समय-निर्भर PDEs के लिए अंतरिक्ष-समय परिमित तत्व विवेक

Question

एफईएम साहित्य में, अर्ध-परिवर्तनीय तरीकों का उपयोग आमतौर पर समय-निर्भर पीडीई के समाधान में किया जाता है। मैंने पूरी तरह से परिवर्तनशील दृष्टिकोण नहीं देखा है, जहां एफईएम द्वारा अंतरिक्ष और समय को अलग कर दिया गया है, शायद अनस्ट्रक्चर्ड स्पेस-टाइम मेश के उपयोग की अनुमति देता है। हालांकि टाइमस्टैपिंग विधियों को लागू करना आसान हो सकता है, लेकिन क्या कोई विशेष कारण है कि स्पेस-टाइम मेशिंग व्यवहार्य नहीं है? मैं कल्पना करता हूं कि किसी दिए गए समस्या के भौतिक गुणों का सम्मान करने के लिए एक दर्जी को जाल में डालना है, लेकिन मैं निश्चित नहीं हूं।

Comments

स्पेसटाइम डिस्क्रिमिनेशन निश्चित रूप से एक चीज है। मुख्य नुकसान यह है कि आपको एक उच्च आयाम के डोमेन पर काम करना है, लेकिन कुछ लोगों ने इसे किया है, और यहां तक ​​कि स्पेसटाइम लीनियर सिस्टम के लिए कुछ विशेष प्रीकॉन्डिशनर्स विकसित किए हैं। एक प्रमुख लाभ यह है कि व्यक्ति समानांतर रेखीय बीजगणित के माध्यम से समय के साथ लंबित हो सकता है, जबकि पारंपरिक टाइमस्टैपिंग को अगले और इससे पहले हल करने के लिए एक समय की आवश्यकता होती है।

— निक अल्जीरिया

क्या आप उन तरीकों के परिवार का जिक्र कर रहे हैं, जहां आप समय को स्लैब में बदल देते हैं, जो तब त्रिकोणीय होते हैं? यदि नहीं, तो क्या आपके लिए यह वर्णित करना संभव है कि आपने ऊपर क्या वर्णन किया है?

समय में पूरी तरह से असंरचित मेषों के संबंध में, मैंने सुना है कि लोगों ने कई बार विचार का उल्लेख किया है, लेकिन कोई संदर्भ नहीं है।

— निक अल्जीरिया

यही मैं इस समय पीछा कर रहा हूं, इसलिए प्रासंगिक साहित्य के लिए मेरी खोज। सहायता के लिए धनयवाद!

बेकर और रेनैचेर, numerik.iwr.uni-uni-webergberg.de/Paper/Preprint2001-03

— निक अल्जर

Answer 1

समय-निर्भर आंशिक अंतर समीकरणों का पूर्ण स्थान-समय का विवेक वास्तव में एक चीज है। यदि आप समय में एक संरचित जाल का उपयोग करते हैं (इस अर्थ में कि समय का विवेकाधिकार अंतरिक्ष पर निर्भर नहीं करता है) और परीक्षण और परीक्षण कार्यों की उपयुक्त पसंद, तो आप कई मानक समय-चरणन विधियों (क्रैंक-निकोलसन, निहित इलर्स या कुछ रन) को फिट कर सकते हैं -कुट्टा योजनाएं) एक गेलरकिन ढांचे में, जो विश्लेषण के लिए एक सुंदर दृष्टिकोण देता है। यह वर्णित है, उदाहरण के लिए, थॉम्स की किताब गैलेर्किन फ़िनिट एलिमेंट मेथड्स फॉर पैराबोलिक प्रॉब्लम्स (स्प्रिंगर, 2 डी एड।, 2006) या क्राइसफिनोज़ 'और वाल्किंगटन के पेपर एरोबिक फॉर्मासिटीज़ के लिए डिसेबल्ड गैलेर्किन विधियों के लिए त्रुटि अनुमान । (SIAM J. Numer। Anal) । 44.1, 349–366, 2006)।

पूरी तरह से असंरचित जाल का उपयोग करना कम आम है, लेकिन हाइपरबोलिक समस्याओं के लिए समझ बना सकते हैं जहां आपके पास विशेषताओं के साथ जानकारी का परिवहन है। यदि आप एक असंतोषजनक गैलेर्किन फॉर्मूलेशन का उपयोग करते हैं, तो प्रत्येक स्पेस-टाइम तत्व केवल पड़ोसी तत्वों के साथ जोड़े हैं जिनके चेहरे की शर्तें हैं (आपके पास कोई वैश्विक निरंतरता आवश्यकताएं नहीं हैं), और आप तत्वों से तत्वों पर जाकर समाधान की गणना करने के लिए व्यापक प्रक्रिया का उपयोग कर सकते हैं। - एक प्रकार का "तिरछा" टाइम-स्टेपिंग। बेशक, इसे लागू करना अधिक कठिन है, भले ही इसके लिए पूर्ण स्थान-टाइम मेष (जो निषेधात्मक हो सकता है) को संग्रहीत करने की आवश्यकता नहीं है। दूसरी ओर, आप स्थानीय (अनुकूली) शोधन और इसलिए स्थानीय रूप से अनुकूली समय-कदम को अनुमति देने के असंरचित जाल का लाभ प्राप्त करते हैं।इलास्टोडायनामिक्स के लिए स्पेस-टाइम परिमित तत्व विधियां: योगों और त्रुटि अनुमानों , एप्लाइड मैकेनिक्स और इंजीनियरिंग 66 (3) में कंप्यूटर तरीके: 339-363, 1988 । डिस्पोजेबल गैलेर्किन विधियों के लिए स्पेसटाइम मेशिंग पर श्रीपत थाइट द्वारा पीएचडी थीसिस भी है।

एक और संदर्भ जहां मैंने यह विचार देखा है कि यह पाराबॉलिक समस्याओं के लिए पीडीई-विवश अनुकूलन में है। वहां आप पहले-क्रम के लिए आवश्यक इष्टतम परिस्थितियों को आगे-पिछड़े समीकरणों की एक युग्मित प्रणाली के रूप में तैयार कर सकते हैं, जिसे आप समय-समय पर 2-क्रम के मिश्रित सूत्रीकरण के रूप में व्याख्या कर सकते हैं, प्रारंभिक-अंतिम (और) के साथ अंतरिक्ष अण्डाकार समीकरण में 4-क्रम सीमा की स्थिति। इस युग्मित प्रणाली के एक अनुकूली अंतरिक्ष-समय के विवेकाधिकार को करते हुए, आप समाधान की गणना के लिए एक कुशल एक-शॉट दृष्टिकोण रख सकते हैं, गोंग, हिंज़, झोउ देखें: परवलयिक इष्टतम नियंत्रण समस्याओं , जे न्यूमर का स्पेस-टाइम परिमित तत्व सन्निकटन । गणित। 20 (2): 111-145 (2012) ।

Comments

ईसाई, क्या आरके योजनाएं हैं जिनका आप भी उल्लेख करते हैं?

— जेसी चैन

हां, कम से कम मुझे पता है कि वे हैं।

— क्रिश्चियन क्लैसन

Answer 2

स्पेस-टाइम मेथड्स पर हालिया पेपर हैं। स्टाइनबैक से एक है , स्पेस-टाइम फ़िनिट एलिमेंट और दूसरा लैंगर एट से। अल, अंतरिक्ष समय Isogeometric विश्लेषण सब परवलयिक विकास की समस्याओं को संबोधित। दोनों लेखों में, वे अलग-अलग रूपांतरों में लेकिन अलग-अलग रूपरेखाओं में स्पष्ट रूप से वर्णन करते हैं। जैसा कि शीर्षकों का सुझाव है, पूर्व FEM और बाद वाले IgA का उपयोग करता है। मुझे लगता है कि यह विशेष रूप से जो आप चाहते हैं उस पर अच्छी जानकारी देता है।

मोनोग्राफ न्यूमेरिकल गणित के दूसरे संस्करण के अंतिम अध्याय में , कैटरोनी एट। अल , स्पेस-टाइम पर एक सेक्शन है जो विशेष रूप से कनेक्शन के साथ मददगार हो सकता है$\theta-$योजनाओं।

टेनसर उत्पाद स्पेस-टाइम कार्यान्वयन गैर-टेंसर आधारित लोगों से बहुत अलग है। उत्तरार्द्ध विशेष रूप से FEM के लिए थोड़ा मुश्किल है।