लेडनर के प्रमेय बनाम शेफ़र के प्रमेय

Question

लेख को पढ़ते समय "क्या यह समय जटिलता में विजय की घोषणा करने का समय है?" पर अधिक "गोडेल की खोया पत्र और पी = एनपी" ब्लॉग, वे सीएसपी के लिए विरोधाभास का उल्लेख किया। कुछ लिंक के बाद, googling और wikipeding, मैं लाडनेर के प्रमेय में आया :

Ladner का प्रमेय: यदि , तो में समस्याएं हैं कि नहीं कर रहे हैं -Complete।${\bf P} \ne {\bf NP}$${\bf NP} \setminus {\bf P}$${\bf NP}$

और शेफ़र की प्रमेय के लिए :

शेफ़र की डायकोटॉमी प्रमेय: प्रत्येक बाधा वाली भाषा के लिए से अधिक , अगर स्कैफ़र है, तो बहुपद का समय है। अन्यथा, है -Complete।$\ \Gamma$$\{0, 1\}$$\ \Gamma$${\bf CSP}(\Gamma)$${\bf CSP}(\Gamma)$${\bf NP}$

मैंने इसका मतलब यह पढ़ा कि, लडनेर के द्वारा, ऐसी समस्याएं हैं जो न तो और न ही -complete हैं, लेकिन Schaefer द्वारा, समस्याएं या तो और -complete हैं केवल।${\bf P}$${\bf NP}$${\bf P}$${\bf NP}$

मुझे किसकी याद आ रही है? ये दोनों परिणाम एक-दूसरे के विपरीत क्यों नहीं हैं?

मैंने उपरोक्त प्रमेय कथनों का संघनित संस्करण यहाँ से लिया । अपने "फाइनल कमेंट्स" सेक्शन में, वे कहते हैं, "इस प्रकार, यदि कोई समस्या लेकिन यह -complete नहीं है, तो इसे CSP के रूप में तैयार नहीं किया जा सकता है" ।${\bf NP} \setminus {\bf P}$${\bf NP}$

इसका मतलब यह है कि समस्याएं कुछ उदाहरणों को याद करती हैं जो ? वो कैसे संभव है?${\bf SAT}$${\bf NP}$

Comments

क्या इसमें कोई मामूली बात नहीं है कि किसी को सावधान रहने की ज़रूरत है कि "भाषा" और "समस्या" को कैसे परिभाषित किया जाए? शेफर्स प्रमेय (जहां तक ​​मुझे याद है), केवल कुछ सेट एस संबंधों के संयोजन और चर प्रतिस्थापन के तहत बंद करके दी गई भाषाओं पर विचार करता है। हालाँकि, कोई भी ऐसी समस्याओं के सेट का निर्माण कर सकता है जो इसके द्वारा कवर नहीं की जाती हैं, और इसलिए यह ट्रैक करने योग्य हो सकती है लेकिन स्कैफ़र नहीं। संभवतः समस्याओं का एक सेट लडनेर का निर्माण संबंधों के एक सेट के संयोजन और चर प्रतिस्थापन के तहत बंद होने के संदर्भ में निश्चित नहीं है।

— MGwynne

मुझे लगता है कि आपको अंतिम वाक्य को बदलना चाहिए क्योंकि एक उदाहरण में (गैर-तुच्छ) जटिलता नहीं है, उदाहरणों के सेट में जटिलता है। तब इसका मतलब यह होगा कि कोई रूप में अभिव्यक्त नहीं किया जाता है । $\mathsf{SAT}$$\mathsf{CSP}(\Gamma)$

— केवह

Answer 1

मास्सिमो लौरिया के अनुसार, फॉर्म CSP ( ) की समस्याएँ विशेष हैं। इसलिए कोई विरोधाभास नहीं है।$\Gamma$

किसी भी बाधा संतुष्टि समस्या उदाहरण को संबंधपरक संरचनाओं और एक जोड़ी के रूप में दर्शाया जा सकता है , और एक को यह तय करना होगा कि क्या स्रोत से लक्ष्य तक एक संबंधपरक संरचना समरूपता मौजूद है । $(S,T)$$S$$T$$S$$T$

CSP ( ) एक विशेष प्रकार की बाधा संतुष्टि समस्या है। इसमें सभी संबंधपरक संरचनाएं शामिल हैं, जो लक्ष्य संबंधपरक संरचना में केवल से संबंधों का उपयोग करके गई हैं: CSP ( ) = । शेफ़र के प्रमेय में कहा गया है कि जब में केवल से अधिक संबंध होते हैं , तो CSP ( ) या तो NP- पूर्ण या P में होता है, लेकिन CSP इंस्टेंस के अन्य संग्रह के बारे में कुछ भी नहीं कहता है।$\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$$\{(S,T) \mid \text{all relations of } T \text{ are from } \Gamma\}$$\Gamma$$\{0,1\}$$\Gamma$

एक चरम उदाहरण के रूप में, कोई व्यक्ति कुछ CSP ( ) के साथ शुरू कर सकता है जो कि NP-complete है, और भाषा में "ब्लो होल" है। (Ladner उसकी प्रमेय के प्रमाण में सैट के साथ ऐसा किया।) परिणाम केवल उदाहरणों में से कुछ से युक्त एक सबसेट, और प्रपत्र सीएसपी (में नहीं रह गया है किसी के लिए) । निर्माण को दोहराने से पी ness एनपी को मानते हुए कठोरता में कमी की भाषाओं की एक अनंत पदानुक्रम मिलती है।$\Gamma$$\Gamma'$$\Gamma'$

Answer 2

आपको यह समझने की आवश्यकता है कि समस्याओं में एक संरचना है जो सामान्य समस्याओं की नहीं है। मैं आपको एक सरल उदाहरण दूंगा। Let । यह भाषा ऐसी है कि आप केवल दो चरों के बीच समानता और असमानता व्यक्त कर सकते हैं। स्पष्ट रूप से बाधाओं का ऐसा कोई भी सेट बहुपद समय में हल करने योग्य है।$\mathsf{CSP}$$\mathbf{SAT}$$\Gamma=\{\{(0,0),(1,1)\},\{(0,1),(1,0)\}\}$

मैं आपको और खंड के बीच के संबंध को स्पष्ट करने के लिए दो तर्क । ध्यान दें कि जो सभी इस प्रकार मानता है कि ।$\mathsf{CSP}$$\mathbf{P}\not=\mathbf{NP}$

पहला : बाधाओं की एक निश्चित संख्या में चर होते हैं, जबकि मध्यवर्ती समस्याओं के एन्कोडिंग को बड़े खंडों की आवश्यकता हो सकती है। यह आवश्यक रूप से एक मुद्दा नहीं है जब ऐसे बड़े अवरोधों को सहायक चर का उपयोग करके छोटे लोगों के संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। दुर्भाग्य से यह हमेशा सामान्य लिए मामला नहीं है ।$\Gamma$

मान लें बस को रोकने के लिए पाँच चर की। स्पष्ट रूप से आप इनपुट दोहराकर कम चर के को व्यक्त कर सकते हैं। आप एक बड़े व्यक्त नहीं कर सकते क्योंकि एक्सटेंशन चर का उपयोग करने का तरीका सकारात्मक और नकारात्मक आवश्यकता है। चर पर संबंधों का प्रतिनिधित्व करता है , शाब्दिक पर नहीं । वास्तव में जब आप 3- में एक सोचते हैं, तो आपको कुछ नकारात्मक इनपुट (शून्य से तीन तक) के साथ संबंध के चार संबंध रखने के लिए आवश्यकता होती है।$\Gamma$$\mathsf{OR}$$\mathsf{OR}$$\mathsf{OR}$$\Gamma$$\mathbf{SAT}$$\mathsf{CSP}$$\Gamma$

दूसरा : में प्रत्येक संबंध को तीन शब्दों के साथ (कहते हैं) खंड के एक बैच के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। प्रत्येक बाधा को इस तरह के खंडों का एक पूरा बैच होना चाहिए। समानता / असमानता की बाधाओं के साथ उदाहरण में, आपके पास एक द्विआधारी (अर्थात संबंध ) को लागू किए बिना एक बाइनरी (यानी संबंध ) नहीं हो सकता है ) एक ही चर पर।ए एन डी ( 1 , 1 ) ओ आर ( 0 , 0 $\Gamma$$\mathsf{AND}$${(1,1)}$$\mathsf{OR}$${(0,0)}$

मुझे आशा है कि यह आपको दिखाता है कि इंस्टेंसेस से प्राप्त हुए हैं, एक बहुत ही अजीब संरचना है, जिसे की प्रकृति द्वारा लागू किया गया है । यदि संरचना बहुत तंग है तो आप कठिन समस्याओं को व्यक्त नहीं कर सकते। सी एस पी$\mathbf{SAT}$$\mathsf{CSP}$$\Gamma$

शेफ़र प्रमेय का एक सहसंबंध यह है कि जब भी एक संरचना को लागू करने के लिए पर्याप्त रूप से ढीला करता है, तो वह व्यक्त करने के लिए निर्णय समस्याओं को हल करता है, तो वही पर्याप्त सामान्य स्वतंत्रता को व्यक्त करने की अनुमति देता है 3- " उदाहरण।एन पी ∖ पी Γ एस ए $\Gamma$$\mathbf{NP\backslash P}$$\Gamma$$\mathsf{SAT}$

Comments

मास्सिमो लौरिया के उत्कृष्ट उत्तर में जोड़ने के लिए; कोई विरोधाभास नहीं है। इस विकिपीडिया लेख पर एक नज़र डालें, जिसमें एक खंड है, जो सरल शब्दों में बताता है, लाडर्स थ्योरम और शेफर के प्रमेय के बीच संबंध।

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

बस यह सुनिश्चित करने के लिए कि मैं समझता हूँ, आप कह रहे हैं कि Schaefer के प्रमेय में ' का प्रतिबंधित संस्करण या तो मनमाने ढंग से 3- उदाहरण को एनकोड करने में सक्षम नहीं है या उदाहरण हैं 3- के कुछ वर्ग के लिए सुपर-बहुपद विकसित कर सकता है समस्याएं? एस ए टी सी एस पी ( Γ ) एस ए ${\bf CSP}$${\bf SAT}$${\bf CSP}(\Gamma)$${\bf SAT}$

— user834

Schaefer के प्रमेय में कई प्रकार के को बहुपद समय के एल्गोरिदम को प्रेरित करने के लिए दिखाया गया है। मुझे लगता है (लेकिन मुझे यकीन नहीं है) कि उनमें से कुछ एक सामान्य 3- व्यक्त नहीं कर सकते हैं । फिर भी 3-क्लॉस" के सेट के लिए पर विचार करें । ये पॉलीटाइम डिसीडेबल हैं और टाइम में किसी भी नियतात्मक संगणना को एक - फॉर्मूला सूत्र के रूप में एन्कोड किया जा सकता है । इस प्रकार मुझे लगता है कि आप एक घातीय लंबी संगणना को एक घातीय लंबे (यानी घातीय रूप से कई चर) के साथ सांकेतिक शब्दों में बदल सकते हैं । क्या इस का कोई मतलब निकलता है? एस ए टी Γ टी एच ओ आर एन एस ए टी पी ओ एल y ( टी ) सी एस $\Gamma$$\mathbf{SAT}$$\Gamma$$t$$\mathsf{Horn}$$\mathbf{SAT}$$poly(t)$$\mathsf{CSP}$

— मास्सिमो लौरिया

मुझे लगता है कि यह कहने का सही तरीका है कि शेफ़र के ढांचे में सीएसपी एक मनमाने ढंग से एनपी समस्या को एनकोड नहीं कर सकता (3-सैट वास्तव में एक कैनोनिकल सीएसपी समस्या है)। ध्यान दें कि यह एक सशर्त विवरण है (जब तक कि पी = एनपी)।

— चन्द्र चकुरी

@ChandraChekuri, कृपया मुझे इतना सघन होने के लिए बहाना दें, लेकिन क्या आप कह रहे हैं कि शेफ़र के ढांचे में CSP के 3-SAT के मनमाने उदाहरण नहीं हैं? CSP, सामान्य तौर पर, 3-SAT को एन्कोड कर सकता है, लेकिन Schaefer के ढांचे में CSP का प्रतिबंधित संस्करण नहीं हो सकता है?

— user834