पांचवें क्रम के रनज-कुट्टा विधि की स्थिरता क्षेत्र के बारे में अजीब टिप्पणी

Question

मुझे पेपर में एक अजीब सी टिप्पणी आई

PJ van der Houwen, आंशिक अंतर समीकरणों के लिए रनगे-कुट्टा विधियों का विकास, Appl। अंक। गणित। 20: 261, 1996

पृष्ठ 264 पर 8ff की तर्ज पर, van der Houwen लिखते हैं:

"टेलर बहुपद के लिए यह अर्थ है कि काल्पनिक स्थिरता अंतराल लिए खाली है "$p = 1, 2, 5, 6, 9, 10, \cdots$

जहाँ टेलर बहुपद रैन-कुट्टा विधि की स्थिरता बहुपद ( चारों ओर का बहुस्तरीय विस्तार ) और p क्रम है (पृष्ठ 263 देखें)। मुझे लगता है कि मैं कुछ गलत समझ रहा हूं क्योंकि पांचवें क्रम के रनगे-कुट्टा विधि में एक काल्पनिक काल्पनिक स्थिरता अंतराल नहीं है जहां तक ​​मुझे पता है। मुझे जो याद है, उससे काल्पनिक सीमा लगभग 3.4 या तो है।$\exp(x)$$x=0$

मेरी गलतफहमी क्या है?

Answer 1

$p$$\exp(z)$$p$

$$P_p(z) = \sum_{j=1}^p \frac{z^j}{j!}$$

$|P_5(i\epsilon)|>1$$\epsilon$$P_5(z)$

$P_5(z)$

$P_5(z)$$p$$P_5(z)$

अंत में, उच्च-क्रम रन-कुट्टा विधियों के लिए काल्पनिक स्थिरता अंतराल की सीमा निर्धारित करते समय गलतियां करना आसान है। ऐसा इसलिए है क्योंकि ऐसे तरीकों के लिए स्थिरता क्षेत्र की सीमा काल्पनिक अक्ष के बेहद करीब है । इसलिए, राउंडऑफ़ त्रुटियां गलत निष्कर्ष पर ले जा सकती हैं; केवल सटीक गणना का उपयोग किया जाना चाहिए (निश्चित रूप से, इन परिस्थितियों में व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए स्थिरता क्षेत्र की सीमा की प्रासंगिकता पर निश्चित रूप से बहस की जा सकती है)।

उदाहरण के लिए, यहां पांचवीं क्रम विधि के स्थिरता क्षेत्र का एक भाग है, जो फेहेलबर्ग 5 (4) युग्म से लिया गया है:

काल्पनिक स्थिरता अंतराल खाली है, लेकिन आप इस संकल्प पर चित्र से नहीं बता सकते हैं! ध्यान दें कि इस क्षेत्र में स्पष्ट रूप से काल्पनिक अक्ष का हिस्सा शामिल है, लेकिन उत्पत्ति के बारे में कोई अंतराल नहीं है।

इस बीच, डोरमंड-प्रिंस 5 (4) जोड़ी से पांचवें क्रम की विधि के लिए यहां है:

$[-1,1]$

$P_p(z)$

आपको NodePy पैकेज में भी रुचि हो सकती है , जो ऊपर दिए गए भूखंडों का उत्पादन करता है और जिनका उपयोग किसी विधि की काल्पनिक स्थिरता अंतराल (अस्वीकरण: मैंने NodePy बनाया) जैसी चीजों को सटीक रूप से निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है।

Comments

डेविड, आपके उत्कृष्ट उत्तर के लिए धन्यवाद जिसने कुछ चीजों को मंजूरी दी। मैं एक-दो दिनों के लिए बिना पहुंच के यात्रा करने वाला हूं। मैं आपके जवाब को इस तरह से लटका हुआ नहीं छोड़ना चाहता था; मैं इसे वापस प्राप्त करूंगा।

— ब्रायन ज़ाटाप्टिक