हैमिल्टनियन विकास का अनुकरण करें

11

मैं यह जानने की कोशिश कर रहा हूं कि क्वांटम कंप्यूटर में पाउली मैट्रिसेस के टैंसर उत्पाद के रूप में लिखे गए शब्दों के साथ हैमिल्टन की बातचीत के तहत कैसेट के विकास को कैसे अनुकरण किया जाए। मुझे नीलसन और चुआंग की पुस्तक में निम्नलिखित चाल मिली है जो इस पोस्ट में फॉर्म के हेमिल्टन के बारे में बताया गया है

H = Z_{1} \otimes Z_{2} \otimes . . . \otimes Z_{n}

$H = Z_1 \otimes Z_2 \otimes ... \otimes Z_n$ ।

लेकिन इस बारे में विस्तार से नहीं बताया गया है कि पाउली मैट्रिस $X$ या $Y$ सहित शर्तों के साथ एक हैमिल्टन के लिए सिमुलेशन कैसे काम करेगा। मैं समझता हूँ कि आप पर विचार करके जेड के में इन पाउली बदल सकता है कि $HZH = X$ जहां $H$ Hadamard गेट है और यह भी $S^{\dagger}HZHS =Y$ जहां $S$ चरण है $i$ गेट। मैं इस का उपयोग करना चाहिए वास्तव में किस प्रकार उदाहरण के लिए लागू करने के लिए

H = X \otimes Y

$H= X \otimes Y$

क्या होगा अगर अब हैमिल्टन में पाउली मैट्रिस के साथ शब्दों का योग है? उदाहरण के लिए

H = X_{1} \otimes Y_{2} + Z_{2} \otimes Y_{3}

$H = X_1 \otimes Y_2 + Z_2 \otimes Y_3$

hamiltonian-simulation nielsen-and-chuang pauli-gates

— पाम
स्रोत

3

चलो कहते हैं कि तुम प्रपत्र की एक Hamiltonian है

H = σ_{1} \otimes σ_{2} \otimes σ_{2} \otimes \dots \otimes σ_{n}

$H=\sigma_1\otimes\sigma_2\otimes\sigma_2\otimes\ldots\otimes\sigma_n$ एक सीधा सर्किट निर्माण आप अपने समय के विकास को लागू करने देता है कि नहीं है

e^{- i H t}

$e^{-iHt}$ । चाल राज्य है कि आप घटक है कि कर रहे हैं में विकसित हो रहे हैं विघटित मूल रूप से है

\pm 1

$\pm 1$ का eigenspaces

H

$H$ । उसके बाद, आप चरण लागू

e^{- i t}

$e^{-it}$ करने के लिए

+ 1

$+1$ eigenspace, और चरण

e^{- i t}

$e^{-it}$ से

- 1

$-1$ ईगेंसपेस। निम्नलिखित सर्किट वह काम करता है (और अंत में अपघटन को अनइंस्टॉल करता है)।

मैं बीच में चरण गेट तत्व को एकात्मक

मानता हूं

(\begin{array}{cc} e^{i t} & 0 \\ 0 & e^{- i t} \end{array}) .

$\left(\begin{array}{cc} e^{it} & 0 \\ 0 & e^{-it} \end{array}\right).$

$H=H_1+H_2$ $H_1$ $H_2$

e^{- i H t} \approx {(e^{- i H_{1} t / M} e^{- i H_{2} t / M})}^{M}

$e^{-iHt}\approx \left(e^{-iH_1t/M}e^{-iH_2t/M}\right)^M$

M

$M$

e^{- i H_{1} t / M}

$e^{-iH_1t/M}$

H = X \otimes Y \otimes I + Z \otimes I \otimes Y

$H=X\otimes Y\otimes\mathbb{I}+Z\otimes\mathbb{I}\otimes Y$

U = \frac{Z + Y}{\sqrt{2}}

$U=\frac{Z+Y}{\sqrt{2}}$

Y

$Y$

Z

$Z$

X

$X$

(X + Z)

$(X+Z)$

(X - Z)

$(X-Z)$

(Z - X)

$(Z-X)$

- (X + Z)

$-(X+Z)$

(- 1)^{x_{2}} (X + (- 1)^{x_{3}} Z)

$(-1)^{x_2}(X+(-1)^{x_3}Z)$

x_{2} x_{3}

$x_2x_3$

X + Z = \sqrt{2} H

$X+Z=\sqrt{2}H$

X \sqrt{2} H X = X - Z

$X\sqrt{2}HX=X-Z$

X

$X$

X

$X$

कुल मिलाकर, मेरा मानना है कि अनुकार ऐसा लगता है कि यह जटिल लग सकता है, लेकिन कम समय के चरणों में बंटवारे से कोई भी नहीं है जो आपके साथ त्रुटियों को जमा करता है। यह बहुत बार लागू नहीं होगा, लेकिन यह इन प्रकार की संभावनाओं के बारे में पता होने के लायक है।

— DaftWullie
स्रोत

एक डॉट के साथ वर्ग मूल कारक का क्या अर्थ है - एक गेट?

— एनरिक सेगुरा

@EnriqueSegura बिल्कुल उसी के समान है जिसके बारे में आपने अभी-अभी पूछा था: एक चरण द्वार जिसमें घुमाव के लेबल वाले कोण हैं।

— DaftWullie

1

$H$ $H=UDU^\dagger$ $e^{it H} = U e^{it D} U^\dagger$

$H = \sigma_1\otimes\cdots\otimes \sigma_n$ $\sigma_i \neq I$ $i$ $H$

H = (σ_{1}^{'} \otimes \dots \otimes σ_{n}^{'}) Z \otimes \cdot \otimes Z (σ_{1}^{'} \otimes \dots \otimes σ_{n}^{'})

$H = (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n) Z\otimes\cdot\otimes Z (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n)$

नतीजतन:

e^{i t H} = (σ_{1}^{'} \otimes \dots \otimes σ_{n}^{'}) e^{i t Z \otimes \cdot \otimes Z} (σ_{1}^{'} \otimes \dots \otimes σ_{n}^{'})

$e^{it H} = (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n) e^{it Z\otimes\cdot\otimes Z} (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n)$

$e^{it Z\otimes Z}$

यदि हैमिल्टन पॉलि उत्पादों का एक योग है, तो कोई सामान्य सरल समाधान नहीं है, लेकिन आप उपर्युक्त समस्या को कम करने के लिए कुछ बड़ी संख्या में काटे गए लीन उत्पाद सूत्र का उपयोग कर सकते हैं ।

— जॉन
स्रोत

0

$e^{-\Delta t H}$

— जॉर्ज
स्रोत