सभी हैं

Question

[1] राज्यों के प्रमेय 2:

मान लीजिए $C$ एक एडिटिव सेल्फ-ऑर्थोगोनल सब-कोड है $\textrm{GF}(4)^n$, युक्त $2^{n-k}$ वैक्टर, ऐसे कि वजन के कोई वैक्टर नहीं हैं $<d$ में $C^\perp/C$। तब के किसी भी eigenspace$\phi^{-1}(C)$ मापदंडों के साथ एक additive क्वांटम-त्रुटि-सुधार कोड है $[[n, k, d]]$।

यहाँ कहाँ $\phi: \mathbb{Z}_2^{2n} \rightarrow \textrm{GF}(4)^n$ बाइनरी प्रतिनिधित्व के बीच का नक्शा है $n$पाउली ऑपरेटरों और उनके संबद्ध कोडवर्ड से गुना करें, और $C$है आत्म ओर्थोगोनल अगर$C \subseteq C^\perp$ कहाँ पे $C^\perp$ का दोहरी है $C$।

यह हमें बताता है कि प्रत्येक योगात्मक स्व-ऑर्थोगोनल है $\textrm{GF}(4)^n$ शास्त्रीय कोड एक का प्रतिनिधित्व करता है $[[n, k, d]]$ क्वांटम कोड।

मेरा सवाल यह है कि क्या रिवर्स भी सच है, यह है: हर$[[n, k, d]]$ एक स्व-ऑर्थोगोनल द्वारा प्रस्तुत क्वांटम कोड $\textrm{GF}(4)^n$ शास्त्रीय कोड?

या समकक्ष: क्या कोई हैं$[[n, k, d]]$ क्वांटम कोड जो एक योजक स्व-ऑर्थोगोनल द्वारा प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं $\textrm{GF}(4)^n$ शास्त्रीय कोड?

[१]: कैल्डरबैंक, ए। रॉबर्ट, एट अल। "क्वांटम त्रुटि सुधार GF (4) से अधिक कोड के माध्यम से।" सूचना सिद्धांत पर IEEE लेनदेन 44.4 (1998): 1369-1387।

Comments

इस तरह के Toric कोड या रंग कोड स्वयं orthogonal के रूप में स्टेबलाइजर कोड नहीं हैं? दोनों के बीच एक isomorphism है !!

— Tessaracter

क्षमा करें, मुझे आपकी बात समझ में नहीं आई। मैं एक क्वांटम कोड की तलाश कर रहा हूं जो स्व-ऑर्थोगोनल नहीं है, जो उन लोगों के उदाहरण नहीं हैं।

— SLesslyTall

प्रश्न वास्तव में क्या है? जहाँ तक आप प्रश्न में समझ गए हैं कि आप क्वांटम कोड खोजने की कोशिश कर रहे हैं जो शास्त्रीय कोड का प्रतिनिधित्व करते हैं?

— जोसु एट्क्सेज़ेट्रा मार्टिनेज़

नहीं, मैं यह पता लगाने की कोशिश कर रहा हूं कि क्या सभी क्वांटम कोड (क्वैबिट्स पर) समान शास्त्रीय कोड हैं। स्पष्टता के लिए, मैंने सटीक प्रश्न पर प्रकाश डाला है और एक और रीफ़्रेशिंग जोड़ा है।

— SLesslyTall

Answer 1

स्टेबलाइजर क्वांटम कोड बनाने के लिए शास्त्रीय कोडों पर additive स्व-ऑर्थोगोनल बाधा इस तथ्य के कारण आवश्यक है कि स्टेबलाइजर जनरेटर को उनके बीच एक मान्य कोड स्थान बनाने के लिए आवश्यक रूप से शुरू करना चाहिए। शास्त्रीय कोडों से क्वांटम कोड बनाते समय, स्टेबलाइजर्स के लिए कम्यूटेशन संबंध एक स्व-ऑर्थोगोनल शास्त्रीय कोड होने के बराबर है।

हालाँकि, क्वांटम कोड का निर्माण गैर-स्व-ऑर्थोगोनल शास्त्रीय कोड से किया जा सकता है $GF(4)^n$उलझाव-सहायता के माध्यम से। इस निर्माण में, एक मनमाने ढंग से शास्त्रीय कोड का चयन किया जाता है, और क्वाइल सिस्टम में कुछ बेल जोड़े जोड़कर, स्टेबलाइजर्स के बीच कम्यूटेशन प्राप्त किया जाता है।

किसी भी शास्त्रीय कोड से QECCs के निर्माण के लिए यह उलझाव-सहायता प्राप्त प्रतिमान arXiv: 1610.04013 में प्रस्तुत किया गया है , जो कि ब्रून , डेवेटक और हसिह के विज्ञान में प्रकाशित "क्वांटम क्वांटम एरर्स विद एंटैंग्लिमेंट " नामक पेपर पर आधारित है।

Answer 2

आपके प्रश्न को एक महत्वपूर्ण मुद्दे के रूप में देखा जा सकता है।

संकेतन $[[n,k,d]]_D$अक्सर (लेकिन हमेशा नहीं) कोड के लिए आरक्षित स्टेबलाइजर प्रकार का होता है। जैसा कि कैल्डबैंक एट अल शो के पेपर के अनुसार, क्विबेट स्टेबलाइजर कोड एडिटिव सेल्फ-ऑर्थोगोनल GF (4) ^ एन क्लासिकल कोड के बराबर हैं। यह निर्माण सामान्यीकृत करता है, Refs देखें। केतकर एट अल। और अश्किमिन और निल । यहाँ, कोड का आयाम है$D^k$ quDits के लिए।

कुछ लेखक उपयोग करते हैं $((n,K,d))_D$ निरूपित करने के लिए (स्टेबलाइजर और गैर-स्टेबलाइजर) कोड जिनके आयाम हैं $K$। ध्यान दें कि$K$ जरूरी नहीं कि एक शक्ति है $D$।

बारिश एट अल। निर्माण करने वाले पहले व्यक्ति थे$((5,6,2))$ कोड जो गैर-स्टेबलाइज़र प्रकार का होता है, और जो पाँच क्वैब पर किसी भी स्टेबलाइज़र कोड की तुलना में काफी बेहतर होता है: तुलनात्मक रूप से, सबसे अच्छे पैरामीटर होते हैं $[[5,2,2]]$, और इस प्रकार आयाम है $2^2 = 4 < 6$। यू एट अल में गैर-योज्य क्वांटम कोड के लिए आपको और उदाहरण मिलेंगे । , स्मोलिन एट अल। , और ग्रासल और बेथ ।