परिमित अंतर विधि का उपयोग करते समय घुमावदार सीमा स्थिति से कैसे निपटें?

मैं अपने द्वारा संख्यात्मक रूप से पीडीई को हल करने के बारे में जानने की कोशिश कर रहा हूं।

मैं कुछ समय के लिए परिमित अंतर विधि (एफडीएम) के साथ शुरुआत कर रहा हूं क्योंकि मैंने सुना है कि एफडीएम पीडीई के लिए कई संख्यात्मक तरीकों का मूल है। अब तक मुझे एफडीएम के लिए कुछ बुनियादी समझ मिली है और मैं पुस्तकालय और इंटरनेट में पाई जाने वाली सामग्रियों के साथ नियमित क्षेत्र में कुछ सरल पीडीई के लिए कोड लिखने में सक्षम हूं, लेकिन क्या अजीब है, उन सामग्रियों को जो मुझे आमतौर पर बहुत कम मिलते हैं इस तरह के अनियमित, घुमावदार, अजीब सीमा के उपचार के बारे में ।

क्या अधिक है, मैंने घुमावदार सीमा से निपटने का एक आसान तरीका नहीं देखा है। उदाहरण के लिए, आंशिक अंतर समीकरणों की पुस्तक संख्यात्मक समाधान - एक परिचय (मॉर्टन के, मेयर्स डी) , जिसमें सबसे विस्तृत चर्चा होती है (मुख्य रूप से p71 से 3.4 और p199 से 6.4 ) में अब तक मैंने देखा है, बदल गया है। एक अतिरिक्त है जो वास्तव में मेरे लिए बोझिल और निराशाजनक है।

इसलिए, जैसा कि शीर्षक ने पूछा, घुमावदार सीमा के रूप में, आमतौर पर एफडीएम का उपयोग करते समय लोग इसके साथ कैसे निपटते हैं? दूसरे शब्दों में, इसके लिए सबसे लोकप्रिय उपचार क्या है? या यह पीडीई के प्रकार पर निर्भर करता है?

क्या घुमावदार सीमा से निपटने के लिए एक (कम से कम अपेक्षाकृत) सुरुचिपूर्ण और उच्च परिशुद्धता तरीका है? या यह सिर्फ एक अपरिहार्य दर्द है?

मैं यह भी पूछना चाहता हूं कि क्या लोग आजकल घुमावदार सीमा के लिए एफडीएम का उपयोग करते हैं? यदि नहीं, तो इसके लिए सामान्य विधि क्या है?

किसी भी सहायता की सराहना की जाएगी।

pde finite-difference boundary-conditions

— xzczd
स्रोत

जवाबों:

पहले अपने अंतिम प्रश्न का उत्तर देते हुए, क्या लोग वास्तव में आजकल घुमावदार सीमा के लिए एफडीएम का उपयोग करते हैं , मैं कहूंगा कि उत्तर नहीं है। वाणिज्यिक सीएफडी दुनिया में, द्वितीय क्रम सटीक परिमित मात्रा योजनाएं वास्तविक उद्योग मानक हैं। एफडी से अधिक एफवी (और परिमित तत्व / डिसकंटेंट गैलरिन एप्रोच जेड का उल्लेख) के लाभों में से एक जटिल सीमाओं की अधिक प्राकृतिक हैंडलिंग है। एफडी बहुत सारे संख्यात्मक तरीकों (एफवी शामिल) की नींव प्रदान करता है और पहले चरण के रूप में सीखना आवश्यक है, लेकिन बड़े पैमाने पर जटिल समस्याओं के लिए यह उचित नहीं है।

एफडी में जटिल सीमाओं से निपटने के लिए, मैं दो विहित तरीकों के बारे में सोच सकता हूं, जिनमें से एक आपके द्वारा उल्लिखित प्रक्षेप / एक्सट्रपलेशन विधि है। दूसरा है फिजिकल- स्पेस में बॉडी-फिटेड ग्रिड पॉइंट्स को "कम्प्यूटेशनल" स्पेस, जहां । फिर एक जैसे शब्दों को फिर से लिख सकते हैं $(x,y)$ $\xi = \xi(x,y),\eta = \eta(x,y)$ $\Delta \xi = \Delta \eta = constant$

\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial ξ} \frac{\partial ξ}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial η} \frac{\partial η}{\partial x}

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial \xi} \frac{\partial \xi}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial \eta} \frac{\partial \eta}{\partial x}$

जहां शब्द को मीट्रिक शब्द कहा जाता है और समस्या की शुरुआत में गणना की जा सकती है (या एक साधारण डोमेन के लिए आपके पास एक सटीक हो सकता है) कंफ़र्म मैपिंग उपलब्ध है), और डेरिवेटिव की गणना तार्किक रूप से सरल कम्प्यूटेशनल डोमेन पर की जा सकती है। यह प्रक्रिया सीमा की स्थिति के कार्यान्वयन को सीधा बनाती है, लेकिन इसके लिए पर्याप्त रूप से चिकनी, नाममात्र के रूढ़िवादी वक्रता पैदा करने की आवश्यकता होती है। $\frac{\partial (\xi,\eta)}{\partial (x,y)}$ $u$

मैं कहूंगा कि यह बॉडी-फिटेड ग्रिड दृष्टिकोण एफडी में घुमावदार सीमाओं से निपटने के लिए "सबसे लोकप्रिय उपचार" है, इस चेतावनी के साथ कि एफडी विधियां जटिल अनुप्रयोगों के लिए अब बहुत "लोकप्रिय" नहीं हैं। यह देखने के लिए दुर्लभ है कि वे अभी भी सीएफडी साहित्य में बहुत सरल डोमेन को छोड़कर आते हैं।

— औरिलिअस
स्रोत

आपका कथन "मैं कहूंगा कि उत्तर नहीं है" सही नहीं है। एफएसएल 3 डीआईडी कोड में उच्च-क्रम एफडी के साथ विशाल और गायतोंडे बड़े पैमाने पर काम करते हैं । इसके अलावा, NASA का OVERFLOW कोड एक FD कोड है (जहाँ तक मुझे पता है / बता सकता हूँ)।

— ब्रायन ज़तापटिक

ऑवरफ्लो मूल रूप से एफडी था, लेकिन अब यह आम तौर पर आपके लिंक के Ch 1 में FV फ्लक्स विभाजन (AUSM, HLLC, आदि) का उपयोग करता है।) यह निश्चित रूप से "विरासत" कोड भी है। यह FDL3DI लिंक 90 के दशक में काम से है जब उच्च-क्रम परिमित-तत्व / डीजी आधारित काम अपनी प्रारंभिक अवस्था में था और कोई भी प्रदर्शनकारी उच्च-क्रम-सटीक परिमित मात्रा योजनाएं नहीं थीं। मुझे लगता है कि 2013 में किसी को उस काम के कॉम्पैक्ट परिमित अंतर रणनीति के आधार पर एक कोड का विकास शुरू करने के लिए मनाने के लिए आपको कठोर दबाव दिया जाएगा। जैसा कि यह सुरुचिपूर्ण है, यह अनुप्रयोगों के लिए बहुत प्रतिबंधक है।

— औरेलियस

मैं आपके कथन की व्यापकता से असहमत हूं कि बड़े पैमाने पर जटिल समस्याओं के लिए एफडी का उपयोग करना उचित नहीं है। आजकल, एचपीसी में लोग अपनी परिमित तत्व योजनाओं को स्टैंसिल की तरह फैशन में इस्तेमाल करते हैं और चरम पैमाने पर कंप्यूटिंग के लिए मैट्रिक्स-फ्री सॉल्वरों को कुशलता से लागू करने के लिए संरचित ग्रिड का उपयोग करते हैं। इस प्रकार, जैसा कि वे हैं, वैसे ही लोग अब भी वास्तव में परिमित अंतर का उपयोग करना चाहते हैं। यह उल्लेख करने के लिए नहीं कि ऐसे अनुप्रयोग हैं जहां आप संरचित मेषों के साथ भाग सकते हैं। जटिल जियोमेट्री के लिए मानक एफडी हालांकि दर्दनाक है और शायद यही वह है जो आप राज्य करना चाहते थे।

— क्रिश्चियन वालुगा

सरल घुमावदार ज्यामितीयों के लिए, उच्च-क्रम एफडी उच्च-क्रम वाले वर्णक्रमीय-अंतर / आयतन, फ्लक्स-पुनर्निर्माण, या डीजी विधियों को एक दक्षता के आधार (सटीकता / समय) पर जीतेगा। जटिल लोगों के लिए, ग्रिड जनरेशन आपको वैकल्पिक दृष्टिकोणों को आजमाने के लिए सिरदर्द के लिए पर्याप्त हो सकती है। किसी को यह नहीं भूलना चाहिए कि उपर्युक्त विधियों का बहुत लचीलापन काफी लागत पर आता है, लोहेनर द्वारा इस पेपर को देखें । यह एक कारण है कि FDL3DI और OVERFLOW अभी भी उपयोग करते हैं।

— ब्रायन ज़तापटिक

@ChristianWaluga हां यह मूल रूप से वही है जो मैं बताने की कोशिश कर रहा था। स्पष्ट रूप से एफडी के विचार अन्य अनुप्रयोगों में अपना रास्ता ढूंढते हैं (उदाहरण के लिए FV में परिमित अंतर द्वारा गणना की जा रही है), और कुछ क्षेत्रों में DNS जैसे साधारण ज्यामिति पर जिन्हें आप उनका उपयोग करते हैं। लेकिन सामान्य प्रयोजन के कोड के लिए पिछले 2 दशकों में प्रवृत्ति शुद्ध एफडी से बहुत स्पष्ट है।

— औरेलियस

घुमावदार सीमाओं, सबसे सीएफडी पुस्तकों में शामिल किया जाता है जैसे, Wesseling के अध्याय 11 या Ferziger और Peric के अध्याय 8 ।

एक मौलिक सैद्धांतिक समस्या नहीं है, जबकि घुमावदार सीमाओं पर उच्च-क्रम विधियों के लिए सीमा की स्थिति को लागू करने की व्यावहारिक जटिलता परिमित तत्व विधि (विच्छिन्न गैलेर्किन सहित) जैसे अधिक ज्यामितीय-लचीले तरीकों में रुचि के लिए एक महत्वपूर्ण कारण है। संरचित परिमित अंतर और परिमित मात्रा ग्रिड का उपयोग अभी भी कुछ सीएफडी सिमुलेशन में किया जाता है, लेकिन असंरचित विधियां लोकप्रियता प्राप्त कर रही हैं और उच्च क्रम असंरचित तरीकों द्वारा उपयोग किए जाने वाले स्थानीय संचालन वास्तव में काफी कुशल हैं, और इस तरह एफडी की तुलना में दक्षता में बहुत अधिक नुकसान नहीं हो सकता है। तरीकों। (वास्तव में, ज्यामितीय लचीलापन अक्सर उन्हें अधिक कुशल बनाता है।)

— जेड ब्राउन
स्रोत

शानदार जवाब जेड। मेरी थीसिस p38-46 में पाई गई तरल पदार्थों की समस्या में अनियमित बीसी के इलाज के तरीके के बारे में एक बहुत ही कदम-दर-चरण चलना है। स्पष्ट रूप से यह एफडी योगों में ऐसा करने के लिए एक प्रमुख ए * # दर्द है। लेने के लिए महत्वपूर्ण अंतर्दृष्टि यह है कि घुमावदार ई.पू. को बड़ी संख्या में शिशुओं के सीधे लोगों द्वारा अनुमानित किया जा सकता है।

— मेवप्लप

मैंने पिछले n वर्षों से उच्च परिशुद्धता एफडीएम पर काम किया है। और मैंने उच्च परिशुद्धता एल्गोरिदम को स्पष्ट रूप से विकसित करने के लिए उदाहरण के रूप में इलेक्ट्रोस्टैटिक्स -2 मंद लैपल्स के समीकरण का उपयोग किया है। लगभग 4 साल पहले तक समस्याओं को संभावित असंतुलन के क्षैतिज या ऊर्ध्वाधर लाइनों के साथ बनाया गया था। यदि आप मेरा नाम Google और उच्च परिशुद्धता fDM करते हैं, तो आपको संदर्भ ढूंढने चाहिए। लेकिन यह आपका सवाल नहीं है। आपका प्रश्न एफडीएम और घुमावदार सीमाएं हैं। लगभग एक साल पहले मैंने हाँग काँग में एक आदेश 8 समाधान प्रस्तुत किया था (देखें एक वक्र अंतर सिमिलरड्रिक समरूपता इलेक्ट्रोस्टैटिक्स के लिए वक्रताकार सीमाएँ हैं) जिसने सीमा के करीब आंतरिक बिंदुओं के लिए ऑर्डर 8 एल्गोरिदम बनाया और उन्हें सीमा के दूसरी तरफ पाठ्यक्रम बिंदुओं की आवश्यकता होगी। सीमा के दूसरी तरफ के बिंदुओं को वहां दूसरी तरफ जाली को फैलाकर रखा गया था। यह करने के बाद यह सवाल था कि मेष को आराम देते समय आप इन बिंदुओं के मूल्यों को कैसे पाते हैं। यह एल्गोरिदम का उपयोग करके सीमा (ज्ञात क्षमता) से बिंदु तक एकीकृत करके पूरा किया गया था। यह यथोचित सफल और यथोचित रूप से सटीक था ~ <1e-11, BUT को प्रत्येक व्यक्तिगत रूप से तैयार किए गए 103 एल्गोरिदम की आवश्यकता थी और यह कुछ हद तक भंगुर था, अस्थिर ज्यामितीय पाया जा सकता था। ऊपर दिए गए उपाय को हल करने के लिए (आदेश 8 और नीचे) का उपयोग किया गया है (एक!) न्यूनतम एल्गोरिथ्म और समाधान काफी मजबूती प्रदर्शित करता है। यह प्रस्तुत किया गया है, लेकिन मुझे ईमेल करके एक प्रस्ताव के रूप में उपलब्ध होगा। मेरा मानना है कि यह तकनीक लैप्लस के अलावा अन्य समय के लिए स्वतंत्र pde (रैखिक आवश्यक) के लिए एक्स्टेंसिबल होगी और 2 से अधिक आयाम। मैंने समय पर निर्भर समस्या पर विचार नहीं किया है, लेकिन पावर श्रृंखला तकनीक होने के लिए तकनीक अनुकूलनीय और लागू होनी चाहिए। डेविड

— डेविड
स्रोत

यदि आप अपना पेपर प्रीप्रिंट सर्वर (जैसे कि xXiv, उदाहरण के लिए) में जमा कर सकते हैं, और फिर इसे यहां लिंक करें, तो इससे आपका उत्तर बेहतर होगा। सामान्यतया, उत्तर में ई-मेल पते नहीं होने चाहिए। मैं आपको अपने उत्तर को और अधिक संक्षिप्त बनाने के लिए प्रोत्साहित करता हूं।

— ज्योफ ऑक्सीबेरी