कैसे स्थापित करने के लिए कि बड़े रैखिक प्रणालियों के लिए एक पुनरावृत्ति विधि व्यवहार में अभिसरण है?

कम्प्यूटेशनल विज्ञान में हम अक्सर बड़े रैखिक प्रणालियों का सामना करते हैं जो हमें कुछ (कुशल) साधनों द्वारा हल करने की आवश्यकता होती है, उदाहरण के लिए प्रत्यक्ष या पुनरावृत्त तरीकों से। यदि हम उत्तरार्द्ध पर ध्यान केंद्रित करते हैं, तो हम कैसे स्थापित कर सकते हैं कि एक बड़ी रैखिक प्रणालियों को हल करने के लिए एक पुनरावृत्ति विधि अभ्यास में अभिसरण है?

यह स्पष्ट है कि हम परीक्षण और त्रुटि विश्लेषण कर सकते हैं (cf. मेरा पुनरावृत्त रैखिक सॉल्वर अभिसरण क्यों नहीं है? ) और पुनरावृत्त तरीकों पर भरोसा करते हैं जो साक्ष्यों द्वारा अभिसरण की गारंटी देते हैं या ध्वनि का आधार अनुभव करते हैं (जैसे कि क्रायलोव उप-विधियों जैसे कि CG और GMRES) सममित और nonsymmetric प्रणालियों के लिए क्रमशः)।

लेकिन, अभ्यास में अभिसरण स्थापित करने के लिए क्या किया जा सकता है? और क्या किया जाता है

— एलन पी। इंग्सिग-करुप
स्रोत

बड़ा अच्छा सवाल! जब आप कहते हैं कि 'अभिसरण स्थापित करें', तो क्या आप का अर्थ है कि 'समाधान अभिसरण कर रहा है' या 'अभिसरण क्या होगा?' मुझे पता है, उदाहरण के लिए, PETSc KSP ऑब्जेक्ट में अभिसरण परीक्षण के लिए कुछ डिफ़ॉल्ट तकनीकें हैं (त्रुटि का मान घट रहा है, अधिकतम संख्या में पुनरावृत्तियों)। क्या इस तरह के उत्तर की तलाश है?

— एरन अहमदिया

@aron: मुझे लगता है कि दोनों मुद्दों को संबोधित करने वाले उत्तर देखना दिलचस्प होगा।

— एलन पी। इंग्सिग-करुप

प्रकृति में उत्पन्न होने वाले कई आंशिक अंतर समीकरणों के लिए, विशेष रूप से मजबूत nonlinearities या anisotropies के साथ, एक उपयुक्त प्रीकॉन्डिशनर की पसंद का बड़ा प्रभाव हो सकता है कि क्या पुनरावृत्त विधि तेजी से, धीरे-धीरे, या बिल्कुल भी नहीं बदलती है। उन समस्याओं के उदाहरण जिन्हें तेजी से और प्रभावी पूर्ववर्ती के रूप में जाना जाता है, में दृढ़ता से अण्डाकार आंशिक अंतर समीकरण शामिल हैं, जहां मल्टीग्रिड विधि अक्सर तेजी से अभिसरण प्राप्त करती है। अभिसरण का आकलन करने के लिए कई परीक्षण किए जा सकते हैं; यहाँ मैं एक उदाहरण के रूप में PETSc से कार्यक्षमता का उपयोग करने जा रहा हूँ, क्योंकि यह यकीनन रैखिक और (nonlinear समीकरणों) के पुनरावृत्त हल प्रणालियों के लिए सबसे पुराना और सबसे परिपक्व पुस्तकालय है।

PETSc एक ऑब्जेक्ट का उपयोग करता है जिसे KSPMonitor कहा जाता है, जो पुनरावृत्त सॉल्वर की प्रगति की निगरानी करता है, और यह निर्णय लेता है कि क्या सॉल्वर परिवर्तित या परिवर्तित है। मॉनिटर यह तय करने के लिए चार अलग-अलग मानदंडों का उपयोग करता है कि क्या रोकना है। यहाँ पर चर्चा के बारे में अधिक जानकारी केएसपीजीईटीकेनवार्ज्डरीसन () के लिए मैन पेज में मिल सकती है ।

$x$

A x = b

$Ax=b$

\hat{x}

$\hat{x}$

\hat{r}

$\hat{r}$

$\left(P^{-1}(Ax − b) \right)$
$\hat{आर} = {पी}^{- 1} (ए \hat{एक्स} - ख)$ $\hat{r}=P^{-1}(A\hat{x}-b)$
$\left(AP^{-1}Px = b \right)$
$\hat{आर} = ए \hat{एक्स} - ख$ $\hat{r}=A\hat{x}-b$

अभिसरण मानदंड

$a_{tol}$ $‖ \hat{आर} ‖ \leq ए_{टी ओ एल}$ $\|\hat{r}\| \le a_{tol}$
सापेक्ष सहिष्णुता - सापेक्ष सहिष्णुता मानदंड संतुष्ट है जब अवशिष्ट का मान पूर्वनिर्धारित स्थिर एक कारक द्वारा दाहिने हाथ की ओर के मानक से कम है : $r_{tol}$ $‖ \hat{आर} ‖ \leq {आर}_{टी ओ एल} \cdot ‖ ख ‖$ $\|\hat{r}\| \le r_{tol}\cdot \|b\|$
अन्य मानदंड - एक छोटा कदम लंबाई या नकारात्मक वक्रता का पता लगाने के कारण पुनरावृत्त हल भी अभिसरण कर सकते हैं।

डायवर्जन क्राइटेरिया

अधिकतम पुनरावृत्तियों - एक पुनरावृत्तियों की संख्या को अधिकतम पुनरावृत्तियों द्वारा कैप किया जा सकता है। यदि अन्य मापदंडों में से कोई भी पूरा नहीं हुआ है, जब अधिकतम संख्या में पुनरावृत्तियों तक पहुंच गया है, तो मॉनिटर को विचलन के रूप में लौटाता है।
अवशिष्ट NaN - यदि किसी भी बिंदु पर अवशिष्ट NaN का मूल्यांकन करता है, तो सॉल्वर आरेखित हो जाता है।
अवशिष्ट के अवमूल्यन का मानदंड किसी भी बिंदु पर अवशिष्ट के मान को पूर्वनिर्धारित स्थिर : कारक द्वारा दाएं हाथ की ओर के मानक से अधिक होने पर $d_{tol}$
$‖ \hat{आर} ‖ \geq घ_{टी ओ एल} \cdot ‖ ख ‖$ $\|\hat{r}\| \ge d_{tol}\cdot \|b\|$
सॉल्वर ब्रेकडाउन क्रायलोव विधि स्वयं विचलन का संकेत दे सकती है यदि यह एक विलक्षण मैट्रिक्स या पूर्वसंधक का पता लगाता है।

— एरन अहमदिया
स्रोत