बारो (2009) एईआर में दुर्लभ आपदा मॉडल: समीकरण (10) कैसे प्राप्त करें?

बारो (2009) दुर्लभ आपदाओं, संपत्ति की कीमतों और कल्याण की लागत में बारो एपस्टीन-ज़िन वरीयताओं के साथ एक लुकास ट्री मॉडल विकसित करता है।

मेरा प्रश्न पेपर के समीकरण (10) की चिंता करता है। इस समीकरण में बारो कहता है कि इष्टतम समाधान उपयोगिता के तहत की शक्ति के लिए खपत लिए आनुपातिक है , जहां सापेक्ष जोखिम के फैलाव का गुणांक है, अर्थात $U_t$ $C_t$ $1-\gamma$ $\gamma$

$U_t=\Phi C_t^{1-\gamma}$

जब मैं इस परिणाम के तर्क को समझते हैं, मुझे समझ नहीं आता कि कैसे वह लगातार निकला है , जो उल्लेख कागज के फुटनोट 7 में दिखाया गया है: $\Phi$

अल्बर्टो गियोवानिनि और फिलिप वेल (1989, परिशिष्ट) है कि दिखाने के लिए, समीकरण (9), प्राप्त कर ली उपयोगिता, में उपयोगिता समारोह के साथ , के लिए बिजली उठाया धन के लिए आनुपातिक है । समीकरण में फॉर्म (10) इस प्रकार है क्योंकि को आईआईडी मामले में धन के निरंतर अनुपात के रूप में चुना जाता है। के लिए सूत्र , है अगर , $U_t$ $1-\gamma$ $C_t$ $\Phi$ $\gamma \neq 1$ $\theta \neq 1$
$Φ = (\frac{1}{1 - γ}) {ρ + (θ - 1) g^{*} - (1 / 2) γ (θ - 1) σ^{2} - (\frac{θ - 1}{γ - 1}) p [E (1 - b)^{1 - γ} - 1 - (γ - 1) E b]}^{(γ - 1) / (1 - θ)}$ $\Phi = (\frac{1}{1-\gamma})\{\rho+(\theta-1)g^* - (1/2)\gamma(\theta -1)\sigma^2 - (\frac{\theta-1}{\gamma-1})p[E(1-b)^{1-\gamma} - 1 - (\gamma - 1)Eb] \}^{(\gamma-1)/(1-\theta)}$

बारो ने Giovannini और Weil द्वारा 1989 के NBER पेपर का उद्धरण दिया। इस पत्र में मैं निरंतर प्राप्त कर सकते हैं। हालांकि, यह, बारो के संस्करण की तुलना में पूरी तरह से अलग लग रहा है क्योंकि मैं एक अभिव्यक्ति है जिसमें शामिल हैं के साथ खत्म , जहां इक्विटी पर वापसी है। मेरा मानना है कि बारो की जगह है का संतुलन समाधान के साथ । हालांकि, उनकी अभिव्यक्ति में कोई लॉग या एक्सप्रेशन शामिल नहीं हैं। $E[R_t^{1-\gamma}]$ $R_t$ $E[R_t^{1-\gamma}]$ $R_t$

मैं समाधान के लिए या किसी भी संकेत के लिए आभारी रहूंगा।

macroeconomics finance academic-graduate

— drcms02
स्रोत

यह बहुत अच्छा लग रहा है! आपके प्रयास के लिए धन्यवाद। मुझे आपके उत्तर के भाग 2 और 3 की समीक्षा करने में कुछ दिन लगेंगे, लेकिन यह बहुत सहज लगता है।

— drcms02

मैं फुटनोट में बारो साधन लगता है कि जियोवानी और वेल इसी समीकरण, लगता है , लेकिन के इष्टतम पथ का उपयोग । बारो के कागज में, दृष्टिकोण अलग है कि की गतिशीलता बहिर्जात है: धारणा द्वारा। $U_t=\Phi C^{1-\gamma}$ $C_t$ $C_t$ $C_t=Y_t$

बारो सीमा मामले का उपयोग करता है जब एक अवधि की अवधि 0. के करीब हो जाती है। शायद पाठक को परेशान कर सकता है कि मॉडल को असतत के रूप में परिभाषित किया गया है।

मॉडल को फिर से लिखें

सबसे पहले, हम अवधि की लंबाई के साथ मॉडल को फिर से लिखने कर सकते हैं और उसके बाद का उपयोग । सकल घरेलू उत्पाद की गतिशीलता लिखने साथ , और $\delta$ $\delta\to 0$

\log (Y_{t + δ}) = \log (Y_{t}) + g δ + u_{t + δ} + v_{t + δ}

$\log(Y_{t+\delta})=\log(Y_t)+g\delta+u_{t+\delta}+v_ {t+\delta}$

u_{t + δ} \sim N (0, δ σ^{2})

$u_{t+\delta}\sim \mathcal{N}(0,\delta\sigma^2)$

संभावना

साथ

और

संभावना

। उपयोगिता

संतुष्ट करती है

v_{t + δ} = 0

$v_{t+\delta}=0$

1 - p δ

$1-p\delta$

\log (1 - b)

$\log(1-b)$

p δ

$p\delta$

U_{t} = \frac{1}{1 - γ} {C_{t}^{1 - θ} + \frac{1}{1 + ρ δ} {[(1 - γ) E_{t} U_{t + δ}]}^{\frac{1 - θ}{1 - γ}}}^{\frac{1 - γ}{1 - θ}} .

$U_t=\frac{1}{1-\gamma}\left\lbrace C_t^{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho\delta}\left[(1-\gamma)E_tU_{t+\delta}\right]^\frac{1-\theta}{1-\gamma}\right\rbrace^\frac{1-\gamma}{1-\theta}.$

1) का पता लगाएं, के एक समारोह के रूप में $\Phi$ $E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]$

अब से लगता है कि वहाँ एक है ऐसी है कि (ध्यान दें कि पर निर्भर करता है एक प्रायोरी)। परिभाषित $\Phi$ $U_t=\Phi C^{1-\gamma}$ $\Phi$ $\delta$ $H(U)=[(1-\gamma)U]^\frac{1-\theta}{1-\gamma}$

\begin{aligned} H (U_{t}) = C_{t}^{1 - θ} + \frac{1}{1 + ρ δ} H (E_{t} U_{t + δ}) . \end{aligned}

$\begin{align} H(U_t)= C_t^{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho\delta}H(E_tU_{t+\delta}). \end{align}$

U_{t}

$U_t$

\begin{aligned} H (Φ) C_{t}^{1 - θ} = C_{t}^{1 - θ} + \frac{1}{1 + ρ δ} H (Φ) {(E_{t} [C_{t + δ}^{1 - γ}])}^{\frac{1 - θ}{1 - γ}} . \end{aligned}

$\begin{align} H(\Phi)C_t^{1-\theta}= C_t^{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho\delta}H(\Phi)\left(E_t\left[C_{t+\delta}^{1-\gamma}\right]\right)^\frac{1-\theta}{1-\gamma}. \end{align}$

C_{t} \neq 0

$C_t\neq 0$

\begin{aligned} \frac{1}{H (Φ)} = 1 - \frac{1}{1 + ρ δ} {(E_{t} [{(\frac{C_{t + δ}}{C_{t}})}^{1 - γ}])}^{\frac{1 - θ}{1 - γ}} . \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}= 1-\frac{1}{1+\rho\delta}\left(E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]\right)^\frac{1-\theta}{1-\gamma}. \end{align}$

$E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]$

\begin{aligned} {(\frac{Y_{t + δ}}{Y_{t}})}^{1 - γ} = \exp ((1 - γ) g δ) . \exp ((1 - γ) u_{t + δ}) . \exp ((1 - γ) v_{t + δ}) . \end{aligned}

$\begin{align} \left(\frac{Y_{t+\delta}}{Y_t}\right)^{1-\gamma}= \exp\left((1-\gamma)g\delta\right).\exp\left((1-\gamma)u_{t+\delta}\right).\exp\left((1-\gamma)v_ {t+\delta}\right). \end{align}$

u_{t + 1}

$u_{t+1}$

v_{t + 1}

$v_{t+1}$

\begin{aligned} E_{t} {(\frac{Y_{t + δ}}{Y_{t}})}^{1 - γ} = \exp ((1 - γ) g δ) . E_{t} \exp ((1 - γ) u_{t + δ}) . E_{t} \exp ((1 - γ) v_{t + δ}) . \end{aligned}

$\begin{align} E_t\left(\frac{Y_{t+\delta}}{Y_t}\right)^{1-\gamma}= \exp\left((1-\gamma)g\delta\right).E_t\exp\left((1-\gamma)u_{t+\delta}\right).E_t\exp\left((1-\gamma)v_ {t+\delta}\right). \end{align}$

\exp (X)

$\exp(X)$

X

$X$

N (0, σ^{2})

$\mathcal{N}(0,\sigma^2)$

\exp (σ^{2} / 2)

$\exp(\sigma^2/2)$

\exp ((1 - γ) v_{t + δ})

$\exp\left((1-\gamma)v_ {t+\delta}\right)$

1

$1$

1 - p δ

$1-p\delta$

(1 - b)^{1 - γ}

$(1-b)^{1-\gamma}$

p δ

$p\delta$

\begin{aligned} E_{t} {(\frac{Y_{t + δ}}{Y_{t}})}^{1 - γ} = \exp ((1 - γ) g δ) . \exp (\frac{(1 - γ)^{2} σ^{2} δ}{2}) . (1 - p δ + p E [(1 - b)^{1 - γ}] δ) . \end{aligned}

$\begin{align} E_t\left(\frac{Y_{t+\delta}}{Y_t}\right)^{1-\gamma}= \exp\left((1-\gamma)g\delta\right).\exp\left(\frac{(1-\gamma)^2\sigma^2\delta}{2}\right).\left(1-p\delta+pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta\right). \end{align}$

C_{t} = Y_{t}

$C_t=Y_t$

Φ

$\Phi$

\begin{aligned} \frac{1}{H (Φ)} & = 1 - \frac{1}{1 + ρ δ} {\exp ((1 - θ) g δ) . \exp (\frac{(1 - γ) (1 - θ) σ^{2} δ}{2}) \\ . {(1 - p δ + p E [(1 - b)^{1 - γ}] δ)}^{\frac{1 - θ}{1 - γ}}} . \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= 1-\frac{1}{1+\rho\delta}\left\lbrace\exp\left((1-\theta)g\delta\right).\exp\left(\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\right)\right.\\ &\left. .\left(1-p\delta+pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta\right)^\frac{1-\theta}{1-\gamma}\right\rbrace. \end{align}$

$\delta\to 0$

\begin{aligned} \frac{1}{H (Φ)} & = 1 - (1 - ρ δ) . (1 + (1 - θ) g δ) . (1 + \frac{(1 - γ) (1 - θ) σ^{2} δ}{2}) \\ . (1 - \frac{1 - θ}{1 - γ} p δ + \frac{1 - θ}{1 - γ} p E [(1 - b)^{1 - γ}] δ) . \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= 1-(1-\rho\delta). \left(1+(1-\theta)g\delta\right).\left(1+\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\right)\\ & .\left(1-\frac{1-\theta}{1-\gamma}p\delta+\frac{1-\theta}{1-\gamma}pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta\right). \end{align}$

δ^{i}

$\delta^i$

i > 1

$i>1$

\begin{aligned} \frac{1}{H (Φ)} & = ρ δ - (1 - θ) g δ - \frac{(1 - γ) (1 - θ) σ^{2} δ}{2} \\ + \frac{1 - θ}{1 - γ} p δ - \frac{1 - θ}{1 - γ} p E [(1 - b)^{1 - γ}] δ . \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= \rho\delta -(1-\theta)g\delta-\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\\ & +\frac{1-\theta}{1-\gamma}p\delta-\frac{1-\theta}{1-\gamma}pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta. \end{align}$

g

$g$

g^{*} = g + \frac{σ^{2}}{2} - p E b

$g^*=g+\frac{\sigma^2}{2}-pEb$

\begin{aligned} \frac{1}{H (Φ)} & = ρ δ - (1 - θ) g^{*} δ + (1 - θ) \frac{σ^{2}}{2} δ - (1 - θ) p E b δ - \frac{(1 - γ) (1 - θ) σ^{2} δ}{2} \\ + \frac{1 - θ}{1 - γ} p δ - \frac{1 - θ}{1 - γ} p E [(1 - b)^{1 - γ}] δ . \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= \rho\delta -(1-\theta)g^*\delta+(1-\theta)\frac{\sigma^2}{2}\delta -(1-\theta)pEb\delta -\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\\ & +\frac{1-\theta}{1-\gamma}p\delta-\frac{1-\theta}{1-\gamma}pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta. \end{align}$

δ = 1

$\delta=1$

H

$H$

— GuiWil
स्रोत

बारो (2009) एईआर में दुर्लभ आपदा मॉडल: समीकरण (10) कैसे प्राप्त करें?

मॉडल को फिर से लिखें

1) का पता लगाएं, के एक समारोह के रूप में ई टी [ ( सी टी + δΦΦ\PhiEt[(Ct+δCt)1−γ]Et[(Ct+δCt)1−γ]E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]

Et[(Ct+δCt)1−γ]Et[(Ct+δCt)1−γ]E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]

δ→0δ→0\delta\to 0

1) का पता लगाएं, के एक समारोह के रूप में $\Phi$ $E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]$

$E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]$

$\delta\to 0$