5 से कम क्वैबिट वाले कोड को सही करने में त्रुटि क्यों नहीं हो सकती है?

Question

मैंने हाल ही में कोड्स को सही करते हुए 9-qubit, 7-qubit और 5-qubit त्रुटि के बारे में पढ़ा। लेकिन 5 क्वांट से कम कोड वाली क्वांटम त्रुटि सुधार कोड क्यों नहीं हो सकता है?

Answer 1

एक प्रमाण जो आपको कम से कम 5 qubits (या qudits) की आवश्यकता है

यहाँ एक प्रमाण है कि कोई भी एकल-त्रुटि सुधार ( यानी, दूरी 3) क्वांटम त्रुटि सुधार कोड में कम से कम 5 qubits हैं। वास्तव में, यह किसी भी आयाम $d$ qudits को सामान्य करता है , और किसी भी क्वांटम त्रुटि को सही करने के लिए एक या अधिक आयाम d की रक्षा करता है।$d$ ।

( फेलिक्स ह्यूबर के रूप में नोट , मूल प्रमाण जो आपको कम से कम 5 qubits की आवश्यकता होती है, वह Knill - Laflamme लेख [ arXiv: quant-ph / 9604034 ] के कारण है, जो Knill - Laflamme शर्तों को निर्धारित करता है: निम्नलिखित प्रमाण तकनीक है जो आजकल अधिक उपयोग किया जाता है।)

कोई भी क्वांटम त्रुटि सुधार कोड जो $t$ अज्ञात त्रुटियों को ठीक कर सकता है , $2t$ इरेज़र त्रुटियों को भी ठीक कर सकता है (जहाँ हम बस कुछ क्विट खो देते हैं, या यह पूरी तरह से डीलेराइज़्ड हो जाता है, या इसी तरह) यदि मिट चुके क्वाइब के स्थानों का पता चल जाता है। [1 सेकंड। III ए] *। थोड़ा अधिक आम तौर पर, दूरी $d$ की एक क्वांटम त्रुटि सुधार कोड $d-1$ मिटा त्रुटियों को सहन कर सकता है । उदाहरण के लिए, जबकि $[\![4,2,2]\!]$ कोड किसी भी त्रुटि को सही नहीं कर सकता है, संक्षेप में क्योंकि यह बता सकता है कि एक त्रुटि हुई है (और यहां तक ​​कि किस प्रकार की त्रुटि) लेकिन यह नहीं है कि यह किस कक्षा में हुई है, वही कोड एकल इरेज़र त्रुटि से सुरक्षा कर सकता है (क्योंकि परिकल्पना द्वारा हम ठीक से जानते हैं कि इस मामले में त्रुटि कहाँ होती है)।

यह इस प्रकार है कि कोई भी क्वांटम त्रुटि सुधार कोड जो एक पाउली त्रुटि को सहन कर सकता है, दो क्विट के नुकसान से उबर सकता है। अब: मान लीजिए कि आपके पास $n \geqslant 2$ पर क्वांटम एरर करेक्टिंग कोड है , जो सिंगल- क्वैबिट एरर के खिलाफ एक क्विट को एन्कोडिंग करता है। मान लीजिए कि आप ऐलिस को $n-2$ क्विट, और बॉब को $2$ क्विट देते हैं: तो ऐलिस को मूल एनकोडेड स्थिति को पुनर्प्राप्त करने में सक्षम होना चाहिए। यदि $n<5$ , तो $2 \geqslant n-2$ , ताकि बॉब चाहिए भीमूल एन्कोडेड राज्य को पुनर्प्राप्त करने में सक्षम होना - जिससे ऐलिस राज्य का एक क्लोन प्राप्त करना। जैसा कि यह नो क्लोनिंग प्रमेय द्वारा खारिज किया गया है, यह इस प्रकार है कि हमारे पास $n \geqslant 5$ बजाय होना चाहिए ।

इरेज़र त्रुटियों को ठीक करने पर

* इसके लिए मुझे सबसे पहला संदर्भ मिला है

[१] ग्रासल, बेथ और पेलिज़ारी।
      क्वांटम मिटा चैनल के लिए कोड ।
      भौतिकी। रेव। ए 56 (पीपी। ३३-३ p), १ ९९ p।
p       [ arXiv: quant-ph / 9610042 ]

- जो कि Knill-Laflamme स्थितियों में वर्णित नहीं होने के बाद बहुत लंबा नहीं है [ arXiv: quant-ph / 9604034 ] और इसलिए संभवतः कोड दूरी और मिटाने की त्रुटियों के बीच संबंध का मूल प्रमाण है। रूपरेखा निम्नानुसार है, और दूरी $d$ कोड को सही करने में त्रुटि पर लागू होती है (और सामान्यीकृत पाउली ऑपरेटरों का उपयोग करके, क्वैब के स्थान पर किसी भी आयाम के क्विड पर समान रूप से अच्छी तरह से लागू होता है)।

• $d-1$ क्वाइट्स के नुकसान को उन क्वाइब द्वारा मॉडलिंग किया जा सकता है जो पूरी तरह से डीओलराइजिंग चैनल के अधीन हैं, जो बदले में उन क्वैबिट द्वारा मॉडलिंग की जा सकती है जो समान रूप से यादृच्छिक पाउली त्रुटियों के अधीन हैं।

• यदि उन $d-1$ मात्रा अज्ञात थी, तो यह घातक होगा। हालांकि, जैसा कि उनके स्थानों से ज्ञात है, किसी भी जोड़ी पाउली की घ - 1 पर त्रुटियां हैं$d-1$ क्विबिट्स को एक-दूसरे से अलग किया जा सकता है, जिसे नाइल-लाफलामे शर्तों से अपील की जा सकती है।

• इसलिए, अधिकतम मिश्रित राज्य में क्लेबस के साथ मिटाए गए क्वैबिट्स को प्रतिस्थापित करके और उन $d-1$ क्वैटिक् ट स्पेसिफिकेशन्स पर परीक्षण करने की आवश्यकता है (मनमाने ढंग से पाउली त्रुटियों को ठीक करने के लिए आपके द्वारा उपयोग किए जाने की तुलना में एक अलग सुधार प्रक्रिया की आवश्यकता होती है), आप ठीक कर सकते हैं मूल अवस्था।

Comments

NB यदि आपने मेरे उत्तर को रद्द कर दिया है, तो आपको मूल प्रमाण की पहचान करने के लिए फेलिक्स ह्यूबर के उत्तर को भी समझना चाहिए ।

— निएल डी ब्यूड्रैप

Answer 2

जो हम आसानी से साबित कर सकते हैं वह यह है कि कोई छोटा गैर-पतित कोड नहीं है।

एक गैर-अध: पतन कोड में, आपके पास 2 तार्किक स्थितिएँ होती हैं, और आपके पास प्रत्येक तार्किक स्थिति को मैप करने के लिए प्रत्येक संभावित त्रुटि के लिए एक अलग स्थिति होनी चाहिए। तो, चलो कहते हैं कि तुम दो तार्किक राज्यों के साथ एक 5 qubit कोड था, $|0_L\rangle$ और $|1_L\rangle$ । संभावित एकल-qubit त्रुटियों का सेट $X_1,X_2,\ldots X_5,Y_1,Y_2,\ldots,Y_5,Z_1,Z_2,\ldots,Z_5$, and it means that all the states

$$|0_L\rangle,|1_L\rangle,X_1|0_L\rangle,X_1|1_L\rangle,X_2|0_L\rangle,\ldots$$ must map to orthogonal states.

यदि हम इस तर्क को सामान्य रूप से लागू करते हैं, तो यह हमें दिखाता है कि हमें

$$2+2\times(3n)$$ अलग-अलग राज्यों की आवश्यकता है। लेकिन, $n$ qubits के लिए, अलग-अलग राज्यों की अधिकतम संख्या $2^n$ । तो, दूरी 3 (यानी कम से कम एक त्रुटि के लिए संशोधन) या अधिक से अधिक एक गैर पतित त्रुटि सही कोड के लिए, हम की जरूरत है $$2^n\geq 2(3n+1).$$ इसे क्वांटम हैमिंग बाउंड कहा जाता है। आप आसानी से देख सकते हैं कि यह सब के लिए सच है $n\geq 5$ , लेकिन नहीं करता है, तो $n<5$. Indeed, for $n=5$, the inequality is an equality, and we call the corresponding 5-qubit code the perfect code as a result.

Comments

Can't you prove this by no-cloning for any code, without invoking the Hamming bound?

— Norbert Schuch

@NorbertSchuch the only proof I know involving cloning just shows that an n qubit code cannot correct for n/2 or more errors. If you know another construction, I’d be very happy to learn it!

— DaftWullie

Ah, I see that’s the point of @NieldeBeaudrap’s answer. Cool :)

— DaftWullie

Thought that was a standard argument :-o

— Norbert Schuch

Answer 3

As a complement to the other answer, I am going to add the general quantum Hamming bound for quantum non-degenerate error correction codes. The mathematical formulation of such bound is

$$\begin{equation} 2^{n-k}\geq\sum_{j=0}^t\pmatrix{n\\j}3^j, \end{equation}$$ where $n$ refers to the number of qubits that form the codewords, $k$ is the number of information qubits that are encoded (so they are protected from decoherence), and $t$ is the number of $t$-qubit errors corrected by the code. As $t$ is related with the distance by $t = \lfloor\frac{d-1}{2}\rfloor$, then such non-degenerate quantum code will be a $[[n,k,d]]$ quantum error correction code. This bound is obtained by using an sphere-packing like argument, so that the $2^n$ dimensional Hilbert space is partitioned into $2^{n-k}$ spaces each deistinguished by the syndrome measured, and so one error is assigned to each of the syndromes, and the recovery operation is done by inverting the error associated with such measured syndrome. That's why the number of total errors corrected by a non-degenerate quantum code should be less or equal to the number of partitions by the syndrome measurement.

However, degeneracy is a property of quantum error correction codes that imply the fact that there are classes of equivalence between the errors that can affect the codewords sent. This means that there are errors whose effect on the transmitted codewords is the same while sharing the same syndrome. This implies that those classes of degenerate errors are corrected via the same recovery operation, and so more errors that expected can be corrected. That is why it is not known if the quantum Hamming bound holds for this degenerate error correction codes, as more errors than the partitions can be corrected this way. Please refer to this question for some information about the violation of the quantum Hamming bound.

Answer 4

I wanted to add a short comment to the earliest reference. I believe this was shown already a bit earlier in Section 5.2 of

A Theory of Quantum Error-Correcting Codes
Emanuel Knill, Raymond Laflamme 
https://arxiv.org/abs/quant-ph/9604034

where the specific result is:

Theorem 5.1. A $(2^r,k)$ $e$-error-correcting quantum code must satisfy $r \geqslant 4e + \lceil \log k \rceil$.

Here, an $(N,K)$ code is an embedding of a $K$-dimensional subspace into an $N$-dimensional system; it is an $e$-error-correcting code if the system decomposes as a tensor product of qubits, and the code is capable of correcting errors of weight $e$. In particular, a $(2^n, 2^k)$ $e$-error-correcting code is what we would now describe as an $[\![n,k,2e\:\!{+}1]\!]$ code. Theorem 5.1 then allows us to prove that for $k \geqslant 1$ and an odd integer $d \geqslant 3$, an $[\![n,k,d]\!]$ code must satisfy

$$\begin{aligned} n \;&\geqslant\; 4\bigl\lceil\tfrac{d-1}{2}\bigr\rceil + \lceil \log 2^k \rceil \\[1ex]&\geqslant\; \bigl\lceil 4 \cdot \tfrac{d-1}{2} \bigr\rceil + \lceil k \rceil \\[1ex]&=\; 2d - 2 + k \;\geqslant\; 6 - 2 + 1 \;=\; 5. \end{aligned}$$

(N.B. There is a peculiarity with the dates here: the arxiv submission of above paper is April 1996, a couple of months earlier than Grassl, Beth, and Pellizzari paper submitted in Oct 1996. However, the date below the title in the pdf states a year earlier, April 1995.)

As an alternative proof, I could imagine (but haven't tested yet) that simply solving for a weight distribution that satisfies the Mac-Williams Identities should also suffice. Such a strategy is indeed used

Quantum MacWilliams Identities
Peter Shor, Raymond Laflamme
https://arxiv.org/abs/quant-ph/9610040

to show that no degenerate code on five qubits exists that can correct any single errors.

Comments

Excellent reference, thanks! I didn't know the Knill--Laflamme paper well enough to know that the lower bound of 5 was there as well.

— Niel de Beaudrap

Thanks for editing! About the lower bound, it seems they don't address that five qubits are needed, but only that such code must necessarily be non-degenerate.

— Felix Huber

As a side not, from the quantum Singleton bound also $n=5$ follows for the smallest code being able to correct any single errors. In this case, no-cloning is not required (as $d\leq n/2+1$ already), and the bound follows from subadditivity of the von Neumann entropy. C.f. Section 7.8.3 in Preskill's lecture notes, theory.caltech.edu/people/preskill/ph229/notes/chap7.pdf

— Felix Huber

Unless I badly misread that Section, it seems to me that they show that no error correcting code exists for $r \leqslant 4$; it seems clear that this also follows from Theorem 5.1 as well. None of their terminology suggests that their result is special to non-degenerate codes.

— Niel de Beaudrap

Sorry for the confusion. My side-comment was referring to the Quantum MacWilliams identity paper: there it was only shown that a single-error correcting five qubit code must be pure/non-degenerate. Section 5.2 in the Knill-Laflamme paper ("a theory of QECC..), as they point out, general.

— Felix Huber