"कोड स्थान", "कोड शब्द" और "स्टेबलाइजर कोड" में क्या अंतर है?

Question

मैं पढ़ता रहता हूं (उदाहरण के लिए नीलसन और चुआंग, 2010; पृष्ठ 456 और 465) निम्नलिखित तीन चरण; "कोड स्पेस", "कोड वर्ड" और "स्टेबलाइजर कोड" - लेकिन उनकी परिभाषा ढूंढने में मुश्किल समय आ रहा है और इससे भी महत्वपूर्ण बात यह है कि वे एक दूसरे से अलग कैसे हैं।

मेरा प्रश्न इसलिए है; इन तीन शब्दों को कैसे परिभाषित किया गया है और ये कैसे संबंधित हैं?

Answer 1

कोड स्थान और कोड-शब्द

एक क्वांटम त्रुटि सुधार कोड अक्सर कोड-स्पेस (नीलसन और चुआंग निश्चित रूप से ऐसा करने लगते हैं) के साथ पहचाना जाता है। कोड अंतरिक्ष एक जैसे की n -qubit क्वांटम त्रुटि सुधार कोड एक वेक्टर उपस्पेस है सी ⊆ एच ⊗ एन 2 ।$\mathcal C$$n$$\mathcal C \subseteq \mathcal H_2^{\otimes n}$

एक कोड शब्द (शब्दावली जो त्रुटि सुधार के शास्त्रीय सिद्धांत से उधार लिया गया था) एक अवस्था है कुछ कोड-स्थान के लिए ψ ∈ for C: अर्थात् , यह एक ऐसी स्थिति है जो कुछ डेटा को एनकोड करती है।$\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$

क्वांटम त्रुटि सुधार कोड

व्यवहार में, हम एक क्वांटम त्रुटि सुधार कोड रखने के लिए कुछ गैर-तुच्छ गुणों की मांग करते हैं, जैसे:

• $\mathop{\mathrm{dim}} \mathcal C \geqslant 2$
• कि ऑपरेटर सहित कम से कम दो ऑपरेटरों का एक सेट हैं , जैसे कि - यदि पर orthogonal प्रोजेक्टर - हमारे पास कुछ (जिसे Knill-Laflamme स्थितियों के रूप में जाना जाता है )।ई 1 = 1 पी सी पी ई जे ई कश्मीर पी = α j , k पी α j , $\mathcal E = \{ E_1, E_2, \ldots \}$$E_1 = \mathbb 1$$P$$\mathcal C$ $$P E_j E_k P = \alpha_{j,k} P$$ $\alpha_{j,k}$

यह त्रुटि ऑपरेटरों के कुछ सेट को निर्धारित करता है जिसके खिलाफ आप सिद्धांत रूप में एक राज्य रक्षा कर सकते हैं , अगर इसमें Knill-Laflamme स्थितियां ऑपरेटर सेट की पकड़ रखती हैं , और कुछ ऑपरेटर अपने राज्य पर काम करता है, यह सच है कि पता लगाने के लिए सिद्धांत रूप में संभव है आ गई है (के रूप में कुछ अन्य ऑपरेटर के लिए विरोध त्रुटि, मूल राज्य में संग्रहीत डेटा को भंग किए बिना) और पूर्ववत ।ई ई ∈ ई ई ई | ψ $\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$$\mathcal E$$E \in \mathcal E$$E$$\mathcal E$$\lvert \psi \rangle$

एक क्वांटम त्रुटि सुधार कोड एक कोड-जगह नहीं है , के साथ एक साथ त्रुटि ऑपरेटरों का एक सेट जो Knill-Laflamme शर्तों को पूरा - जो है, एक लंबी त्रुटि कोड का उल्लेख करना होगा जो त्रुटियों यह के खिलाफ की रक्षा करने के लिए है को सही ।$\mathcal C$$\mathcal E$

क्यों कोड-स्थान के साथ कोड को सही करने के लिए क्वांटम त्रुटि की पहचान करना आम है

आप ऑपरेटरों के एक अद्वितीय सेट को निर्धारित नहीं कर सकते हैं जो कोड-स्पेस मैथोक से अकेले क्ले-लाफलाम की शर्तों को पूरा करता । हालांकि, यह विचार करना सबसे आम है कि कम वजन वाले ऑपरेटर (जो केवल बहुत कम संख्या में कार्य करते हैं) को एक कोड द्वारा एक साथ ठीक किया जा सकता है, और एक हद तक यह अकेले कोड-स्पेस से प्राप्त किया जा सकता है। एक कोड स्पेस की कोड दूरी उन छोटी संख्याओं की संख्या होती है, जिन पर आपको कार्य करना होता है, एक "कोड-वर्ड" को एक अलग में । यदि हम तब कोड-स्पेस का वर्णन करते हैंसी सी | ψ ⟩ ∈ सी | ψ ' ⟩ ∈ सी$\mathcal E$$\mathcal C$$\mathcal C$$\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$$\lvert \psi' \rangle \in \mathcal C$सी ⊆ एच ⊗ n 2 2 कश्मीर ई ⌊ ( घ - 1 ) / 2 $[\![n,k,d]\!]$ कोड, यह तब कहता है कि का आयाम , और वह सेट जिसे हम मानते हैं। " अधिक से अधिक पर वजन के साथ सभी पाउली ऑपरेटरों का सेट ।$\mathcal C \subseteq \mathcal H_2^{\otimes n}$$2^k$$\mathcal E$$\lfloor (d{-}1)/2 \rfloor$

कुछ मामलों में, एक कोड को कोड के रूप में वर्णित करना पर्याप्त है। उदाहरण के लिए, 5-qubit कोड एक कोड है, और यह दिखाना संभव है कि पाँच qubit एक एकल qubit को इस तरह से एनकोड नहीं कर सकते हैं कि किसी अन्य त्रुटि को ठीक किया जा सके सभी एकल-qubit त्रुटियों के अलावा। हालाँकि, स्टीन कोड के बारे में भी यही सच नहीं है , जो किसी भी एकल-क्वेटी पॉली त्रुटि के साथ-साथ कुछ (लेकिन सभी नहीं) दो-क्विट पाउली त्रुटियों से रक्षा कर सकता है । आपको कौन सी दो-क्विंटल पाउली त्रुटियां करनी चाहिए$[\![n,k,d]\!]$$[\![5,1,3]\!]$एक्स $[\![7,1,3]\!]$आपकी त्रुटि मॉडल क्या है, इस पर निर्भर करता है; और यदि आपके शोर सममित है और स्वतंत्र रूप से वितरित, यह बात बहुत ज्यादा क्या आप (है कि आप की संभावना किसी भी एक के परंपरागत विकल्प बनाने जाएगा ताकि चयन करेंगे किसी एक के साथ एक साथ त्रुटि त्रुटि)। यह हालांकि एक विकल्प है , और एक जो मार्गदर्शन करेगा कि आप शोर के खिलाफ अपने डेटा की रक्षा कैसे करेंगे।$X$$Z$

स्टेबलाइजर कोड

एक स्टेबलाइजर कोड एक क्वांटम त्रुटि सुधार एक सेट द्वारा निर्धारित कोड है की स्थिरता प्राप्त करने जनरेटर जो पाउली ऑपरेटरों एक दूसरे, और जिसके साथ जो लघुकरण एक कोड अंतरिक्ष को परिभाषित कर रहे हैं, उनके + 1-eigenspaces के चौराहे से। (यह प्रायः स्टेब्लाइज़र समूह को उत्पादों द्वारा गठित पर विचार करने के लिए उपयोगी है ।)सी जी पी ∈ $\mathscr S$$\mathcal C$ $\mathcal G$$P \in \mathscr S$

लगभग सभी क्वांटम त्रुटि सुधार कोड जिन्हें लोग व्यवहार में मानते हैं, वे स्टेबलाइजर कोड हैं। यह एक कारण है कि आपको दो शब्दों को अलग करने में समस्या हो सकती है। हालाँकि, हमें यह आवश्यकता नहीं है कि एक क्वांटम त्रुटि सुधार कोड एक स्टेबलाइजर कोड हो - जैसे कि सिद्धांत रूप में हमें रैखिक कोड होने के लिए शास्त्रीय त्रुटि सुधार कोड की आवश्यकता नहीं होती है। स्टेबलाइजर कोड सिर्फ क्वांटम एरर करेक्टिंग कोड्स का वर्णन करने का एक बेहद सफल तरीका है, ठीक उसी तरह जैसे कि रैखिक त्रुटि सुधार कोड्स क्लासिकल एरर करेक्टिंग कोड्स का वर्णन करने का एक बेहद सफल तरीका है। और वास्तव में, स्टेबलाइजर कोड को क्वांटम त्रुटि सुधार के लिए शास्त्रीय रैखिक कोड के सिद्धांत का एक प्राकृतिक सामान्यीकरण माना जा सकता है ।

जैसा कि लोग अक्सर कम वजन वाले ऑपरेटरों में रुचि रखते हैं जो आधे से कम दूरी की दूरी पर होते हैं, स्टेबलाइजर्स का सेट अक्सर सभी लोग स्टेबलाइजर सुधार कोड के बारे में कहते हैं। हालाँकि, त्रुटियों के सेट को निर्दिष्ट करने के लिए जिसके विरुद्ध कोड की रक्षा की जा सकती है, पाउली उत्पाद ऑपरेटरों बीच एक संबंध को भी निर्दिष्ट करना आवश्यक है और करता है, जैसे कि$\mathcal E$$\sigma$$E$$S \subseteq \mathscr S$

• $E$ के साथ anticommutes यदि और केवल यदि के लिए ;$P \in \mathscr S$$P \in S$$\sigma(E,S)$
• यदि दोनों और संतुष्ट करते हैं , तो ।$E, E'$$\sigma(E,S)$$\sigma(E',S)$$E E' \in \mathcal G = \langle \mathscr S \rangle$

यह एक सेट को परिभाषित करता है जो त्रुटियों के विरुद्ध मौजूद होता है, जिसके विरुद्ध कोड सुरक्षा कर सकता है। सबसेट कहा जाता है त्रुटि सिंड्रोम , और संबंध जो मैं बुलाया गया है यहाँ (जो आप आमतौर पर एक स्पष्ट नाम नहीं दिया देखें है) सहयोगियों सिंड्रोम एक या अधिक त्रुटियों को जो क्योंकि 'है कि सिंड्रोम , और कोड पर जिनके प्रभाव बराबर हैं।

$$\mathcal E = \bigl\{ E \mathbin{\big\vert} \exists S \subseteq \mathscr S: \sigma(E,S) \bigr\}$$ $S \subseteq \mathscr S$$\sigma$

'सिंड्रोम' ऐसी सूचनाओं का प्रतिनिधित्व करता है, जो वास्तव में 'सुसंगत माप' द्वारा एक त्रुटि के बारे में प्राप्त की जा सकती हैं - अर्थात, ऑपरेटरों को में रूप में (एक प्रक्रिया जो आमतौर पर eigenvalue आकलन द्वारा सिम्युलेटेड है)। एक त्रुटि 'का कारण बनता है' एक सिंड्रोम यदि, किसी भी कोड-वर्ड , राज्य rangle सभी के eigenspace में है ऑपरेटरों , और में में सभी अन्य ऑपरेटरों के -eigenspace । (यह गुण सीधे सभी तत्वों के साथ के एंटीकोमूलेशन से संबंधित है ई एस ⊆ एस | ψ ⟩ ∈ सी ई | ψ ⟩ - 1 पी ∈ एस + 1 एस ई एस ⊆ $P \in \mathscr S$$E$$S \subseteq \mathscr S$$\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$$E \lvert \psi \rangle$$-1$$P \in S$$+1$$\mathscr S$$E$$S \subseteq \mathscr S$ , और केवल वे तत्व। "

Comments

अपने दूसरे पैराग्राफ में आप कहते हैं कि एक कोड वर्ड एक स्टेट है in यानी एक राज्य जो कुछ डेटा को एनकोड करता है। क्या आप कह रहे हैं कि अन्य उत्तर क्या कह रहे हैं - अर्थात वे राज्य हैं जिन्हें हम तार्किक और साथ संबद्ध करते हैं । या कि आम तौर पर किसी भी राज्य में को कोड शब्द कहा जाता है? | 0 ⟩ | 1 ⟩ $\mathcal{C}$$\lvert 0 \rangle$$\lvert 1 \rangle$$\mathcal{C}$

— क्वांटम स्पगेटिफिकेशन

शब्दावली थोड़ी भिन्न हो सकती है। उदाहरण के लिए, आप गोट्समैन की थीसिस पढ़ते हैं, और वह एक कोड वर्ड को कोड स्पेस में किसी भी वैध अवस्था में होने के बारे में बात करता है, और वह 'आधार कोड शब्दों' को तार्किक 0 और 1. के रूप में अलग करता है

— DaftWullie

@QuantumSpaghettification: के रूप में DaftWullie पता चलता है, मैं किसी भी राज्य का मतलब । यह अक्सर मानक आधार पर बहुत अधिक व्यस्त होने के लिए एक गलती है । ऐतिहासिक रूप से, दो विशेष राज्यों की अवधि के संदर्भ में QECC का वर्णन करना और उन दो राज्यों के संदर्भ में सही गुणों का वर्णन करना सबसे आसान था। स्टेबलाइजर कोड का सिद्धांत इस तरह के विवरण को अनावश्यक बनाता है, और आपको तार्किक संदर्भ फ्रेम के साथ लचीला होने की अनुमति देता है, इसलिए अब बेहतर है कि चीजों को इस तरह परिभाषित करने से बचें जो मानक आधार पर जोर देते हैं। $\mathcal C$

— निल डे ब्यूड्रैप

@NieldeBeaudrap इस पोस्ट पर एक महीने बाद वापस आने के लिए क्षमा करें। क्या मैं यह कहने में सही हूँ कि "आधार कोड शब्दों" पर त्रुटि का प्रभाव कम होने पर मैपिंग एक-से-कई हो सकता है। मैं सोच रहा हूँ कि चरण शोर के कोड पर फ़्लिप करे। $\mu$

— क्वांटम

@QuantumSpaghettification: जैसा कि मैंने यहाँ वर्णित किया है, वास्तव में यह आवश्यक होगा कि जिस कार्य के लिए मैंने वर्णन किया है, वह करने के लिए लिए बहुत-से मूल्यवान होने के लिए लेना आवश्यक है , एक पतित कोड के लिए --- जो जैसा मैंने इरादा किया था वैसा नहीं। मैं शीघ्र ही अपने उत्तर को संशोधित करूंगा। $\mu$$\mathcal E$

— निएल डी ब्यूड्रैप

Answer 2

एक कोड शब्द (एक क्वांटम कोड के लिए) एक क्वांटम राज्य है जो आमतौर पर तार्किक आधार पर एक राज्य से जुड़ा होता है। तो, आपके पास कुछ स्थिति होगी जो कि 0 की अवस्था से मेल खाती है कूटबद्ध होने के लिए (आपको qubits का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन आप शायद हैं), और आपके पास एक और है जो की 1 स्थिति से मेल खाती है एन्कोडेड है।| ψ 1$|\psi_0\rangle$$|\psi_1\rangle$

कोड स्पेस वह स्थान है जो कोड , अर्थात संपूर्ण स्पेस सभी संभावित और (सामान्यीकृत) के लिए होता है।अल्फा $\alpha|\psi_0\rangle+\beta|\psi_1\rangle$$\alpha$$\beta$

S 2 = I | ψ $S$$S^2=\mathbb{I}$$|\psi\rangle$$S|\psi\rangle=|\psi\rangle$$Z_m$$X_m$$m=1,\ldots k$$S$$\{Z_m,X_m\}=0$$Z_m|\psi\rangle=\pm|\psi\rangle$

Answer 3

$k$$n$

$|0\rangle$

कोड स्थान हिल्बर्ट स्पेस है जो सभी संभव कोड शब्दों द्वारा फैलाया जाता है। स्टेबलाइजर कोड के लिए, यह शब्द स्टेबलाइजर स्पेस का पर्याय है। इस कोड स्थान के भीतर कोई भी राज्य एक कोड वर्ड है

$+1$$n-k$