क्रिलोव-त्वरित मल्टीग्रिड (एमजी के रूप में पूर्वगामी के रूप में उपयोग) कैसे प्रेरित है?

मल्टीग्रेड (एमजी) का उपयोग एक रेखीय प्रणाली को हल करने के लिए किया जा सकता है एक प्रारंभिक अनुमान निर्माण और लिए निम्नलिखित दोहराते हुए : अभिसरण तक: $Ax=b$ $x_0$ $i=0,1..$

अवशिष्ट $r_i = b-Ax_i$
एक सन्निकटन , जहाँ प्राप्त करने के लिए एक बहु-चक्र लागू करें । $\Delta x_i \approx e_i$ $Ae_i = r_i$
अपडेट $x_{i+1} \gets x_i + \Delta x_i$

मल्टीग्रिड चक्र स्मूथिंग, इंटरपोलेशन, प्रतिबंध, और सटीक मोटे ग्रिड को हल करने के लिए कुछ अनुक्रम है जो पर का उत्पादन करने के लिए लागू होता है । यह आमतौर पर एक वी-चक्र या एक डब्ल्यू-चक्र है। यह एक रैखिक ऑपरेशन है इसलिए हम । $r_i$ $\Delta x_i$ $\Delta x_i = B r_i$

कोई इस प्रक्रिया की पूर्व-निर्धारित रिचर्डसन यात्रा के रूप में व्याख्या कर सकता है। यही है, हम अपडेट करते हैं । $x_{i+1} \gets x_i + B r_i$

रिचर्डसन पुनरावृति एक प्रोटोटाइप क्रायलोव उप-विधि विधि है, जो कि अन्य क्रायलोव उप-प्रक्षेत्र के पूर्वकरण के लिए मल्टीग्रिड चक्रों के उपयोग का सुझाव देती है। इसे कभी-कभी क्रिलोव विधि के साथ "तेज" मल्टीग्रिड कहा जाता है, या वैकल्पिक रूप से क्रायलोव विधि के लिए एक पूर्व-निर्माता की पसंद के रूप में देखा जा सकता है।

ऊपर एल्गोरिथ्म का विस्तार करने का एक और तरीका पूर्ण मल्टीग्रिड (एफएमजी) को नियोजित करना है। संक्षिप्त विवरण के लिए यह उत्तर देखें ।

क्रायलोव-त्वरित एमजी को एमजी या एफएमजी के लिए किन स्थितियों में बेहतर माना जाता है?

— पैट्रिक सानन
स्रोत

(एफ) एमजी काफी संवेदनशील है, अगर एक मोड चिकनी या दो-स्तरीय सुधार से ठीक से नम नहीं होता है, तो पूरी चीज लटक जाती है। क्रिलोव विधि इन समस्याग्रस्त तरीकों को नम करने में मदद कर सकती है। इसलिए यह मुख्य रूप से मजबूती से प्रेरित है जहां तक मैं समझता हूं।

— क्रिस

कुछ मामलों में, (एफ) एमजी इष्टतम गुणों के साथ एक एल्गोरिथ्म प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, ठीक से ट्यून किए गए FMG "काम इकाइयों" की एक छोटी संख्या में कुछ अण्डाकार समस्याओं को हल कर सकते हैं, जहां एक कार्य इकाई को समस्या को स्वयं व्यक्त करने के लिए आवश्यक कम्प्यूटेशनल प्रयास के रूप में परिभाषित किया जाता है - इस मामले में अवशिष्ट बनाने के लिए संचालन बेहतरीन ग्रिड पर । यह इतनी कुशल (इसलिए हार्ड-टू-बीट) एल्गोरिथ्म है कि यह यथार्थवादी भौतिकी समस्याओं ( HPGMG ) को हल करने के लिए सुपर कंप्यूटर की अधिकतम क्षमता को मापने के लिए डिज़ाइन किए गए HPC बेंचमार्क का आधार है । यदि ऐसी कोई विधि उपलब्ध है, तो निश्चित रूप से इसका उपयोग करना उचित है। $b-Ax$

हालांकि, कई व्यावहारिक मामलों में, एक इष्टतम या प्रभावी मल्टीग्रिड विधि का उपयोग नहीं किया जाता है। ऐसा इसलिए हो सकता है

इस तरह की विधि दी गई समस्या के लिए अज्ञात या अनुपलब्ध है
पाठ्यपुस्तक अभिसरण देने के लिए स्मूदर और इंटरग्रिड ऑपरेटर पर्याप्त नहीं हैं
मोटे ग्रिड सॉल्वर अथाह है

इन मामलों में, समाधान को त्रुटि से नीचा दिखाया जा सकता है जो कि कम नहीं है क्योंकि यह मल्टीग्रिड चक्र द्वारा होना चाहिए। यदि यह त्रुटि कम-आयामी उप-स्थान में समाहित है, तो, एक क्रिलोव विधि इस त्रुटि के लिए थोड़ी सी पुनरावृत्तियों में हल कर सकती है, और इसलिए अपूर्ण मल्टीग्रेड समाधान के बाद "क्लीन अप"। यही है, यदि में कुछ उदीयमान इगंवल हैं, तो एक क्रिलोव विधि को संबंधित आइगेंसस्पेस पर कब्जा करने में सक्षम होना चाहिए। $BA$

ध्यान दें कि एक सबॉप्टिमल विधि का उपयोग करने का विकल्प क्रायलोव त्वरण का भुगतान करने वाले बिंदु पर बहुत "सस्ता" बहु-चक्र चक्र हो सकता है। यही है, वहाँ समस्याएं (और कंप्यूटिंग सिस्टम) हो सकती हैं जहां क्रिलोव-त्वरित एमजी एमजी से बेहतर प्रदर्शन कर सकते हैं। मुझे इसका एक ठोस उदाहरण खोजने में दिलचस्पी होगी।

(ऊपर दिए गए @chris और मैट नेप्ले का धन्यवाद जिन्होंने एक ट्यूटोरियल में उपरोक्त कुछ का उल्लेख किया है)

— पैट्रिक सानन
स्रोत