समीकरणों के रैखिक प्रणालियों के लिए क्वांटम एल्गोरिथ्म (HHL09): चरण 2 - क्या है

^{यह समीकरणों के रैखिक प्रणालियों (HHL09) के लिए क्वांटम एल्गोरिथ्म की एक अगली कड़ी है : चरण 1 - समीकरणों के रैखिक प्रणालियों के लिए}^{चरण आकलन एल्गोरिथ्म}^और^{क्वांटम एल्गोरिदम}^{के उपयोग के बारे में भ्रम}^{: चरण 1 (संख्या की आवश्यकता) संख्या} ।

कागज में: समीकरणों के रैखिक प्रणालियों के लिए क्वांटम एल्गोरिथ्म (हैरो, हासिडिम और लॉयड, 2009) , क्या भाग तक लिखा गया है

अगला कदम विघटित होना है $|b\rangle$ eigenvector के आधार पर, चरण आकलन [५-।] का उपयोग करते हुए। द्वारा निरूपित करें $|u_j\rangle$ के eigenvectors $A$ (या समकक्ष, में $e^{iAt}$ ), और द्वारा $\lambda_j$ इसी eigenvalues।

पृष्ठ पर $2$ बनाता है कुछ मेरे लिए भावना (ऊपर तक किए गए हैं पिछले पोस्ट ऊपर लिंक में संबोधित भ्रम)। हालाँकि, अगला भाग यानी $R(\lambda^{-1})$ रोटेशन थोड़ा गूढ़ लगता है।

चलो
$| Ψ_{0} ⟩ := \sqrt{\frac{2}{T}} \sum_{τ = 0}^{T - 1} \sin \frac{π (τ + \frac{1}{2})}{T} | τ ⟩$ $|\Psi_0\rangle := \sqrt{\frac{2}{T}}\sum_{\tau =0}^{T-1} \sin \frac{\pi(\tau+\frac{1}{2})}{T}|\tau\rangle$
कुछ बड़े के लिए $T$ । के गुणांक $|\Psi_0\rangle$ चुना जाता है (निम्नलिखित [5-7]) एक निश्चित द्विघात हानि समारोह को कम करने के लिए जो हमारी त्रुटि विश्लेषण में दिखाई देता है (विवरण के लिए [13] देखें)।

इसके बाद, हम सशर्त हैमिल्टन विकास को लागू करते हैं $\sum_{\tau = 0}^{T-1}|\tau\rangle \langle \tau|^{C}\otimes e^{iA\tau t_0/T}$ पर $|\Psi_0\rangle^{C}\otimes |b\rangle$ , कहाँ पे $t_0 = \mathcal{O}(\kappa/\epsilon)$ ।

प्रशन:

1. वास्तव में क्या है $|\Psi_0\rangle$ ? क्या करना है $T$ तथा $\tau$ पक्ष में? मुझे नहीं पता कि यह विशाल अभिव्यक्ति कहां से है

\sqrt{\frac{2}{T}} \sum_{τ = 0}^{T - 1} \sin \frac{π (τ + \frac{1}{2})}{T} | τ ⟩

$\sqrt{\frac{2}{T}}\sum_{\tau =0}^{T-1} \sin \frac{\pi(\tau+\frac{1}{2})}{T}|\tau\rangle$ अचानक से आता है और इसका क्या उपयोग है।

2. चरण अनुमान चरण के बाद, हमारी प्रणाली की स्थिति स्पष्ट रूप से है :

(\sum_{j = 1}^{j = N} β_{j} | u_{j} ⟩ \otimes | {\tilde{λ}}_{j} ⟩) \otimes | 0 ⟩_{ancilla}

$\left(\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\otimes |\tilde\lambda_j\rangle\right)\otimes |0\rangle_{\text{ancilla}}$

यह निश्चित रूप से नहीं लिखा जा सकता है

(\sum_{j = 1}^{j = N} β_{j} | u_{j} ⟩) \otimes (\sum_{j = 1}^{j = N} | {\tilde{λ}}_{j} ⟩) \otimes | 0 ⟩_{ancilla}

$\left(\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\right)\otimes \left(\sum_{j=1}^{j=N}|\tilde\lambda_j\rangle\right)\otimes |0\rangle_{\text{ancilla}}$ अर्थात

| b ⟩ \otimes (\sum_{j = 1}^{j = N} | {\tilde{λ}}_{j} ⟩) \otimes | 0 ⟩_{ancilla}

$|b\rangle\otimes \left(\sum_{j=1}^{j=N}|\tilde\lambda_j\rangle\right)\otimes |0\rangle_{\text{ancilla}}$

तो, यह स्पष्ट है कि $|b\rangle$ दूसरे रजिस्टर में अलग से उपलब्ध नहीं है । इसलिए मुझे नहीं पता कि वे किस तरह एक राज्य की तैयारी कर रहे हैं $|\Psi_0\rangle^{C}\otimes |b\rangle$ पहली जगह में! इसके अलावा, वह क्या करता है $C$ के सुपरस्क्रिप्ट में $|\Psi_0\rangle^{C}$ निरूपित?

3. यह अभिव्यक्ति कहां है $\sum_{\tau = 0}^{T-1}|\tau\rangle \langle \tau|^{C}\otimes e^{iA\tau t_0/T}$ अचानक से? इसका अनुकरण करने का क्या फायदा है? और क्या है $\kappa$ में $\mathcal{O}(\kappa/\epsilon)$ ?

algorithm hhl-algorithm hamiltonian-simulation

— संचेतन दत्ता
स्रोत

जवाबों:

1 कई। परिभाषाएं

इस उत्तर में उपयोग किए गए नाम और प्रतीक क्वांटम लीनियर सिस्टम एल्गोरिदम में परिभाषित लोगों का अनुसरण करते हैं : एक प्राइमर (डर्वोविच, हर्बस्टर, माउंटनी, सेविनी, अशर और वॉसनिग, 2018) । नीचे एक रिकॉल किया गया है।

1.1 रजिस्टर नाम

रजिस्टर नाम चित्रा 5 में परिभाषित किए गए हैं क्वांटम लीनियर सिस्टम एल्गोरिदम के : एक प्राइमर (डर्वोविच, हर्बस्टर, माउंटनी, सेवेरिनी, अशर और वॉसनिग, 2018) (नीचे पुन: प्रस्तुत):

$S$ (1 qubit) ancilla रजिस्टर है जिसका उपयोग यह जांचने के लिए किया जाता है कि आउटपुट वैध है या नहीं।
$C$ ( $n$ qubits) क्लॉक रजिस्टर है, अर्थात क्वांटम चरण अनुमान (QPE) के साथ हैमिल्टन के प्रतिरूपों का अनुमान लगाने के लिए इस्तेमाल किया जाने वाला रजिस्टर।
$I$ ( $m$ qubits) समीकरण के दाईं ओर के संचय का रजिस्टर है $Ax = b$ । यह स्टोर करता है $x$ समीकरण का परिणाम, जब $S$ होने के लिए मापा जाता है $\left|1\right>$ एल्गोरिथ्म के अंत में।

2. के बारे में $\left|\Psi_0\right>$ :

वास्तव में है क्या $\left|\Psi_0\right>$ ?

$\left|\Psi_0\right>$ घड़ी रजिस्टर की एक प्रारंभिक प्रारंभिक स्थिति है $C$ ।
क्या करना है $T$ तथा $\tau$ पक्ष में?

$T$ एक बड़े सकारात्मक पूर्णांक के लिए खड़ा है। इस $T$ जितना संभव हो उतना बड़ा होना चाहिए क्योंकि की अभिव्यक्ति $\left|\Psi_0\right>$ asymptotically के लिए दी गई त्रुटि को कम से कम करें $T$ अनंत तक बढ़ रहा है। की अभिव्यक्ति में $\left|\Psi_0\right>$ , $T$ होगा $2^n$ क्वांटम घड़ी के लिए संभावित राज्यों की संख्या $C$ ।

$\tau$ बस योग सूचकांक है
क्यों इस तरह के एक विशाल अभिव्यक्ति के लिए $\left|\Psi_0\right>$ ?

विस्तृत विवरण के लिए DaftWullie की पोस्ट देखें ।

समीकरणों के रैखिक प्रणालियों के लिए क्वांटम एल्गोरिथ्म में उद्धरण के बाद (हैरो, हासिडिम और लॉयड, 2009 v3) हम साथ समाप्त होते हैं:
1. समीकरणों के रैखिक प्रणालियों के लिए एक ही पेपर क्वांटम एल्गोरिदम का पिछला संस्करण (हैरो, हासिडिम और लॉयड, 2009 v2) । लेखकों ने पेपर को 2 बार संशोधित किया (मूल एचएचएल पेपर के 3 संस्करण हैं) और संस्करण एन ° 3 में पिछले संस्करणों में प्रदान किए गए सभी informations शामिल नहीं हैं। V2 (पृष्ठ 17 पर शुरू होने वाला A.3) में, लेखक इस विशेष प्रारंभिक अवस्था के साथ त्रुटि का विस्तृत विश्लेषण प्रदान करते हैं।
2. इष्टतम क्वांटम क्लॉक्स (बुज़ेक, डेरका, मासार, 1998) जहां की अभिव्यक्ति है $\left|\Psi_0\right>$ के रूप में दिया गया है $\left|\Psi_{opt}\right>$ समीकरण 10 में। मुझे इस भाग को पूरी तरह से समझने का ज्ञान नहीं है, लेकिन ऐसा लगता है कि यह अभिव्यक्ति कुछ अर्थों में "इष्टतम" है।

3. की तैयारी $\left|\Psi_0\right>$ :

जैसा कि पिछले भाग में कहा गया है, $\left|\Psi_0\right>$ एक प्रारंभिक अवस्था है। वे तैयारी नहीं करते $\left|\Psi_0\right>$ चरण आकलन प्रक्रिया के बाद। आदेश देने वाला वाक्य वास्तव में कागज में इष्टतम नहीं है। चरण अनुमान प्रक्रिया जो वे कागज में उपयोग करते हैं, वह "क्लासिक" चरण अनुमान एल्गोरिथ्म से थोड़ा अलग है जो क्वांटम सर्किट में भाग 1 में जुड़ा हुआ है, और इसीलिए वे इसे विवरण में बताते हैं।

उनका चरण अनुमान एल्गोरिथ्म है:

तैयार करो $\left|\Psi_0\right>$ रजिस्टर में राज्य $C$ ।
रजिस्टरों में सशर्त हैमिल्टन विकास को लागू करें $C$ तथा $I$ (जो राज्य में हैं $\left|\Psi_0\right>\otimes \left|b\right>$ )।
परिणामी स्थिति में क्वांटम फूरियर रूपांतरण लागू करें।

अंततः $C$ में $\left| \Psi_0 \right>^C$ इसका मतलब है कि राज्य $\left| \Psi_0 \right>$ रजिस्टर में संग्रहीत किया जाता है $C$ । उपयोग किए गए रजिस्टरों पर नज़र रखने के लिए यह एक छोटी और सुविधाजनक सूचना है।

4. हैमिल्टन का अनुकरण:

सबसे पहले, $\kappa$ शर्त संख्या है ( विकिपीडिया पृष्ठ "शर्त संख्या" परमैट्रिक्स ) है $A$ ।

$\sum_{\tau = 0}^{T-1}|\tau\rangle \langle \tau|^{C}\otimes e^{iA\tau t_0/T}$ क्वांटम गेट का गणितीय प्रतिनिधित्व है।

राशि में पहला भाग $|\tau\rangle \langle \tau|^{C}$ एक नियंत्रण हिस्सा है। इसका अर्थ है कि ऑपरेशन को पहले क्वांटम रजिस्टर (रजिस्टर) की स्थिति द्वारा नियंत्रित किया जाएगा $C$ जैसा कि प्रतिपादक हमें बताता है)।

दूसरा भाग "हैमिल्टनियन सिमुलेशन" गेट है, जो एक क्वांटम गेट है, जो एकात्मक मैट्रिक्स द्वारा दिया गया होगा $e^{iA\tau t_0/T}$ दूसरे रजिस्टर (रजिस्टर) के लिए $I$ यह प्रारंभिक अवस्था में है $\left|b\right>$ )।

संपूर्ण योग "1. परिभाषा" के क्वांटम सर्किट में नियंत्रित-यू ऑपरेशन का गणितीय प्रतिनिधित्व है $U = e^{iA\tau t_0/T}$ ।

— Nelimee
स्रोत

$\newcommand{\bra}[1]{\left\langle#1\right|}\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right\rangle}\newcommand{\proj}[1]{|#1\rangle\langle#1|}\newcommand{\half}{\frac12}$ आपके पहले सवाल के जवाब में, मैंने अपनी समझ के बारे में कुछ समय पहले कुछ नोट्स लिखे थे कि यह कैसे काम करता है। संकेतन शायद थोड़ा अलग है (मैंने इसे अधिक पंक्ति में लाने की कोशिश की है, लेकिन बिट्स को याद करना आसान है), लेकिन राज्य के उस विकल्प को समझाने का प्रयास करता है $|\Psi_0\rangle$ । के कुछ कारक भी प्रतीत होते हैं $\frac12$ स्थानों में घूमना।

जब हम पहले चरण के आकलन का अध्ययन करते हैं, तो हम आमतौर पर कुछ विशेष एल्गोरिथ्म में उपयोग करने के संबंध में सोच रहे होते हैं, जैसे शोर का एल्गोरिथ्म। इसका एक विशिष्ट लक्ष्य है: सर्वश्रेष्ठ हासिल करना $t$ -इंजीन्यूअल के लिए -बिट सन्निकटन। आप या तो करते हैं, या आप नहीं करते हैं, और चरण आकलन का वर्णन विशेष रूप से संभव के रूप में उच्च सफलता संभावना देने के लिए तैयार है।

एचएचएल में, हम कुछ राज्य बनाने की कोशिश कर रहे हैं

| ϕ ⟩ = \sum_{j} \frac{β_{j}}{λ_{j}} | λ_{j} ⟩,

$\ket{\phi}=\sum_j\frac{\beta_j}{\lambda_j}\ket{\lambda_j},$ कहाँ पे

| b ⟩ = \sum_{j} β_{j} | λ_{j} ⟩

$\ket{b}=\sum_j\beta_j\ket{\lambda_j}$ , चरण निर्धारण का उपयोग करना। इस के सन्निकटन की सटीकता, उन प्रतिजन के सटीक अनुमान पर कहीं अधिक गंभीर रूप से निर्भर करेगी जो कि 0 के करीब 0 के बजाय 0 के करीब हैं। एक स्पष्ट कदम इसलिए, चरण अनुमान प्रोटोकॉल को संशोधित करने का प्रयास करना है ताकि निश्चित चौड़ाई के `डिब्बे 'का उपयोग करने से

2 π / T

$2\pi/T$ के चरणों का अनुमान लगाने के लिए

e^{- i A t}

$e^{-iAt}$ (

T = 2^{t}

$T=2^t$ तथा

t

$t$ चरण अनुमान रजिस्टर में संख्याओं की संख्या है), हम इसके बजाय एक सेट निर्दिष्ट कर सकते हैं

ϕ_{y}

$\phi_y$ के लिये

y \in {0, 1}^{t}

$y\in\{0,1\}^t$ प्रत्येक बिन के केंद्र के रूप में कार्य करने के लिए ताकि हम 0 चरण के करीब सटीकता बढ़ा सकें। आम तौर पर, आप चरण के फ़ंक्शन के रूप में त्रुटियों के प्रति कितने सहिष्णु हो सकते हैं, इसके लिए आप एक व्यापार-बंद फ़ंक्शन निर्दिष्ट कर सकते हैं

ϕ

$\phi$ । इस फ़ंक्शन की सटीक प्रकृति को किसी दिए गए अनुप्रयोग और योग्यता के विशेष आंकड़े के साथ जोड़ा जा सकता है, जिसका उपयोग आप सफलता निर्धारित करने के लिए करेंगे। शोर के एल्गोरिथ्म के मामले में, हमारी योग्यता का आंकड़ा बस इस बिनिंग प्रोटोकॉल था - अगर हम सही बिन में उत्तर थे, और इसके बाहर असफल रहे तो हम सफल रहे। यह एचएचएल में ऐसा नहीं होने जा रहा है, जिसकी सफलता को यथोचित रूप से एक निरंतर उपाय जैसे कि निष्ठा द्वारा कब्जा कर लिया जाता है। इसलिए, सामान्य मामले के लिए, हम एक लागत समारोह नामित करेंगे

C (ϕ, ϕ^{'})

$C(\phi,\phi')$ जो जवाब के लिए एक दंड निर्दिष्ट करता है

ϕ^{'}

$\phi'$ अगर सच्चा चरण है

ϕ

$\phi$ ।

याद रखें कि मानक चरण अनुमान प्रोटोकॉल ने एक इनपुट राज्य का निर्माण करके काम किया था जो सभी आधार राज्यों का एक समान सुपरपोजिशन था $\ket{x}$ के लिये $x\in\{0,1\}^t$ । इस राज्य का उपयोग कई नियंत्रित के अनुक्रमिक अनुप्रयोग को नियंत्रित करने के लिए किया गया था- $U$ गेट्स, जिनका उलटा फूरियर ट्रांसफॉर्म होता है। कल्पना कीजिए कि हम इनपुट स्टेट को किसी अन्य राज्य से बदल सकते हैं

| Ψ_{0} ⟩ = \sum_{x \in {0, 1}^{t}} α_{x} | x ⟩,

$\ket{\Psi_0}=\sum_{x\in\{0,1\}^t}\alpha_x\ket{x},$ और फिर बाकी प्रोटोकॉल पहले की तरह काम कर सकते थे। अभी के लिए, हम इस सवाल की अनदेखी करेंगे कि नए राज्य का निर्माण करना कितना कठिन है

| Ψ_{0} ⟩

$\ket{\Psi_0}$ , जैसा कि हम मूल अवधारणा को व्यक्त करने की कोशिश कर रहे हैं। इस अवस्था से शुरू, नियंत्रित का उपयोग-

U

$U$ गेट्स (एक eigenvector को लक्षित करना)

U

$U$ eigenvalue की

ϕ

$\phi$ ), राज्य का उत्पादन करता है

\sum_{x \in {0, 1}^{t}} α_{x} e^{i ϕ x} | x ⟩ .

$\sum_{x\in\{0,1\}^t}\alpha_xe^{i\phi x}\ket{x}.$ उलटा फूरियर रूपांतरण पैदावार को लागू करना

\frac{1}{\sqrt{T}} \sum_{x, y \in {0, 1}^{t}} e^{i x (ϕ - \frac{2 π y}{M})} α_{x} | y ⟩ .

$\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{x,y\in\{0,1\}^t}e^{ix\left(\phi-\frac{2\pi y}{M}\right)}\alpha_x\ket{y}.$ जवाब मिलने की संभावना

y

$y$ (अर्थात

ϕ^{'} = 2 π y / T

$\phi'=2\pi y/T$ ) है

\frac{1}{T} {| \sum_{x \in {0, 1}^{t}} e^{i x (ϕ - \frac{2 π y}{T})} α_{x} |}^{2}

$\frac{1}{T}\left|\sum_{x\in\{0,1\}^t}e^{ix\left(\phi-\frac{2\pi y}{T}\right)}\alpha_x\right|^2$ इसलिए लागत समारोह का अपेक्षित मूल्य, का एक यादृच्छिक वितरण मानते हुए

ϕ

$\phi$ , है

\bar{C} = \frac{1}{2 π T} \int_{0}^{2 π} d ϕ \sum_{y \in {0, 1}^{t}} {| \sum_{x \in {0, 1}^{t}} e^{i x (ϕ - \frac{2 π y}{T})} α_{x} |}^{2} C (ϕ, 2 π y / T),

$\bar C=\frac{1}{2\pi T}\int_0^{2\pi}d\phi\sum_{y\in\{0,1\}^t}\left|\sum_{x\in\{0,1\}^t}e^{ix\left(\phi-\frac{2\pi y}{T}\right)}\alpha_x\right|^2C(\phi,2\pi y/T),$ और हमारा काम एम्पलीट्यूड का चयन करना है

α_{x}

$\alpha_x$ किसी भी विशिष्ट प्राप्ति के लिए इसे कम से कम करें

C (ϕ, ϕ^{'})

$C(\phi,\phi')$ । यदि हम सरल धारणा बनाते हैं

C (ϕ, ϕ^{'})

$C(\phi,\phi')$ का केवल एक कार्य है

ϕ - ϕ^{'}

$\phi-\phi'$ , तो हम देने के लिए एकीकरण में परिवर्तनशील परिवर्तन कर सकते हैं

\bar{C} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} d ϕ {| \sum_{x \in {0, 1}^{t}} e^{i x ϕ} α_{x} |}^{2} C (ϕ),

$\bar C=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\phi\left|\sum_{x\in\{0,1\}^t}e^{ix\phi}\alpha_x\right|^2C(\phi),$ जैसा कि हमने उल्लेख किया है, सबसे उपयोगी उपाय एक निष्ठा उपाय होने की संभावना है। गौर कीजिए कि हमारे पास एक राज्य है

| + ⟩

$\ket{+}$ और हम एकात्मक को लागू करना चाहते हैं

U_{ϕ} = | 0 ⟩ ⟨ 0 | + e^{i ϕ} | 1 ⟩ ⟨ 1 |

$U_\phi=\proj{0}+e^{i\phi}\proj{1}$ , लेकिन इसके बजाय हम लागू करते हैं

U_{ϕ^{'}} = | 0 ⟩ ⟨ 0 | + e^{i ϕ^{'}} | 1 ⟩ ⟨ 1 |

$U_{\phi'}=\proj{0}+e^{i\phi'}\proj{1}$ । निष्ठा मापती है कि यह कितना अच्छा काम करता है,

F = {| ⟨ + | U_{ϕ^{'}}^{†} U | + ⟩ |}^{2} = \cos^{2} (\frac{ϕ - ϕ^{'}}{2}),

$F=\left|\bra{+}U_{\phi'}^\dagger U\ket{+}\right|^2=\cos^2\left(\frac{\phi-\phi'}{2}\right),$ तो हम लेते हैं

C (ϕ - ϕ^{'}) = \sin^{2} (\frac{ϕ - ϕ^{'}}{2}),

$C(\phi-\phi')=\sin^2\left(\frac{\phi-\phi'}{2}\right),$ आदर्श मामले में

F = 1

$F=1$ , इसलिए त्रुटि, जिसे हम कम से कम करना चाहते हैं, के रूप में लिया जा सकता है

1 - F

$1-F$ । यह निश्चित रूप से किसी भी मूल्यांकन के लिए सही कार्य होगा

U^{t}

$U^t$ , लेकिन आयामों को संशोधित करने के अधिक सामान्य कार्य के लिए, न केवल चरण, अशुद्धि के प्रभाव प्रोटोकॉल के माध्यम से कम तुच्छ तरीके से प्रचार करते हैं, इसलिए यह इष्टतमता साबित करना मुश्किल है, हालांकि फ़ंक्शन

C (ϕ - ϕ^{'})

$C(\phi-\phi')$ पहले से ही राज्यों के समान सुपरपोजिशन पर कुछ सुधार प्रदान करेगा। इस फॉर्म के साथ आगे बढ़ना, हमारे पास है

\bar{C} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} d ϕ {| \sum_{x \in {0, 1}^{t}} e^{i x ϕ} α_{x} |}^{2} \sin^{2} (\frac{1}{2} ϕ),

$\bar C=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\phi\left|\sum_{x\in\{0,1\}^t}e^{ix\phi}\alpha_x\right|^2\sin^2\left(\half\phi\right),$ अभिन्न पर

ϕ

$\phi$ अब प्रदर्शन किया जा सकता है, इसलिए हम फ़ंक्शन को कम से कम करना चाहते हैं

\frac{1}{2} \sum_{x, y = 0}^{T - 1} α_{x} α_{y}^{⋆} (δ_{x, y} - \frac{1}{2} δ_{x, y - 1} - \frac{1}{2} δ_{x, y + 1}) .

$\half\sum_{x,y=0}^{T-1}\alpha_x\alpha_y^\star(\delta_{x,y}-\half\delta_{x,y-1}-\half\delta_{x,y+1}).$ यह संक्षिप्त रूप में व्यक्त किया जा सकता है

min ⟨ Ψ_{0} | H | Ψ_{0} ⟩

$\min\bra{\Psi_0}H\ket{\Psi_0}$ कहाँ पे

H = \frac{1}{2} \sum_{x, y = 0}^{T - 1} (δ_{x, y} - \frac{1}{2} δ_{x, y - 1} - \frac{1}{2} δ_{x, y + 1}) | x ⟩ ⟨ y | .

$H=\half\sum_{x,y=0}^{T-1}(\delta_{x,y}-\half\delta_{x,y-1}-\half\delta_{x,y+1})\ket{x}\bra{y}.$ का इष्टतम विकल्प

| Ψ_{0} ⟩

$\ket{\Psi_0}$ मैट्रिक्स का न्यूनतम प्रतिजन है

H

$H$ ,

α_{x} = \sqrt{\frac{2}{T + 1}} \sin (\frac{(x + 1) π}{T + 1}),

$\alpha_x=\sqrt{\frac{2}{T+1}}\sin\left(\frac{(x+1)\pi}{T+1}\right),$ तथा

\bar{C}

$\bar C$ न्यूनतम स्वदेशी है

\bar{C} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos (\frac{π}{T + 1}) .

$\bar C=\half-\half\cos\left(\frac{\pi}{T+1}\right).$ बड़े पैमाने पर, महत्वपूर्ण रूप से

T

$T$ ,

\bar{C}

$\bar C$ तराजू के रूप में

1 / T^{2}

$1/T^2$ इसके बजाय

1 / T

$1/T$ कि हम वर्दी युग्मन पसंद से मिल गया होगा

α_{x} = 1 / \sqrt{T}

$\alpha_x=1/\sqrt{T}$ । यह त्रुटि विश्लेषण के लिए एक महत्वपूर्ण लाभ देता है।

अगर आप भी ऐसा ही चाहते हैं $|\Psi_0\rangle$ जैसा कि HHL पेपर में बताया गया है, मेरा मानना है कि आपको शर्तों को जोड़ना होगा $-\frac14\left(\ket{0}\bra{T-1}+\ket{T-1}\bra{0}\right)$ हैमिल्टन के लिए। मेरे पास ऐसा करने का कोई औचित्य नहीं है, लेकिन यह शायद मेरी असफलता है।

— DaftWullie
स्रोत