एक बिसात में सही मिलान?

Question

उन शूरवीरों की अधिकतम संख्या को खोजने की समस्या पर विचार करें जिन्हें एक दो पर एक दूसरे पर हमला किए बिना शतरंज की बिसात पर रखा जा सकता है। जवाब 32 है: यह एक परिपूर्ण मिलान खोजने में बहुत मुश्किल नहीं है (नाइट चाल से प्रेरित ग्राफ बिपार्टाइट है, और 4 × 4 बोर्ड के लिए एक परिपूर्ण मिलान है), जो स्पष्ट रूप से एक न्यूनतम बढ़त कवर है। यह साबित करना भी मुश्किल नहीं है कि उत्तर $\left\lceil \frac{mn}{2} \right\rceil$एक के लिए$m \times n$बिसात जब भी$m,n \geq 3$: इसके लिए matchings दिखाने के लिए पर्याप्त होता है$3 \leq m,n \leq 6$और प्रेरण फुटवर्क का एक सा है।

दूसरी ओर, यदि शतरंज का जहाज़ toroidal और $m, n$ सम था, तो प्रमाण को छोटे बोर्डों के लिए मिलान दिखाने की भी आवश्यकता नहीं होगी: नक्शा $(x, y) \rightarrow (x+1, y+2)$ केवल है सम-लंबाई चक्र इसलिए एक परिपूर्ण मिलान होना चाहिए।

क्या आयताकार बिसात के लिए कोई समतुल्य है , क्या यह दिखाने का कोई सरल तरीका है कि पर्याप्त रूप से बड़े $m, n$ हमेशा बिसात का सही मेल होता है? बड़े बोर्डों के लिए, आयताकार बोर्ड और टोरॉइडल बोर्ड लगभग इस अर्थ में बराबर हैं कि लापता किनारों का अंश शून्य हो जाता है, लेकिन मुझे किसी भी सैद्धांतिक परिणामों के बारे में पता नहीं है जो उस मामले में एक परिपूर्ण मिलान की गारंटी देगा।

क्या होगा यदि, दोनों दिशा में कूदने के बजाय $(1, 2)$, एक नाइट कूद $(2, 3)$ दोनों दिशाओं में वर्ग? या, उस बात के लिए, $(p, q)$ वर्ग, $p+q$ विषम और $p, q$ सह-अपराध के साथ? यदि यह साबित करने का एक सरल तरीका है कि उत्तर $\left\lceil \frac{mn}{2} \right\rceil$पर्याप्त रूप से बड़े के लिए$m, n$(जैसे कि,$m, n \geq C(p, q)$), क्या करता है$C(p, q)$की तरह देखो?

Comments

यह एक अच्छा सवाल है।

— सुरेश वेंकट

$m,n > 8$$mn$

Answer 1

$\lceil \frac{mn}2\rceil$$m, n$$p=6$$q=3$मीटर = एन = 100 x + $\mod 3$$m=n=100$१ , १ , $x+y \mod 6$$1,1,2$

मुझे नहीं पता कि क्या होता है यदि हम इस शर्त को जोड़ते हैं कि और रिश्तेदार primes हैं। (ध्यान दें कि 2 विभाजक के अलावा यह बराबर है और सापेक्ष primes जा रहा है, वास्तव में यही वह स्थिति है जिसकी हमें आवश्यकता है और यह भी दर्शाता है कि विषम होना आवश्यक है।)q p + q p - q p + $p$$q$$p+q$$p-q$$p+q$

Comments

ओह, अच्छी बात है; मैंने आपके अवलोकन को दर्शाने के लिए प्रश्न में संशोधन किया है।

— ctgPi