कोवरियन को कैसे घुमाएं?

Question

मैं एक ईकेएफ पर काम कर रहा हूं और मेरे पास कोवरियस मैट्रिसेस के लिए समन्वय फ़्रेम रूपांतरण के बारे में एक प्रश्न है। मान लीजिए कि मुझे कुछ माप मिलता है$(x, y, z, roll, pitch, yaw)$ इसी 6x6 सहसंयोजक मैट्रिक्स के साथ $C$। यह माप और$C$ कुछ समन्वय फ्रेम में दिए गए हैं $G_1$। मुझे माप को दूसरे समन्वय फ्रेम में बदलने की जरूरत है,$G_2$। माप को बदलना स्वयं ही तुच्छ है, लेकिन मुझे इसकी सहूलियत को बदलने की भी आवश्यकता होगी, सही है? के बीच अनुवाद$G_1$ तथा $G_2$अप्रासंगिक होना चाहिए, लेकिन मुझे अभी भी इसे घुमाने की आवश्यकता होगी। अगर मैं सही हूं, तो मैं यह कैसे करूंगा? के बीच सहसंयोजकों के लिए$x$, $y$, तथा $z$, मेरा पहला विचार केवल एक 3 डी रोटेशन मैट्रिक्स लागू करना था, लेकिन यह केवल पूर्ण 6x6 सहसंयोजक मैट्रिक्स के भीतर एक 3x3 सबमेट्रिक्स के लिए काम करता है। क्या मुझे सभी चार ब्लॉकों में समान रोटेशन लागू करने की आवश्यकता है?

Answer 1

Covariance के रूप में परिभाषित किया गया है

$\begin{align} C &= \mathbb{E}(XX^T) - \mathbb{E}(X)\mathbb{E}(X^T) \end{align}$

आपके मामले में, $X \in \mathbb{R}^6$ आपका राज्य वेक्टर है और $C$ आपके पास पहले से मौजूद सहसंयोजक मैट्रिक्स है।

रूपांतरित अवस्था के लिए $X'=R X$, साथ में $R \in \mathbb{R}^{6\times 6}$ आपके मामले में, यह बन जाता है

$\begin{align} C' &= \mathbb{E}(X' X'^T) - \mathbb{E}(X')\mathbb{E}(X'^T) \\ &= \mathbb{E}(R X X^T R^T) - \mathbb{E}(RX)\mathbb{E}(X^T R^T) \\ &= R ~\mathbb{E}(X X^T) ~R^T - R\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(X^T)R^T \\ &= R \big(~\mathbb{E}(X X^T) - \mathbb{E}(X)\mathbb{E}(X^T)\big)R^T \\ &= R C R^T \end{align}$

एक चेतावनी के रूप में, यूलर कोण के साथ सावधान रहें। वे अपने व्यवहार में सामान्य रूप से सहज नहीं होते हैं, इसलिए हो सकता है कि आप उन्हें उसी रोटेशन मैट्रिक्स के साथ घुमा न सकें जो आप स्थिति के लिए उपयोग करते हैं। याद रखें कि वे आमतौर पर (रोबोटिक्स की दुनिया में) स्थानीय समन्वय प्रणाली के संदर्भ में परिभाषित किए जाते हैं जबकि स्थिति आमतौर पर वैश्विक समन्वय प्रणाली के संदर्भ में परिभाषित की जाती है। मेरे सिर के ऊपर से, हालांकि, मुझे याद नहीं है कि क्या उन्हें विशेष उपचार की आवश्यकता है।

Comments

धन्यवाद। इस मामले में, हालांकि,$R$ 3x3 है और $C$6x6 है। मुझे लगता है कि मेरी समस्या का एक हिस्सा यह है कि मैं अनिश्चित हूं कि कैसे$R$ रैखिक कुल्हाड़ियों और रोटेशन (या यहां तक ​​कि यूलर कोणों के सहसंयोजक के बीच सहसंयोजक को प्रभावित करेगा), यानी, मुझे कैसे वृद्धि करनी चाहिए $R$इतना है कि यह 6x6 है।

— theWumpus

$R$बस किसी भी मनमाने ढंग से परिशोधन परिवर्तन है। आपके मामले में, शीर्ष बाएं 3x3 ब्लॉक और नीचे दाईं ओर 3x3 ब्लॉक दोनों रोटेशन मैट्रिक्स हैं (यदि आप मानते हैं कि यूलर एंगल्स को एक ही घुमाया जा सकता है ... उत्तर में कैविएट देखें)। ऑफ-विकर्ण ब्लॉक शून्य हैं।

— ryan0270

Answer 2

MRPT पुस्तकालय आप के लिए ऐसा कर सकते हैं। आपको CPose3DPDFGaussianअपने पोज और कोवरियन का प्रतिनिधित्व करने के लिए ए का उपयोग करने की आवश्यकता है फिर +ऑपरेटर का उपयोग करें ।

हुड के तहत यह 7DOF क्वाटर्नियन बेस कोवरियन के रूप में आपके 6DOF सहसंयोजक का प्रतिनिधित्व करता है, जहां गणित अधिक सीधा है।

Comments

गणित के साथ-साथ आपके लिए ऐसा करने वाले पुस्तकालय को दिखाना फायदेमंद होगा।

— चुतसू

Answer 3

सहसंयोजक और इसके अपघटन के लिए ज्यामितीय व्याख्या के साथ बहुत सहज व्याख्या।

http://www.visiondummy.com/2014/04/geometric-interpretation-covariance-matrix/

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— mactro