विशुद्ध रूप से घूर्णी कम से कम वर्ग मैच

Question

क्या कोई निम्न-वर्ग समस्या के लिए विधि सुझा सकता है:

$R \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$$\sum\limits_{i=0}^N (Rx_i - b_i)^2 \rightarrow \min$$R$

मुझे (मनमाना ) को कम करके, एक अनुमानित समाधान मिल सकता है। मैट्रिक्स और:$\sum\limits_{i=0}^N (Ax_i - b_i)^2 \rightarrow \min$$A \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$$A$

• एसवीडी कंप्यूटिंग: , छोड़ने और सन्निकटन$A = U \Sigma V^T$$\Sigma$$R \approx U V^T$
• ध्रुवीय अपघटन की गणना: , स्केल-ओनली सिमिट्रिक (और मेरे मामले में सकारात्मक निश्चित) और$A = U P$$P$$R \approx U$

मैं क्यूआर अपघटन का उपयोग भी कर सकता था, लेकिन यह आइसोमेट्रिक नहीं होगा (समन्वय प्रणाली की पसंद पर निर्भर करेगा)।

क्या किसी को ऐसा करने का तरीका पता है, कम से कम लगभग, लेकिन ऊपर दिए गए दो तरीकों से बेहतर सन्निकटन के साथ?

Comments

मैंने एक ऐसी ही समस्या के लिए Kabchch के एल्गोरिथ्म का उपयोग किया है, जो अनिवार्य रूप से SVD विधि है जिसका आपने en.wikipedia.org/wiki/Kabsch_algorithm में उल्लेख किया है, यदि मैं गलत नहीं हूँ svd विधि समीकरण को कम कर देती है, तो मुझे यकीन नहीं है कि आप ' बेहतर 'विधि?

— isti_spl

OMG I को बस एक ही उत्तर IRL मिला है। धन्यवाद! जब तक नकारात्मक नहीं है, तब तक काम करना छोड़ देता है, इस मामले में इष्टतम रोटेशन में एक प्रतिबिंब शामिल है (और कोई भी रोटेशन समान रूप से खराब है)। यह तकनीकी रूप से इस सवाल का जवाब देता है, लेकिन क्या किसी को एसवीडी की गणना करने की तुलना में सस्ती विधि का पता है? यह एक 3x3 एसवीडी है, लेकिन मुझे उनमें से बहुत कुछ करने की आवश्यकता है (यह एफईएम सिमुलेशन के लिए है, और समस्या को प्रत्येक एफई के लिए गणना की जाती है) इसके अलावा, समस्या को जाहिरा तौर पर वहाबा की समस्या कहा जाता है, और यह स्पष्ट रूप से एक शिल्प का निर्धारण करने के लिए वैमानिकी में प्रकट होता है उन्मुखीकरण। $\Sigma$$det(UV^T)$

— सर्गि मिग्डाल्स्की

मैं इस संबंधित समस्याओं को देखा है: scicomp.stackexchange.com/questions/7552/…

— isti_spl

और यह एक: dsp.stackexchange.com/questions/1911/…

— isti_spl

@isti_spl: क्या आप कृपया अपनी टिप्पणी को उत्तर में भेज सकते हैं?

— ज्योफ ऑक्सीबेरी

Answer 1

समस्या को वाबा की समस्या कहा जाता है , इसके लिए एक एल्गोरिथ्म को काबस एल्गोरिथ्म कहा जाता है , और बाद में अधिक लोकप्रिय इसे डेवनपोर्ट विधि कहा जाता है । यह एक शिल्प अभिविन्यास निर्धारित करने के लिए एयरोनॉटिक्स में स्पष्ट रूप से उपयोग और अध्ययन किया जाता है। रहे हैं समीक्षा के बहुत सारे तरीकों के बारे में।

खबरदार कि सबसे अच्छा फिट प्रतिबिंब शामिल हो सकते हैं।

Kabsch विधि computes एक 3x3 सहप्रसरण मैट्रिक्स SVD और चला जाता है अवधि (एक प्रतिबिंब है, जो आमतौर के अंतिम स्तंभ negating द्वारा लिए जिम्मेदार है सापेक्ष यू SVD में)। अन्य आयामों के सामान्यीकरण के लिए यह बहुत सीधा है।$\Sigma$$U$

डेवनपोर्ट क्यू पद्धति को अक्सर पहले व्यावहारिक एल्गोरिदम के रूप में टाल दिया जाता है, शायद कोई टिप्पणी कर सकता है कि क्यों। यह एक 3x3 सहसंयोजक मैट्रिक्स का भी निर्माण करता है, लेकिन फिर पैराट्राइअर्स रोटेशन मैट्रिक्स को एक चतुर्भुज के एक फ़ंक्शन के रूप में बनाता है, और समस्या यह है कि एक सममित 4x4 मैट्रिक्स के अधिकतम-ईजेनवेल्यू ईगेनवेक्टर की गणना की जाती है।

(कुछ) सबसे लोकप्रिय संख्यात्मक कार्यान्वयन को QUEST और FOMA कहा जाता है । इन विधियों को आमतौर पर लिखकर और विशेष बहुपद (एक चतुर्थक) को अनुकूलित करके अधिकतम आइगेनवैल्यू की गणना करने के विषय पर एक भिन्नता होती है, और या तो इसे विश्लेषणात्मक रूप से हल करना (सुंदर शामिल संगणना, कार्दनो सूत्र से गुजरना), या न्यूटन पुनरावृत्ति के साथ।

शूस्टर ने कुछ पुनरावृत्त एल्गोरिथ्म वेरिएंट का विकास और विश्लेषण भी किया।

Comments

एयरोस्पेस समुदाय में कुछ इतिहास के लिए, मार्कले द्वारा विनम्र समस्याओं का एक अध्ययन करें।

— डेमियन