परिमित अंतर विधियों में सीमा की स्थिति कैसे लादें

जब मुझे उच्च आदेश केंद्र अंतर सन्निकटन का उपयोग करना हो तो मुझे एक समस्या है:

(\frac{- u_{i + 2, j} + 16 u_{i + 1, j} - 30 u_{i, j} + 16 u_{i - 1, j} - u_{i - 2, j}}{12})

$\left(\frac{-u_{i+2,j}+16u_{i+1,j}-30u_{i,j}+16u_{i-1,j}-u_{i-2,j}}{12}\right)$

पोइसन समीकरण के लिए

(u_{x x} + u_{y y} = 0)

$(u_{xx}+u_{yy}=0)$ एक वर्गाकार डोमेन में जिसमें सीमा की स्थितियाँ हैं:

u (0, y) = u (x, 0) = u (x, 1) = 0, u (1, y) = \sin π y

$u(0,y)=u(x,0)=u(x,1)=0,u(1,y)=\sin \pi y$

Δ x = Δ y = 0.1

$\Delta{x}=\Delta{y}=0.1$

जब मैं डोमेन के अंदरूनी बिंदुओं का मूल्य प्राप्त करना चाहता हूं, तो इस अनुमान पर विचार करते हुए कुछ बिंदु सीमा के बाहरी बिंदुओं पर निर्भर करते हैं। उदाहरण के लिए, को का मान होना जो एक सीमा के बाहर है। क्या कोई इस मामले में मेरी मदद कर सकता है? $u_{1,1}$ $u_{i-2,j}=u_{-1,0}$

pde finite-difference

— लियोना
स्रोत

मुझे लगता है कि आप dirichlet सीमा शर्तों का उपयोग कर रहे हैं, सही?

— पॉल

कृपया उन सीमाओं को बताएं, जिन्हें आप लागू करना चाहते हैं।

— डेविड केचेसन

हो सकता है कि कुंजी उन मूल्यों को शामिल करने के लिए बाधाओं को प्राप्त करने के लिए सीमा की स्थिति के उपयोग में है। मैं विस्तार नहीं कर सकता क्योंकि मैंने कभी भी संख्यात्मक रूप से पीडीई को हल करने की कोशिश नहीं की है, लेकिन यह विचार ओडीई के लिए काम करता है। क्या कोई इसकी पुष्टि कर सकता है?

— astrojuanlu

उच्च-क्रम विधियों के साथ भूत कोशिकाओं को इस तरह से भरने से विधि की स्थिरता सुनिश्चित करना मुश्किल हो सकता है। उस ने कहा, दीर्घवृत्तीय समस्याएं आम तौर पर मेरे अनुभव से अधिक क्षमाशील होती हैं, इसलिए आप इससे दूर हो सकते हैं।

— जेरेमी कोजडन

liona, आप अपने प्रश्न को संपादित कर सकते हैं और सीमा की शर्तों को जोड़ सकते हैं, जो उन्हें टिप्पणियों में डालने से बहुत बेहतर है।

— डेविड केचेसन

जवाबों:

आप समन-बाय-पार्ट्स (SBP) परिमित अंतर विधियों में देखना चाहते हैं। केन मैट्ससन ने इन तरीकों पर बहुत काम किया है। शुरू करने के लिए अच्छी जगह यहाँ है (लगातार गुणांक) और यहाँ (चर गुणांक)।

मूल रूप से जिस तरह से ये तरीके काम करते हैं, वे आंतरिक मानक मानक हैं और सीमा के पास एक तरफा करने के लिए संक्रमण करते हैं। एसबीपी प्रौद्योगिकी का एक महत्वपूर्ण हिस्सा यह है कि एकतरफा के लिए संक्रमण ऐसा है कि समय पर निर्भर समस्याओं के लिए विधि की स्थिरता सीमा की स्थितियों के शामिल होने के बाद भी साबित हो सकती है। (यह संभव है क्योंकि ऑपरेटर खुद को एक मानदंड "परिभाषित" करते हैं, जो भागों द्वारा विवेकपूर्ण एकीकरण करता है।)

आप कहते हैं कि आप पॉइसन के समीकरण को देख रहे हैं, मुझे पूरी तरह से यकीन नहीं है कि एसबीपी ऑपरेटरों और अण्डाकार समीकरणों के साथ सीमा की स्थिति को कैसे शामिल किया जाता है। मेरे पास एक सहकर्मी है जो अण्डाकार समस्याओं के लिए इन के साथ खेला है और लगता है कि यह वास्तव में आप क्या करते हैं इससे कोई फर्क नहीं पड़ता।

— जेरेमी कोज़डॉन
स्रोत

अन्य स्टैंसिल हैं जो आप सीमा बिंदुओं के पास एक उच्च क्रम सटीकता प्राप्त करने के लिए उपयोग कर सकते हैं। आपका वर्तमान स्टैंसिल फॉर्म का है:

$Au_{i+2,j} + Bu_{i+1,j} + Cu_{i,j}+Du_{i-1,j}+Eu_{i-2,j}$

लेकिन, आप इस तरह सीमा के पास एक अलग स्टैंसिल का उपयोग कर सकते हैं:

$Au_{i+3,j} + Bu_{i+2,j}+Cu_{i+1,j}+Du_{i,j} +Eu_{i-1,j}$

पर मान की गणना करने के लिए । ध्यान दें कि दूसरे स्टैंसिल में गुणांक पहले सूत्र में लोगों से अलग होगा। $u_{1,1}$

इसी तरह, आप एक समान सूत्र द्वारा विपरीत सीमा पर मूल्य का अनुमान लगा सकते हैं।

— पॉल
स्रोत

आपके उत्तर के लिए धन्यवाद, हालांकि मैं कैसे पर मूल्य की गणना कर सकता हूं जब मैं केवल एक प्रकार के अंतर सन्निकटन विधि का उपयोग करता हूं? (यानी क्या यह सही हो सकता है कि इसका इस्तेमाल अलग-अलग जगहों पर अलग-अलग सन्निकटन के प्रकारों के लिए किया जाता है?)

u_{1, 1}

$u_{1,1}$

— liona

मैं गुणांक कैसे प्राप्त कर सकता हूं?

— सिंह फियो

यह समझने के लिए कि परिमित अंतर के फ़ार्मुलों को कैसे प्राप्त किया जाए, एक अच्छा संदर्भ लेवेक्स की पुस्तक के अध्याय 1 है: संकाय.वाशिंगटन.आडू / आरएलएल / एफडीएमबुक । यह टेलर श्रृंखला और बीजगणित का एक सा है।

— डेविड केचेसन

@ लियोना: हाँ, आप अलग-अलग स्थानों पर अलग-अलग सन्निकटन फ़ार्मुलों का उपयोग कर सकते हैं ... आम तौर पर, यह सुनिश्चित करना अधिक महत्वपूर्ण है कि आपके सभी फ़ार्मुले ट्रंकेशन के क्रम का पालन करते हैं जो आप चाहते हैं। है यही कारण है, अगर आप चाहते हैं क्रम के होने की अपनी संख्यात्मक समाधान , तो अपने परिमित अंतर अनुमानों के सभी भी की काट-छांट त्रुटि होना आवश्यक है

O (h^{2})

$O(h^2)$

O (h^{2})

$O(h^2)$

— पॉल

@ लियोना: डेविड केचेसन जिस पुस्तक का जिक्र कर रहे हैं, वह परिमित अंतर पद्धति (मेरी ईमानदार राय में) के विषय पर सर्वश्रेष्ठ पुस्तकों में से एक है। जैसा कि वह कहता है, हमें बस , , , , और लिए टेलर विस्तार का योग करने की आवश्यकता है । फिर, यह सुनिश्चित करें कि दूसरी व्युत्पन्न शर्तों के सभी गुणांक योग 1 तक, और शून्य तक संभव योग के रूप में कई अन्य शर्तें।

A U (x + h)

$AU(x+h)$

B U (x)

$BU(x)$

C U (x - h)

$CU(x-h)$

D U (x - 2 h)

$DU(x-2h)$

E U (x - 3 h)

$EU(x-3h)$

U_{x x}

$U_{xx}$

— पॉल

-4

कृपया मेरे एफडीएम पेपर देखें जिसे आप मेरे नाम के तहत एडविट जूनियर में रिसर्चगेट में पा सकते हैं। यदि आपके पास प्रश्न हैं, तो मुझे मदद करने में खुशी होगी।

डेविड

— डेविड
स्रोत

बस लोगों को अन्यत्र खोजने के निर्देश देना उपयोगी उत्तर नहीं है। कम से कम, आपको यहां उत्तर का सारांश प्रदान करना चाहिए और अधिक विवरण के लिए लिंक प्रदान करना चाहिए। इसके अलावा, हम में से कई रिसर्चगेट चलाने के तरीके से असहमत हैं और इसलिए उस साइट के साथ सभी इंटरैक्शन से बचते हैं, जिससे आपके पेपर को आपके सुझाए गए तरीके से देखना असंभव हो जाता है।

— डग लिपिंस्की

प्रश्न का उत्तर देने के लिए आपको जो भी पृष्ठभूमि के बारे में सोचना है, उसके सारांश को शामिल करने के लिए कृपया अपने उत्तर को संशोधित करें। उत्तर अपेक्षाकृत आत्म-निहित हैं; किसी पाठक को किसी के पेपर की खोज के लिए संदर्भित करना आत्म-निहित नहीं है, और अपनी सामग्री का सारांश प्रदान करने की तुलना में बहुत कम सहायक है।

— ज्योफ ऑक्सीबेरी