0,1 [] में गर्मी समीकरण के लिए आवधिक सीमा की स्थिति

Question

हमें एक आयाम में एक चिकनी प्रारंभिक हालत और गर्मी समीकरण पर विचार करें:

$$\partial_t u = \partial_{xx} u$$ खुला अंतराल में $]0,1[$ , और हमें लगता है कि हम परिमित अंतर के साथ संख्यानुसार इसे हल करना चाहते हैं।

मुझे पता है कि मेरी समस्या को अच्छी तरह से प्रस्तुत करने के लिए, मुझे इसे $x=0$ और पर सीमा स्थितियों के साथ समाप्त करने की आवश्यकता है $x=1$। मुझे पता है कि डिरिक्लेट या न्यूमैन अच्छा काम करते हैं।

अगर मेरे पास पहले मामले में $N$ आंतरिक बिंदु $x_k=\frac{k}{N+1}$ के लिए$k=1,\cdots,N$, तो मेरे पास है$N$अज्ञात:$u_k=u(x_k)$के लिए$k=1,\cdots,N$, क्योंकि$u$सीमा पर निर्धारित है।

दूसरे मामले में मैं वास्तव में है $N+2$ अज्ञात $u_0,\cdots,u_{N+1}$ , और मुझे पता दो काल्पनिक अंक की adjunction के साथ सीमा पर Laplacian discretize, उदाहरण के लिए (सजातीय) न्यूमन ईसा पूर्व का उपयोग कैसे करें $x_{-1}$ और $x_{N+2}$ और समानताएं:

$$\frac{u_1-u_{-1}}{2 h} = 0 = \frac{u_{N+2}-u_N}{2 h}$$

मेरा प्रश्न समय-समय पर ई.पू. मुझे लगता है कि मैं एक समीकरण, इस्तेमाल कर सकते हैं महसूस कर रही है अर्थात् लेकिन शायद दो, और फिर मैं का प्रयोग करेंगे ∂ एक्स यू ( 0 ) = ∂ एक्स यू ( 1

$$u(0) = u(1)$$ $$\partial_x u(0) = \partial_x u(1)$$

किंतु मुझे यकीन नहीं है। मुझे नहीं पता कि मेरे पास कितने अज्ञात होने चाहिए। क्या यह ?$N+1$

Comments

क्या आपके पास Dirichlet या Neumann सीमा स्थितियां हैं? भूत कोशिकाओं की संख्या आपके लिए न्यूमैन सीमा स्थितियों के अनुमान पर निर्भर करती है।

— ilciavo

@ilciavo, quesition आवधिक सीमा स्थितियों के बारे में है।

— बिल बैर्थ

Answer 1

ऐसा करने का सबसे अच्छा तरीका है (जैसा कि आपने कहा) केवल आवधिक सीमा की शर्तों की परिभाषा का उपयोग करें और अपने समीकरणों को इस तथ्य का उपयोग करके प्रारंभ से सही ढंग से सेट करें कि । वास्तव में, और भी अधिक दृढ़ता से, आवधिक सीमा की स्थिति x = 0 को x = 1 से पहचानती है । इस कारण से, आपको अपने समाधान डोमेन में इनमें से एक बिंदु होना चाहिए। जब कोई सीमा नहीं होती है, तो आवधिक सीमा शर्तों का उपयोग करते समय एक खुले अंतराल का कोई मतलब नहीं होता है ।$u(0)=u(1)$$x=0$$x=1$

इस तथ्य का मतलब है कि आपको पर एक बिंदु नहीं रखना चाहिए क्योंकि यह x = 0 के समान है । साथ Discretizing एन + 1 अंक, तो आप इस तथ्य का उपयोग करें कि परिभाषा के द्वारा, के बाईं ओर बिंदु एक्स 0 है एक्स एन और के अधिकार के लिए बिंदु एक्स एन है एक्स 0 ।$x=1$$x=0$$N+1$$x_0$ $x_N$$x_N$ $x_0$

आपके पीडीई को तब अंतरिक्ष में ized के रूप में विवेकाधीन किया जा सकता है

$$\frac{\partial}{\partial t} \left[\begin{array}{c} x_0 \\ x_1 \\ \vdots \\ x_N \end{array}\right] = \frac{1}{\Delta x^2} \left[\begin{array}{c} x_N - 2x_0 + x_1 \\ x_0 - 2x_1 + x_2 \\ \vdots \\ x_{N-1} - 2x_N + x_0 \end{array}\right]$$

यह के रूप में मैट्रिक्स के रूप में लिखा जा सकता है जहां एक=[ - 2 1 0 ⋯ 0 1 1 - 2 1 0 ⋯

$$\frac{\partial}{\partial t}\vec{x} = \frac{1}{\Delta x^2} \mathbf{A} \vec{x}$$ $$\mathbf{A} = \left[\begin{array}{c} -2 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ && \ddots & \ddots & \ddots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 1 & -2 \end{array}\right].$$

बेशक इस मैट्रिक्स को वास्तव में बनाने या संग्रहीत करने की कोई आवश्यकता नहीं है। पहले और आखिरी बिंदुओं को विशेष रूप से आवश्यकतानुसार संभालने के लिए ध्यान रखते हुए, मक्खी पर परिमित अंतर की गणना की जानी चाहिए।

$$\partial_t u = \partial_{xx}u + b(t,x)$$ $x\in[-1,1)$$u_\text{Ref}(t,x) = \exp(-t)\cos(5\pi x)$$b(t,x) = (25\pi^2-1)\exp(-t)\cos(5\pi x)$

clear

% Solve: u_t = u_xx + b
% with periodic boundary conditions

% analytical solution:
uRef = @(t,x) exp(-t)*cos(5*pi*x);
b = @(t,x) (25*pi^2-1)*exp(-t)*cos(5*pi*x);

% grid
N = 30;
x(:,1) = linspace(-1,1,N+1);

% leave off 1 point so initial condition is periodic
% (doesn't have a duplicate point)
x(end) = [];
uWithMatrix = uRef(0,x);
uNoMatrix = uRef(0,x);

dx = diff(x(1:2));
dt = dx.^2/2;

%Iteration matrix:
e = ones(N,1);
A = spdiags([e -2*e e], -1:1, N, N);
A(N,1) = 1;
A(1,N) = 1;
A = A/dx^2;

%indices (left, center, right) for second order centered difference
iLeft = [numel(x), 1:numel(x)-1]';
iCenter = (1:numel(x))';
iRight = [2:numel(x), 1]';

%plot
figure(1)
clf
hold on
h0=plot(x,uRef(0,x),'k--','linewidth',2);
h1=plot(x,uWithMatrix);
h2=plot(x,uNoMatrix,'o');
ylim([-1.2, 1.2])
legend('Analytical solution','Matrix solution','Matrix-free solution')
ht = title(sprintf('Time t = %0.2f',0));
xlabel('x')
ylabel('u')
drawnow

for t = 0:dt:1
    uWithMatrix = uWithMatrix + dt*( A*uWithMatrix + b(t,x) );
    uNoMatrix = uNoMatrix + dt*(  ( uNoMatrix(iLeft) ...
                                - 2*uNoMatrix(iCenter) ...
                                  + uNoMatrix(iRight) )/dx^2 ...
                                + b(t,x) );
    set(h0,'ydata',uRef(t,x))
    set(h1,'ydata',uWithMatrix)
    set(h2,'ydata',uNoMatrix)
    set(ht,'String',sprintf('Time t = %0.2f',t))
    drawnow
end

Comments

बढ़िया और सरल उपाय !! मामले में किसी को इसकी आवश्यकता है यहां अजगर में कार्यान्वयन

— ilciavo

$x$

@ bela83 आप सही हैं कि प्रारंभिक स्थिति से अधिक कुछ भी निर्दिष्ट करने की आवश्यकता नहीं है। ऐसा करने से एक निर्धारित प्रणाली खत्म हो जाएगी। आपको केवल अंतराल के अंत बिंदुओं के पास थोड़ा सावधान रहने की ज़रूरत है ताकि आप समय-समय पर चीजों को ठीक से लपेट सकें। ऐसा करने के लिए कई वैध तरीके हैं।

— डग लिपिंस्की

Answer 2

के अनुसार इस आप के रूप में आवधिक सीमा शर्तों को लागू करना चाहिए:

$$\begin{equation} u(0, t) = u(1, t) \\ u_x(0, t) = u_x(1, t) \end{equation}$$

हीट इक्वेशन को अलग करने का एक तरीका यह है कि पिछड़े यूलर का इस्तेमाल किया जाए

$$\begin{equation} \frac{u^{n+1}-u_{n}}{\Delta t}= \frac{u^{n+1}_{i+1}-2u^{n+1}_{i}+u^{n+1}_{i+1}}{\Delta x^2} \end{equation}$$

समीकरणों की प्रणाली को हल करना

$$\begin{equation} \begin{bmatrix} I-\frac{\Delta t}{\Delta x^2}A \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u^{n+1}_1 \\ u^{n+1}_1 \\ \vdots \\ \\ \\ u^{n+1}_{N} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u^n_1 \\ u^n_2 \\ \vdots \\ \\ \\ u^n_{N} \end{bmatrix} \end{equation}$$

जहाँ

$$\begin{equation} A= \begin{bmatrix} -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & 0 &\ldots & 0 \\ 0 & 1 & -2& 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1& -2 & 1 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 0& 1 & -2 & \ldots & 0 \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots & \ddots &\ddots &\vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots &0 &1 &-2 \end{bmatrix} \end{equation}$$

$u_{0}$$u_{N+1}$

$$\begin{equation} u_1 - u_{N} = 0 \\ \frac{u_{2}-u_{0}}{2 \Delta x} - \frac{u_{N+1}-u_{N-1}}{2 \Delta x} = 0 \end{equation}$$

धारा २.११ लेवेके अनुसार यह आपको लिए २ क्रम सटीकता देता है$u_x$

$$\begin{equation} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 & \ldots & 1 & 0 & -1 \\ 0 & & & & & & & 0\\ 0 & & & & & & & 0\\ 0 & & & I-\frac{\Delta t}{\Delta x^2}A & & & & 0\\ 0 & & & & & & & 0\\ 0 & & & & & & & 0\\ 0 & & & & & & & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u^{n+1}_{0}\\ u^{n+1}_1 \\ u^{n+1}_2 \\ \\ \\ \\ \\ u^{n+1}_{N} \\ u^{n+1}_{N+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ u^n_1 \\ u^n_2 \\ \\ \\ \\ \\ u^n_{N} \end{bmatrix} \end{equation}$$

जो आपको N + 2 समीकरण और N + 2 अज्ञात देता है।

आप पहले समीकरणों और भूत कोशिकाओं से भी छुटकारा पा सकते हैं और एन समीकरण और एन अज्ञात की एक प्रणाली पर पहुंच सकते हैं।

Comments

$u_{-1}$$u_N$$u_N$$]0,1[$$x_k=\frac{k}{N+1}$$x_N=\frac{N}{N+1}$

यह केवल अनुक्रमण का विषय है। आप कोशिकाओं (या अंक) के साथ u 0 से u N - 1 से शुरू करते हैं और आप दो कोशिकाओं को जोड़ते $N$$u_0$$u_{N-1}$$u_{-1}$$u_{N}$$u_1$$u_N$$u_0$$u_{N+1}$

$u_0=u_{N+1}$$N+1$

मैंने नोटेशन बदल दिया है। यह u x के लिए सन्निकटन के क्रम पर निर्भर करता है$u_x$$u(0,t)=u(1,t)$$u_x(0,t)=u_x(1,t)$

u1 = uN आपके सिस्टम में एक अतिरिक्त प्रतिबंध (समीकरण u1 = uN = 0)

— जोड़ता