कौन से पुनरावृत्त रैखिक सॉल्वर सकारात्मक अर्धचालक मैट्रिक्स के लिए अभिसरित होते हैं?

Question

मैं जानना चाहता हूं कि कौन से क्लासिक लीनियर सॉल्वर्स (जैसे गॉस-सेडेल, जैकोबी, एसओआर) को की समस्या के लिए अभिसरण करने की गारंटी दी जाती है, जहां सकारात्मक सेमीफाइनल है और निश्चित रूप$Ax=b$$A$$b \in im(A)$

(नोटिस अर्ध निश्चित है और निश्चित नहीं है)$A$

Comments

क्या आपका मतलब सकारात्मक अर्ध-निश्चित मेट्रिसेस से है?

— मेवोप्लप

ऐसे मैट्रिक्स के साथ रैखिक प्रणाली को हल करने का क्या फायदा है? अगर मैं गलत नहीं हूं, अगर आपका पॉजिटिव सेमीडेफिनिटी मैट्रिक्स नॉन-सिंगल है तो यह पॉजिटिव निश्चित है।

— faleichik

हाँ मैं निश्चित हूँ। मुझे अपनी स्मृति को वास्तविक प्रमाण के रूप में ताज़ा करना है, लेकिन आप जो कह रहे थे, उसके अनुसार - यदि की गणना में भाजक शून्य है, तो इसका मतलब है कि शून्य है, जिसका अर्थ है कि सभी "खोज निर्देश" जिसमें A विलक्षण नहीं है, और अवशिष्ट आप A के स्पैन में नहीं हैं (और इस प्रकार यह "इष्टतम" समाधान है)। इस मामले में कि वास्तव में , ऐसा नहीं होगा क्योंकि अवशिष्ट शून्य तक पहुंच जाएगा पहली बार से पहले$\alpha$$A P_k$$b \in span(A)$$AP_k=0$

— ओलेमुंडो

सेट करें । तब । CG सभी लिए कारण अभिसरण करेगा । दूसरे शब्दों में, आप कभी भी को नहीं छोड़ते जिसके लिए सकारात्मक-निश्चित है। $x_0=b$$A^nb\in Im(A)$$x_n^\ast Ax_n> 0$$0\ne x_n\in Im(A)$$Im(A)$$A$

— डेथब्रेथ

@faleichik: क्वांटम यांत्रिकी में घनत्व घनत्व कम होना बहुत से मामलों में सकारात्मक अर्ध-निश्चित है।

— डेथब्रेथ

Answer 1

संयुग्म ग्रेडिएंट एल्गोरिथ्म अर्धचालक समस्याओं के लिए काम करता है और न्यूनतम मानक समाधान का उत्पादन करता है।

Comments

धन्यवाद। "पुरातन"

— सॉल्वर्स के

वे अब शायद ही कभी इस्तेमाल किए जाते हैं, और मुझे नहीं पता कि ये कैसे व्यवहार करते हैं।

— अर्नोल्ड न्यूमैयर

स्पष्ट करने के लिए: सीजी सबसे निश्चित रूप से सेमीफाइनल मैट्रिसेस के लिए वेनिला रूप में काम नहीं करता है; यह सिद्धांत में काम कर सकता है यदि B A की छवि में है; लेकिन यह संख्यात्मक अभ्यास में अच्छी तरह से समाप्त होने की संभावना नहीं है। बहुत समान क्रायलोव-आधारित मिनरल्स यहां एक बेहतर विकल्प है। इसके अलावा, इन "पुरातन" सॉल्वर का उपयोग बहुउद्देशीय प्रकार के सॉल्वर में व्यापक रूप से किया जाता है, एक उदाहरण के नाम पर।

— इलको होगेंडोर्न

Answer 2

यहां एक प्रमाण है कि गॉस-सीडेल आपकी आवश्यकताओं को पूरा करता है, यह देखते हुए कि ए की छवि में है ।$b$$A$

वही जैकोबी का सच नहीं है; जो शर्म की बात है जो आधुनिक कंप्यूटर हार्डवेयर पर गॉस-सेडेल के साथ परेशान करना चाहता है? यदि आपकी समस्या को तिरछे-प्रमुख ब्लॉक में विभाजित किया जा सकता है, तो आप भाग्य में हैं; आप जैकोबी अपडेट को एक वृद्धिशील गॉस-सीडेल फैशन में उन ब्लॉकों में लागू कर सकते हैं, और इस प्रकार की अर्ध-निश्चित समस्याओं के लिए दोनों का सर्वश्रेष्ठ प्राप्त कर सकते हैं।