स्थिरीकरण की निरंतरता: विशेष मामले

प्रतिस्थापन उपयोगिता समारोह के एक $n$ -commodity निरंतर लोच लें ,

U = {[\sum_{i = 1}^{n} α_{i} x_{i}^{ρ}]}^{\frac{1}{ρ}}

$U = \left[\sum^n_{i=1} \alpha_i x^\rho_i \right]^\frac{1}{\rho}$

हम निम्नलिखित कैसे दिखाते हैं:

दिखाएँ कि रूप में $\rho \rightarrow 0$ यह उपयोगिता फ़ंक्शन कोब-डगलस उपयोगिता के लिए वरीयताओं का प्रतिनिधित्व करता है। $U(x) = \prod^n_{i=1} x_i^{\alpha_i}$
दिखाएँ कि $\rho \rightarrow - \infty$ कि इस उपयोगिता समारोह में Leontief उपयोगिता के रूप में उदासीनता घटता है। $U(x) = \min\left\{x_1,...,x_n\right\}$

— कित्सुने कैवलरी
स्रोत

जवाबों:

हम जानते हैं कि यदि पर प्रतिनिधित्व करते हैं , तो किसी भी सख्ती से बढ़ते कार्य के लिए , तो पर प्रतिनिधित्व करता है $u$ $\succeq$ $X$ $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ $v(x) = f(u(x))$ $\succeq$ $X$

( इस मामले में ) $X$ $\mathbb{R^n}$

पर विचार करें , जो सख्ती से बढ़ रहा है। $v(x, \rho) = \ln(u(x, \rho)) - \frac{\ln\left[\sum^n_{i=1}\alpha_i \right]}{\rho}$

v (x, ρ) = \frac{\ln [\sum_{i = 1}^{n} α_{i} x_{i}^{ρ}]}{ρ} - \frac{\ln [\sum_{i = 1}^{n} α_{i}]}{ρ} = \frac{\ln [\sum_{i = 1}^{n} α_{i} x_{i}^{ρ}] - [\ln \sum_{i = 1}^{n} α_{i}]}{ρ}

$v(x, \rho) = \frac{\ln\left[\sum^n_{i=1} \alpha_i x^\rho_i \right]}{\rho} - \frac{\ln\left[\sum^n_{i=1}\alpha_i \right]}{\rho} = \frac{\ln\left[\sum^n_{i=1} \alpha_i x^\rho_i \right] - \left [\ln\sum^n_{i=1}\alpha_i \right]}{\rho}$

रूप में इस की सीमा अनिश्चित है, $\rho \rightarrow 0$ । इसलिए हम L'Hopital के नियम का उपयोग कर सकते हैं औरअंश और हर केकेसंबंध में व्युत्पन्न ले सकतेहैं। $\frac{0}{0}$ $\rho$

lim_{ρ \to 0} \frac{\ln [\sum_{i = 1}^{n} α_{i} x_{i}^{ρ}] - [\ln \sum_{i = 1}^{n} α_{i}]}{ρ} = lim_{ρ \to 0} \frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} α_{i} x_{i}^{ρ}} \cdot (\sum_{i = 1}^{n} α_{i} x_{i}^{ρ} \ln x_{i})

$\lim_{\rho \rightarrow 0} \frac{\ln\left[\sum^n_{i=1} \alpha_i x^\rho_i \right] - \left [\ln\sum^n_{i=1}\alpha_i \right]}{\rho} = \lim_{\rho \rightarrow 0} \frac{1}{\sum^n_{i=1} \alpha_i x_i^\rho} \cdot \left(\sum^n_{i=1} \alpha_i x_i^\rho \ln x_i\right)$

चैन नियम द्वारा।

= lim_{ρ \to 0} \frac{\sum_{i = 1}^{n} α_{i} x_{i}^{ρ} \ln x_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} α_{i} x_{i}^{ρ}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} α_{i} \ln x_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} α_{i}} = \frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} α_{i}} \cdot \ln (\prod_{i = 1}^{n} x_{i}^{α_{i}})

$= \lim_{\rho \rightarrow 0} \frac{\sum^n_{i=1} \alpha_i x_i^\rho \ln x_i}{\sum^n_{i=1} \alpha_i x_i^\rho} = \frac{\sum^n_{i=1} \alpha_i \ln x_i}{\sum^n_{i=1} \alpha_i} = \frac{1}{\sum^n_{i=1} \alpha_i} \cdot \ln\left(\prod^n_{i=1} x_i^{\alpha_i}\right)$

पर विचार करें है, जो एक और monotonic परिवर्तन, सख्ती से बढ़ती जा रही है। तो अभी भी रूप में एक ही वरीयता का प्रतिनिधित्व करता है । $w(x, \rho) = \mathrm{e}^{(\sum^n_{i=1} \alpha_i) \cdot v(x, \rho)}$ $w$ $u$

lim_{ρ \to 0} w (x, ρ) = e^{(\sum_{i = 1}^{n} α_{i}) \cdot lim_{ρ \to 0} v (x, ρ)} = \prod_{i = 1}^{n} x_{i}^{α_{i}}

$\lim_{\rho \rightarrow 0} w(x, \rho) = \mathrm{e}^{(\sum^n_{i=1} \alpha_i) \cdot \lim_{\rho \rightarrow 0} v(x, \rho)} = \prod^n_{i=1} x_i^{\alpha_i}$

जो कि एक कॉब-डगलस फंक्शन है।

$\square$

दूसरा बिंदु दिखाने के लिए, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है

lim_{ρ \to - \infty} u (x) = {x_{k} \forall j \neq k ∣ x_{j} \geq x_{k}}

$\lim_{\rho \rightarrow -\infty} u(x) = \left\{x_k \ \forall j \neq k \mid x_j \geq x_k \right\}$

यू (एक्स) = {[Σ_{मैं = 1}^{n} α_{मैं} {एक्स}_{मैं}^{ρ}]}^{\frac{1}{ρ}} = {एक्स}_{कश्मीर} {[(Σ_{मैं = 1, मैं \neq कश्मीर}^{n} α_{मैं} {एक्स}_{मैं}^{ρ}) + α_{कश्मीर}]}^{\frac{1}{ρ}}

$u(x) = \left[\sum^n_{i=1} \alpha_i x^\rho_i \right]^\frac{1}{\rho} = x_k \left[(\sum^n_{i=1, i \neq k} \alpha_i x^\rho_i) + \alpha_k \right]^\frac{1}{\rho}$

के रूप मेंअगर $(\frac{x_j}{x_k})^\rho \rightarrow 0$ $\rho \rightarrow -\infty$ $x_j > x_k$

के रूप मेंअगर $(\frac{x_j}{x_k})^\rho \rightarrow 1$ $\rho \rightarrow -\infty$ $x_j = x_k$

इसलिए

\underset{ρ \to - \infty}{लिम} {एक्स}_{कश्मीर} {[(Σ_{मैं = 1, मैं \neq कश्मीर}^{n} α_{मैं} {एक्स}_{मैं}^{ρ}) + α_{कश्मीर}]}^{\frac{1}{ρ}} = {एक्स}_{कश्मीर}

$\lim_{\rho \rightarrow -\infty} x_k \left[(\sum^n_{i=1, i \neq k} \alpha_i x^\rho_i) + \alpha_k \right]^\frac{1}{\rho} = x_k$

बाद से और शून्य शक्ति के लिए एक स्थिर 1 है। $1/\rho \rightarrow 0$

किसी भी लिए एक समान तर्क का निर्माण । इस प्रकार $k$ $\lim_{\rho \rightarrow -\infty} u(x) = \min \left\{x_1,...,x_n \right\}$

$\square$

— कित्सुने कैवलरी
स्रोत

क्या यह पुष्टि के लिए एक अनुरोध है? आपने 1 मिनट के भीतर सवाल और जवाब पोस्ट किया।

— गिस्कार्ड

मैं इस धारणा के तहत था कि आप एक ही समय में एक प्रश्न और एक उत्तर पूछकर क्यू + ए स्टाइल पोस्ट बना सकते हैं। अगर इसके लिए कम्युनिटी विकी पोस्ट होना ज्यादा उचित है, तो मेरा बुरा। यह एक बेहतर जवाब के लिए एक अनुरोध है अगर कोई मौजूद है।

— Kitsune कैवेलरी

@KitsuneCavalry अपने स्वयं के प्रश्न का उत्तर पोस्ट करने में कुछ भी गलत नहीं है --- भले ही वह तुरंत हो। वास्तव में, हमें इसे प्रोत्साहित करना चाहिए! लक्ष्य साइट के लिए उपलब्ध अच्छी सामग्री की मात्रा को बढ़ाना है ताकि यह बढ़ सके। कृपया इसे बनाए रखें! :)

— jmbejara

ये सामान्यीकृत साधनों के लिए मानक गणितीय परिणाम हैं। उदाहरण के लिए, के लिए परिणाम, लिखने (व्यापकता की हानि के बिना स्थापित करने ), $\rho \rightarrow 0$ $\sum_{i=1}^na_i =1$

यू = {[Σ_{मैं = 1}^{n} α_{मैं} {एक्स}_{मैं}^{ρ}]}^{\frac{1}{ρ}} = \exp {\frac{1}{ρ} \ln (Σ_{मैं = 1}^{n} α_{मैं} {एक्स}_{मैं}^{ρ})}

$U = \left[\sum^n_{i=1} \alpha_i x^\rho_i \right]^\frac{1}{\rho} = \exp\left\{\frac 1\rho\ln \left(\sum^n_{i=1} \alpha_i x^\rho_i\right)\right\}$

L'Hopital के नियम को लागू करें

\frac{1}{ρ} \ln (Σ_{मैं = 1}^{n} α_{मैं} {एक्स}_{मैं}^{ρ})

$\frac 1\rho\ln \left(\sum^n_{i=1} \alpha_i x^\rho_i\right)$

लेना

\frac{Σ_{मैं = 1}^{n} α_{मैं} {एक्स}_{मैं}^{ρ} \ln {एक्स}_{मैं}}{Σ_{मैं = 1}^{n} α_{मैं} {एक्स}_{मैं}^{ρ}} \to Σ_{मैं = 1}^{n} α_{मैं} \ln {एक्स}_{मैं}, ρ \to 0

$\frac {\sum^n_{i=1} \alpha_ix_i^{\rho}\ln x_i}{\sum^n_{i=1} \alpha_i x^\rho_i} \rightarrow \sum^n_{i=1} \alpha_i\ln x_i,\;\;\; \rho\rightarrow 0$

इसलिए (घातीय कार्य की एकरूप निरंतरता से)

ρ \to 0, यू = \exp {\frac{1}{ρ} \ln (Σ_{मैं = 1}^{n} α_{मैं} {एक्स}_{मैं}^{ρ})} \to \exp {Σ_{मैं = 1}^{n} α_{मैं} \ln {एक्स}_{मैं}} = Π_{मैं = 1}^{n} {एक्स}_{मैं}^{ए_{मैं}}

$\rho\rightarrow 0,\;\;\; U = \exp\left\{\frac 1\rho\ln \left(\sum^n_{i=1} \alpha_i x^\rho_i\right)\right\} \rightarrow \exp\left\{\sum^n_{i=1} \alpha_i\ln x_i\right\} = \prod_{i=1}^nx_i^{a_i}$

— एलेकोस पापाडोपोलोस
स्रोत

अछा लगता है! इस समस्या को करने का एक बहुत अच्छा सुव्यवस्थित तरीका है।

— Kitsune कैवेलरी

ρ \to - \infty

$\rho \rightarrow -\infty$

ρ \to \infty

$\rho \rightarrow \infty$

f (k, l) = (k^{ρ} + l^{ρ})^{(} 1 / ρ)

$f(k,l)=(k^\rho+l^\rho)^(1/\rho)$

1 / ρ

$1/\rho$

n = 2

$n=2$

0 / 0

$0/0$

(1 / ρ) l n (k^{ρ} + l^{ρ})

$(1/\rho)ln(k^\rho+l^\rho)$

l n 2

$ln 2$

ρ

$\rho$