस्टम संभवतः त्रिकोणीय नहीं होगा, हालांकि कभी-कभी यह आप के अनजान ऑर्डर के परिणामस्वरूप हो सकता है (उदाहरण के लिए क्वाक और तचेलेपी, जेसीपी 2007 और गुस्ताफसन और खालिगी, जेएससी, 2006) )।

कभी-कभी बड़े समय के कदम उठाने की आशा में लोग आपके द्वारा लिखे गए समय के अनुसार कदम बढ़ाते हुए उपयोग करेंगे, लेकिन आपको यहाँ सावधान रहना चाहिए। एक अंतर्निहित विधि का उपयोग करते समय, आप एक बड़ी मात्रा में प्रसार का परिचय देंगे, इस प्रकार आप अपने समाधान को महत्वपूर्ण रूप से नष्ट कर देंगे।

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