समीकरणों के रैखिक प्रणालियों के लिए क्वांटम एल्गोरिथ्म (HHL09): चरण 1 - चरण निर्धारण के उपयोग के बारे में भ्रम एल्गोरिथ्म

Question

मैं प्रसिद्ध (?) कागज के आसपास मेरे सिर प्राप्त करने की कोशिश की है रेखीय समीकरण प्रणाली (हैरो, Hassidim और लॉयड, 2009) के लिए क्वांटम एल्गोरिथ्म (अधिक लोकप्रिय रूप में जाना जाता HHL09 एल्गोरिथ्म कुछ समय के लिए कागज), अब।

पहले पृष्ठ पर, वे कहते हैं :

हम अपने एल्गोरिथ्म के मूल विचार को यहाँ स्केच करते हैं और फिर अगले भाग में इसके बारे में अधिक विस्तार से चर्चा करते हैं। एक हर्मिटियन मैट्रिक्स , और एक यूनिट वेक्टर को देखते हुए , मान लें कि हम संतुष्ट करते हुए खोजना चाहते हैं । (हम दक्षता के बाद के सवालों पर चर्चा करते हैं और साथ ही हमने और बारे में जो धारणाएं बनाई हैं, उन्हें कैसे शांत किया जा सकता है।) सबसे पहले, एल्गोरिथम एक क्वांटम राज्य के रूप में प्रतिनिधित्व करता है । इसके बाद, हम हैमिल्टनियन सिमुलेशन की तकनीकों का उपयोग करते हैं [3, 4] को लागू करने के लिए से$N\times N$$A$$\vec{b}$$\vec{x}$$A\vec{x} = \vec{b}$$A$$\vec{b}$$\vec{b}$$|b\rangle = \sum_{i=1}^{N}b_i|i\rangle$$e^{iAt}$$|b_i\rangle$अलग-अलग समय के सुपरपोजिशन के लिए । यह exponentiate करने की क्षमता अनुवाद करती है, चरण आकलन [5-7] के प्रसिद्ध तकनीक के माध्यम से विघटित करने की क्षमता में की eigenbasis में और इसी eigenvalues खोजने के लिए अनौपचारिक रूप से, के राज्य इस चरण के बाद सिस्टम , जहाँ और के eigenvector का आधार है , के है। ।$t$$A$$|b\rangle$$A$$\lambda_j$$\sum_{j=1}^{j=N} \beta_j |u_j\rangle|\lambda_j\rangle$$u_j$$A$$|b\rangle = \sum_{j=1}^{j=N} \beta_j|u_j\rangle$

अब तक सब ठीक है। में वर्णित है नीलसन और चुआंग अध्याय में " क्वांटम फूरियर को बदलने और उसके अनुप्रयोगों के ", चरण आकलन एल्गोरिथ्म अनुमान लगाने के लिए प्रयोग किया जाता है में जो eigenvalue एक आइजन्वेक्टर करने के लिए इसी है एकात्मक ऑपरेटर की ।$\varphi$$e^{i2\pi \varphi}$$|u\rangle$$U$

यहाँ नीलसन और चुआंग से संबंधित भाग है:

चरण अनुमान एल्गोरिथ्म दो रजिस्टरों का उपयोग करता है। पहले रजिस्टर में राज्य में शुरू में । । हम चुनाव कैसे दो बातों पर निर्भर करता है: सटीकता के अंकों की संख्या हम हमारी अनुमानित में करना चाहते हैं , और क्या संभावना हम चरण आकलन प्रक्रिया इच्छा के साथ सफल होने के लिए। इन मात्राओं पर की निर्भरता स्वाभाविक रूप से निम्नलिखित विश्लेषण से उभरती है।$t$$|0\rangle$$t$$\varphi$$t$

दूसरा रजिस्टर राज्य में शुरू होता है और स्टोर करने के लिए आवश्यक के रूप में कई qubits शामिल हैं । चरण का आकलन दो चरणों में किया जाता है। सबसे पहले, हम चित्र 5.2 में दिखाए गए सर्किट को लागू करते हैं। सर्किट पहले रजिस्टर में हैडमार्ड ट्रांसफॉर्मेशन लागू करने के बाद शुरू होता है, इसके बाद दूसरे के रजिस्टर पर नियंत्रित - संचालन के साथ, को दो की क्रमिक शक्तियों के साथ उठाया जाता है। पहले रजिस्टर की अंतिम स्थिति को आसानी से देखा जा सकता है:$|u\rangle$$|u\rangle$$U$$U$

$$\frac{1}{2^{t/2}}\left(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-1}\varphi)|1\rangle)(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-2}\varphi)|1\rangle)...(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{0}\varphi)|1\rangle\right)= \frac{1}{2^{t/2}}\sum_{k=0}^{2^{t}-1}\text{exp}(2\pi i \varphi k)|k\rangle$$

चरण अनुमान का दूसरा चरण पहले रजिस्टर पर उलटा क्वांटम फूरियर रूपांतरण लागू करना है। यह पिछले खंड (व्यायाम 5.5) में क्वांटम फूरियर रूपांतरण के लिए सर्किट को उल्टा करके प्राप्त किया जाता है और चरणों में किया जा सकता है । चरण आकलन का तीसरा और अंतिम चरण कम्प्यूटेशनल आधार में माप करके पहले रजिस्टर की स्थिति को पढ़ना है। हम दिखाएंगे कि यह का एक बहुत अच्छा अनुमान प्रदान करता है । एल्गोरिथ्म का एक समग्र योजना चित्र 5.3 में दिखाया गया है।$\Theta (t^2)$$\varphi$

क्यों चरण अनुमान काम करता है के रूप में हमारे अंतर्ज्ञान को तेज करने के लिए, मान लीजिए कि बिल्कुल int बिट्स के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जैसा कि । फिर चरण अनुमान के पहले चरण से उत्पन्न राज्य (5.20) को फिर से लिखा जा सकता हैφ = 0. φ 1 । । । φ $\varphi$$\varphi = 0.\varphi_1 ... \varphi_t$

$$\frac{1}{2^{t/2}}(|0\rangle + \exp(2\pi i 0.\varphi_t|1\rangle)(|0\rangle + \exp(2\pi i 0.\varphi_{t-1}\varphi_t|1\rangle)...(|0\rangle + \exp(2\pi i 0.\varphi_1...\varphi_t|1\rangle)$$

चरण अनुमान का दूसरा चरण उलटा क्वांटम फूरियर रूपांतरण लागू करना है। लेकिन फूरियर ट्रांसफॉर्म, इक्वेशन (5.4) के लिए उत्पाद फॉर्म के साथ पिछले समीकरण की तुलना करते हुए, हम देखते हैं कि दूसरे चरण से आउटपुट स्थिति उत्पाद स्थिति है । कम्प्यूटेशनल आधार में एक माप, इसलिए, हमें बिल्कुल देता है!$|\varphi_1 ...\varphi_t\rangle$$\varphi$

संक्षेप में चरण आकलन एल्गोरिथ्म चरण अनुमान लगाने के लिए एक की अनुमति देता है एक एकात्मक ऑपरेटर के eigenvalue की , इसी आइजन्वेक्टर दिया । इस प्रक्रिया के दिल में एक आवश्यक विशेषता उलटा फूरियर रूपांतरण करने की क्षमता हैयू | यू $\varphi$$U$$|u\rangle$

$$\frac{1}{2^{t/2}}\sum_{j = 0}^{2^t-1}\exp(2\pi i \varphi j)|j\rangle |u\rangle \to |\tilde \varphi \rangle |u\rangle$$

चलो यहाँ से आगे बढ़ते हैं। मुझे यहाँ HHL09 एल्गोरिथ्म के लिए एक अच्छा सर्किट आरेख मिला ^{[[ ]} : ^$\dagger$

चरण 1 (चरण अनुमान):

HHL09 एल्गोरिथ्म के पहले चरण में समान अवधारणा (मानक क्वांटम चरण अनुमान एल्गोरिथ्म में जैसा कि नीलसन और चुआंग में वर्णित है) का उपयोग किया जाता है। हालाँकि, हमें यह ध्यान रखना चाहिए कि स्वयं एक एकात्मक ऑपरेटर नहीं है। हालांकि, अगर हम मानते हैं कि हर्मिटियन है, तो घातांक एकात्मक है (कोई चिंता नहीं है, वहाँ नहीं है!)। ए ई आई ए टी$A$$A$$e^{iAt}$$A$

यहां, हम लिख सकते हैं । यहां एक और सूक्ष्म बिंदु शामिल है। हम नहीं eigenvectors पता की पहले से (लेकिन हम जानते हैं कि आकार के किसी भी एकात्मक मैट्रिक्स के लिए कि वहाँ मौजूद orthonormal eigenvectors)। इसके अलावा, हम यह है कि अगर eigenvalues के अपने आप को याद दिलाने की जरूरत हैं तो eigenvalues के हो जाएगा । अगर हम इसकी तुलना नीलसन और चुआंग में यूजेनल्यूज़ के रूप में तो यदि $U=e^{iAt}$$|u_j\rangle$$U$$N\times N$$N$$A$$\lambda_j$$e^{iAt}$$e^{i \lambda_j t}$$U$$e^{2\pi i \varphi} \equiv e^{ i \lambda_j t}$, हम । इस मामले में, हम राज्य में शुरू (जिनमें से eigenvectors की एक superposition के रूप में लिखा जा सकता है यानी ) के बजाय किसी भी तुलना में विशेष रूप से eigenvector of , जहाँ तक दूसरी श्रेणी के क्वैबिट्स का संबंध है। यदि हम राज्य में शुरू कर चुके थे हम समाप्त हो गए होते अर्थात (उस$\varphi = \frac{\lambda_j t}{2\pi}$$|b\rangle$$U$$\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle$$|u_j\rangle$$U$$|u\rangle \otimes (|0\rangle)^{\otimes t}$$|u\rangle \otimes |\tilde\varphi\rangle$$|u_j\rangle \otimes |\tilde{\frac{\lambda_j t}{2\pi}}\rangle$$\lambda_j$eigenvalctor eigenvector से जुड़ा हुआ है of )। अब, इसके बजाय अगर हम eigenvectors के सुपरपोजिशन में शुरू करते हैं हमें समाप्त होना चाहिए ।$|u_j\rangle$$A$$\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle$$\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\otimes |\tilde{\frac{\lambda_j t}{2\pi}}\rangle$

सवाल:

भाग 1 : HHL09 पेपर में , उन्होंने इस चरण अनुमान चरण के बाद प्रणाली की स्थिति के बारे में लिखा है । हालाँकि, जो मैंने ऊपर लिखा है उससे मुझे ऐसा लगता है कि सिस्टम की स्थिति ।$\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\otimes |\tilde\lambda_j\rangle$$\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\otimes |\tilde{\frac{\lambda_j t}{2\pi}}\rangle$

मुझे यहां क्या समझ नहीं आ रहा है? उनके एल्गोरिथ्म में का कारक कहां गायब हो गया?$\frac{t}{2\pi}$

संपादित करें: भाग 2 को यहां व्यक्तिगत प्रश्नों को अधिक केंद्रित बनाने के लिए कहा गया है ।

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^{मेरे पास HHL09 एल्गोरिथम के चरण 2 और चरण 3 के बारे में भी कई भ्रम हैं, लेकिन मैंने उन्हें अलग-अलग प्रश्न सूत्र के रूप में पोस्ट करने का फैसला किया, क्योंकि यह बहुत लंबा होता जा रहा है। मैं उन प्रश्न सूत्र के लिंक जोड़ूंगा, इस पोस्ट पर, एक बार जब वे बन जाएंगे।}

[ ]: आईबीएम के क्लाउड क्वांटम कम्प्यूटिंग प्लेटफॉर्म हुआंग एट अल पर होमोमोर्फिक एन्क्रिप्शन प्रयोग । (2016)$\dagger$

Comments

@Nelimee वह सूत्र । यह "पहले रजिस्टर" में qubits की संख्या प्रत्येक का प्रतिनिधित्व करने के लिए आवश्यक को दर्शाता है या को परिशुद्धता के -bits और साथ सटीकता। Btw, कृपया ध्यान दें कि प्रश्न का हिस्सा अब यहाँ स्थानांतरित कर दिया गया है । $6$$t = 3 + \lceil { \log_2(2+\frac{1}{2 (0.1)})\rceil} = 3 + 3 = 6$$|\lambda_j\rangle$$|\frac{\lambda_j t}{2\pi}\rangle$$3$$90\%$

— सांच्यन दत्ता

Answer 1

यह कागजात पर निर्भर करता है, लेकिन मैंने 2 दृष्टिकोण देखे:

1. एचएचएल एल्गोरिथ्म और इसके कार्यान्वयन के बारे में पढ़े जाने वाले अधिकांश पत्रों में, हैमिल्टन विकास समय को इस तरह से लिया जाता है कि यह कारक गायब हो जाता है, अर्थात ।$t$$t = t_0 = 2\pi$

2. अनुमानित ईजेनवल्यू को अक्सर लिखा जाता है । कुछ कागज़ात में इस संकेतन का वास्तव में अर्थ है "सच्चे इगेनवेल्यू का सन्निकटन " और अन्य कागज़ात में वे इस परिभाषा में को शामिल करते प्रतीत होते हैं , अर्थात " " का सन्निकटन है " का मान ।"$\tilde \lambda$$\lambda$$\frac{t}{2\pi}$$\tilde \lambda$$\frac{\lambda t}{2\pi}$

यहाँ कुछ लिंक दिए गए हैं:

1. क्वांटम लीनियर सिस्टम एल्गोरिदम: एक प्राइमर (डर्वोविच, हर्बस्टर, माउंटनी, सेवेरिनी, अशर और वॉसनिग, 2018) : एचएचएल एल्गोरिथ्म पर एक पूर्ण और बहुत अच्छा लेख और कुछ सुधार जिन्हें खोजा गया है। कागज फरवरी, 2018 के मूल्य के 22 वें से है आप में पहली आकृति 5 की कथा में, पेज 30 में संबोधित किया जाता है रुचि रखते हैं और पर तय हो गई है ।$t$$2\pi$

2. समीकरणों के रैखिक सिस्टम (काओ, डस्किन, फ्रेंकल एंड कैस, 2013) को हल करने के लिए क्वांटम सर्किट डिज़ाइन (v2 ले लो और v3 नहीं): एक निश्चित 4x4 मैट्रिक्स के लिए HHL एल्गोरिथ्म का विस्तृत कार्यान्वयन। यदि आप लेख का उपयोग करने की योजना बनाते हैं तो मुझे आपको चेतावनी देते हैं कि इसमें कुछ गलतियाँ हैं। यदि आप रुचि रखते हैं तो मैं आपको वही प्रदान कर सकता हूं जो मैंने पाया। लिए मान (जिसे इस पेपर में रूप में गया है) दूसरे पेज में (दाएं कॉलम की शुरुआत में) लिए निर्धारित है ।$t$$t_0$$2\pi$

3. प्रायोगिक क्वांटम कम्प्यूटिंग सिस्टम ऑफ़ लीनियर इक्वेशन (काई, वेदब्रुक, सु, चेन, गु, झू, ली, लियू, लू और पैन, 2013) को हल करना : एक प्रायोगिक सेटअप पर 2x2 मैट्रिक्स के लिए HHL एल्गोरिथ्म का कार्यान्वयन। वे चित्र 1 की कथा में को ठीक करते हैं।$t = 2\pi$

4. समीकरणों के रैखिक प्रणालियों (पैन, काओ, याओ, ली, जू, पेंग, कैस एंड डू, 2013) को हल करने के लिए क्वांटम एल्गोरिदम का प्रायोगिक अहसास : 2x2 मैट्रिक्स के लिए एचएचएल का कार्यान्वयन। कार्यान्वयन 4x4 मैट्रिक्स के साथ ऊपर दिए गए दूसरे बिंदु में दिए गए के समान है। वे पृष्ठ 3 में को ठीक , बुलेट बिंदु n ° 2।$t_0 = 2\pi$

Answer 2

मुझे यहां क्या समझ नहीं आ रहा है? उनके एल्गोरिथ्म में का कारक कहां गायब हो गया?$\frac{t}{2\pi}$

याद रखें कि डिराक संकेतन में, आप केट के अंदर जो कुछ भी लिखते हैं वह एक अनियंत्रित लेबल होता है जिसमें कुछ और सार होता है। तो, यह सच है कि आप को खोज रहे हैं (अनुमानित) , जो कि eigenvalue और इसलिए जो आप रहे हैं, वह , लेकिन वह है एक ही eigenvalue साथ के eigenvector के रूप में , और यह वह है जिसे संकेतन में संदर्भित किया जा रहा है। लेकिन अगर आप वास्तव में स्पष्ट होना चाहते हैं, तो आप इसे लिख सकते हैंई - मैं λ टी λ टी / ( 2 π ) एक $U$$e^{-i\lambda t}$$\lambda t/(2\pi)$$A$$\lambda$

| अनुमानित प्रतिवाहक जिसके लिए eigenvalue है और लिए जो eigenvalue if ,ई - मैं λ टी एक λ $U$$e^{-i\lambda t}$$A$$\lambda\rangle$

लेकिन शायद हर बार इसे लिखने के बजाय, हम सिर्फ लिख सकते हैं। संक्षिप्तता के लिए !$|\tilde\lambda\rangle$