क्या बर्गेस प्रमेय को अधिकतम से लिफ़ाफ़ा प्रमेय से जोड़ने का एक तरीका है?

Question

बर्ज प्रमेय बताता है

चलो , एक संयुक्त रूप से निरंतर समारोह, होना एक सतत हो (दोनों ऊपरी और निचले hemicontinuous) कॉम्पैक्ट-मूल्यवान पत्राचार। अधिकतम मान फ़ंक्शन और मैक्सिमाइज़र V (\ theta) हैं: = \ max_ {x \ _ in X} f (x, \ the थीटा) C ^ \ ast (\ theta): = \ {x \ _ C (\ Theta ) \ mid f (x, \ theta) = V (\ the थीटा) \} फिर V: \ Theta \ to to to mathbb R निरंतर है और C ^ \ ast: \ Theta \ rightrighttrows X है ऊपरी hemicontinuous।$X \in \mathbb R^m, \Theta \in \mathbb R^n$$f : X \times \Theta \to \mathbb R$$C : \Theta \rightrightarrows X$

$$V(\theta) := \max_{x \in X}f(x, \theta)$$ $$C^\ast(\theta):=\{x \in C(\theta) \mid f(x, \theta )=V(\theta)\}$$ $V : \Theta \to \mathbb R$$C^\ast :\Theta \rightrightarrows X$

वेरियन के सूक्ष्मअर्थशास्त्रीय विश्लेषण (1992), पृष्ठ 490 के अनुसार, लिफाफा प्रमेय बस है:

$$\frac{dM(a)}{da}=\frac{\partial f(x,a)}{\partial a}\mid_{x=x(a)}$$

x (a) f (\ cdot, a)$x(a)$ की अधिकतम $f(\cdot, a)$ ।

यह मुझे लगता है कि लिफाफा प्रमेय, बर्गेस प्रमेय को मजबूर करता है, लेकिन व्युत्पत्ति सरल लगती है। क्या दोनों के बीच कोई रिश्ता है?

Comments

ऐसा नहीं लगता है कि दोनों एक ही लक्ष्य के साथ व्यस्त हैं। बर्गेस मूल्य फ़ंक्शन के गुणों और मैक्सिमाइज़र के सेट की स्थापना करता है। लिफाफा यह दिखाने से संबंधित है कि एक पैरामीटर को अलग करने का क्या प्रभाव है ... शायद आप दोनों के बीच संबंध के प्रकार पर विस्तार से बता सकते हैं जो आपको साज़िश करता है।

— एलेकोस पापाडोपोलोस

@AlecosPapadopoulos मेरे प्रश्न की अस्पष्टता के लिए क्षमा करें। अब मुझे यह पता चला है कि लुकास (1978) में प्रस्ताव 2 की मेरी अस्पष्ट स्मृति से उपजी यह खोज। अब मैं इसे और अधिक सटीक रूप से तैयार कर सकता हूं। उपयोगिता समारोह और बाधा पर किस तरह की स्थितियां हमें बेरेगे प्रमेय द्वारा मूल्य समारोह की निरंतरता स्थापित करने के बाद ही लिफाफा प्रमेय लागू करने में सक्षम बनाती हैं? people.hss.caltech.edu/~pbs/expfinance/Readings/Lucas1978.pdf

— Epicurus

मुझे नहीं लगता कि लिफाफा प्रमेय का उपयोग करने के लिए आपको "मूल्य फ़ंक्शन की निरंतरता स्थापित करने" की आवश्यकता है। यह मुख्य भाग नियंत्रण बारे में बिंदु है । विकिपीडिया पृष्ठ पर प्रमेय 2 देखें। वहां, V की निरंतरता एक परिणाम है। किसी भी स्थिति में, विकिपीडिया पृष्ठ प्रमेयों को पूर्ण रूप से बताता है। यह आपको बताएगा कि प्रमेय का उपयोग करने के लिए आपको क्या करने की आवश्यकता है। en.wikipedia.org/wiki/Envelope_theorem$C^*$

— jmbejara

Answer 1

वे संबंधित हैं और आमतौर पर एक ही चर्चा में आते हैं, लेकिन @Alecos टिप्पणियों में उल्लेख करते हैं, दो प्रमेय अलग-अलग चीजें दिखाते हैं।

मुझे लगता है कि आप के बाद कनेक्शन है कि तथ्य यह है कि अगर व्युत्पन्न मौजूद है, तब क्योंकि भिन्नता निरंतरता का अर्थ है, आप इसमें से अधिकतम के प्रमेय का हिस्सा प्राप्त करने में सक्षम हो सकते हैं। हालांकि, दो प्रमेयों की तुलना करने और इसके विपरीत करने के लिए आपको केवल परिणामों पर ध्यान नहीं देना चाहिए। आपको मान्यताओं को भी देखना होगा। उदाहरण के लिए, अधिकतम का प्रमेय किसी भी प्रकार की भिन्नता को नहीं मानता है। लिफाफा प्रमेय करता है (कम से कम इसके कुछ रूप)। किसी भी मामले में, प्रत्येक में जाने वाली धारणाएं अलग हैं (कुछ मजबूत, कुछ कमजोर)।

$$\left .\frac{\partial f(x, a)}{\partial a} \right |_{x=x(a)}$$

इसके अलावा, यह है। लिफाफा प्रमेय आपको नियंत्रण कार्य के बारे में कुछ भी नहीं बताता है। इसलिए, आप निश्चित रूप से इस परिणाम को प्राप्त करने में सक्षम नहीं होंगे कि ऊपरी हेमोकॉप्टेंट है।$C^*$

Answer 2

एक टिप्पणी से ओपी को उद्धृत करना

उपयोगिता समारोह और बाधा पर किस तरह की स्थितियां हमें बेरेगे प्रमेय द्वारा मूल्य समारोह की निरंतरता स्थापित करने के बाद ही लिफाफा प्रमेय लागू करने में सक्षम बनाती हैं? people.hss.caltech.edu/~pbs/expfinance/Readings/Lucas1978.pdf

संदर्भित लुकास (1978) के पेपर में, प्रस्ताव 1 उसको स्थापित करता है

जहाँ मान फ़ंक्शन है, और इसकी परिभाषा है। इसलिए ऐसा प्रतीत होता है कि यह मूल्य समारोह की निरंतरता है जिसे यहां एक शर्त के रूप में एकल किया जाता है, लेकिन पहले कागज में लुकास उपयोगिता फ़ंक्शन को एक गैर-नकारात्मक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित करता है जो है$v(z,y;p)$$(i)$

लगातार विभेदित, बंधे, बढ़ते और कड़ाई से

कागज के प्रस्ताव 2 मूल्य समारोह की भिन्नता को स्थापित करता है, बिना आगे की मान्यताओं की आवश्यकता के।