उत्तल बॉडी न्यूनतम अपेक्षित एल 2 मानदंड के साथ

उत्तल शरीर को मूल और सममित पर केंद्रित मानें (अर्थात यदि तब )। मैं एक अलग उत्तल निकाय को खोजने की इच्छा जैसे कि और निम्नलिखित उपाय को कम से कम किया जाता है: $K$ $x\in K$ $-x\in K$ $L$ $K\subseteq L$

$f(L)=\mathbb{E}(\sqrt{x^T \cdot x})$ , जहां एक बिंदु है जो समान रूप से L से यादृच्छिक पर चुना जाता है। $x$

मैं उपाय के लिए निरंतर कारक सन्निकटन के साथ ठीक हूं।

कुछ नोट्स - पहला सहज ज्ञान युक्त अनुमान है कि स्वयं उत्तर गलत है। उदाहरण के लिए, को बहुत उच्च आयाम में एक पतला सिलेंडर माना जाता है । तब हम ऐसे प्राप्त कर सकते हैं जैसे कि को की उत्पत्ति के अधिक मात्रा में होने की अनुमति देता है। $K$ $K$ $L$ $f(L)<f(K)$ $L$

cg.comp-geom approximation convex-geometry

— अश्विनकुमार बी.वी.
स्रोत

इसके लायक कुछ भी नहीं के लिए, समस्या कठिन लग रही है। 3 डी में भी स्पष्ट नहीं है कि इसे कैसे हल किया जाए।

— सरियल हर-पेलेड

क्या यह स्पष्ट है कि इसे 2d में कैसे करें? बेशक 2d में एक स्थिर कारक सन्निकटन है।

— अश्विनकुमार BV

यह मेरे लिए स्पष्ट नहीं है। लगातार कारक सन्निकटन किसी भी आयाम में एक दीर्घवृत्ताकार www.math.sc.edu/~howard/Notes/john.pdf द्वारा आकार को स्पष्ट कर रहा है। स्थिर आयाम पर निर्भर करेगा।

— सरील हर-पेलेड

मुझे लगातार कारक सन्निकटन में अधिक रुचि है जहां निरंतर आयाम पर निर्भर नहीं करता है।

— अश्विनकुमार BV

सहज रूप में। लेकिन मुझे इसे वापस लेने दें - यहां तक कि दीर्घवृत्त मामला भी स्पष्ट नहीं है। यदि आप इस समस्या पर हमला करना चाहते हैं, तो यह जांच का पहला संस्करण होगा। सहज रूप से, आपको यह तय करना होगा कि किन आयामों को अनदेखा करना है, और किन आयामों का विस्तार करना है। ऐसा लगता है कि प्राकृतिक समाधान एक और दीर्घवृत्त के साथ दीर्घवृत्त के संघ का उत्तल-पतवार है, जहां नए दीर्घवृत्त के अक्ष कुछ पैरामीटर r के बराबर होते हैं, या अन्य दीर्घवृत्त के बराबर होते हैं।

— सरियल हर-पेलेड

जवाबों:

यदि हम और दोनों को दीर्घवृत्ताकार होने से रोकते हैं, तो आपकी समस्या को SDP के साथ किसी भी सटीकता से हल किया जा सकता है। मुझे पता है कि यह वह नहीं है जो आपने मूल रूप से पूछा था, लेकिन ऐसा लगता है कि हमारे पास इस प्रतिबंधित मामले के लिए भी कोई समाधान नहीं है, और शायद यह सामान्य रूप से मदद कर सकता है। $K$ $L$

$E$ $J$ $F$ $E = FB_2$ $G$ $J = GB_2$ $B_2$ $\mathbb{E}_{x \sim J}[\|x\|_2^2] = \frac{1}{n}\mathsf{Tr}(G^TG)$ $E \subseteq J \Leftrightarrow J^\circ \subseteq E^\circ$ $E^\circ$ $E$ $E^\circ = \{x: x^TF^TFx \leq 1\}$ और । यह निम्नानुसार है कि (और इसलिए ) यदि और केवल अगर एक सकारात्मक अर्धचालक मैट्रिक्स है। $J^\circ = \{x: x^TG^TGx \leq 1\}$ $J^\circ \subseteq E^\circ$ $E \subseteq J$ $G^TG - F^TF$

तो एसडीपी द्वारा परिभाषित किया गया है: एक सममित PSD मैट्रिक्स , एक सममित PSD मैट्रिक्स सेंट PSD है और को कम से कम किया जाता है। एसडीपी को हल करके पाया जा सकता है और फिर एक एसवीडी अक्ष और अक्ष की लंबाई । $M$ $N$ $N - M$ $\mathsf{Tr}(N)$ $N$ $J$

— साशो निकोलोव
स्रोत

(जैसा कि टिप्पणियों में उल्लेख किया गया है, निम्नलिखित दृष्टिकोण काम नहीं करता है। प्राप्त वस्तु उत्तल नहीं है। यह न्यूनतम अपेक्षित दूरी के साथ "स्टार-आकार" ऑब्जेक्ट की विशेषता है।)

मुझे लगता है कि इष्टतम वस्तु और संघ के मूल में केंद्रित कुछ गेंद होगी। यहाँ मेरे विचार हैं की अपनी परिभाषा के अनुसार , $K$ $f(L)$ जहांएक विशेष दिशा के साथकी सतह से मूल की दूरी है। मैं प्रयोग किया जाता है= के बजाय, क्योंकि मैं कुछ स्थिरांक गिरा दिया। अब हमकिसी भी दिशा मेंकी कमी के कारणको कम करना चाहते हैं। ध्यान दें कि यदिकिसी दिशा मेंसे छोटा है

f (L) \sim \int S d - 1 \int r L 0 x d ( x d / x d L ) d x r L v o l ( L ) d x d S \sim \int S d - 1 r 2 L v o l ( L ) d S \sim \int S d - 1 r 2 L d S \int S d - 1 r L d S = d e f g (L),

$f(L) \sim \int_{{\mathbb S}^{d-1}} \int_{0}^{r_L} x\frac{\mathrm{d}(x^d/x_L^d)}{\mathrm dx}\frac{r_L}{\mathrm{vol}(L)} \mathrm dx\mathrm dS \sim \int_{{\mathbb S}^{d-1}} \frac{r_L^2}{\mathrm{vol}(L)}dS \sim \frac{\int_{{\mathbb S}^{d-1}} r_L^2 dS}{\int_{{\mathbb S}^{d-1}} r_L dS} \stackrel{\mathrm{def}}{=} g(L),$

rL $r_L$

L $L$

∼ $\sim$

g(L) $g(L)$

rL≥rK $r_L \ge r_K$

rK $r_K$

, तो हम यह थोड़ा बड़ा कर सकते हैं, की वृद्धि कहना

, बनाने के लिए

छोटे। ऐसा इसलिए है क्योंकि हम से प्रगणक वृद्धि है

एक पहलू से कम

g(K)/2 $g(K)/2$

ϵ≤g(K)/2−rK $\epsilon \le g(K)/2 -r_K$

g(K) $g(K)$

(rL+ϵ)2−r2L=ϵ(2rL+ϵ) $(r_L+\epsilon)^2 -r_L^2 = \epsilon(2r_L + \epsilon)$

g(K) $g(K)$ हर में वृद्धि हुई है। इसलिए, हम धीरे-धीरे "ख़राब"

(वस्तु को बार-बार थोड़ा बढ़ाकर और

अपडेट करके

इसके

मान को छोटा बनाने के बारे में सोच सकते हैं। चलो

अंत में उत्तल वस्तु हो। फिर, पर किसी भी बिंदु

दूरी पर है

मूल से, यानी,

का मिलन है

और त्रिज्या के साथ एक गेंद

K $K$

g(⋅) $g(\cdot)$

K∗ $K^*$

∂K∗∖∂K $\partial K^*\setminus \partial K$

g(K∗)/2 $g(K^*)/2$

K∗ $K^*$

K $K$

।g(K∗)/2 $g(K^*)/2$

दरअसल, पर विचार एक और उत्तल वस्तु ऐसी है कि । तो फिर , के बाद से अन्यथा हम का हिस्सा बढ़ सकता है के अंदर बनाने के लिए छोटे। दूसरी ओर, , क्योंकि अन्यथा, एक ही विचार से, हम का हिस्सा हटना सकता है के बाहर $K'$ $g(K') = g(K)$ $K^*\subseteq K'$ $K'$ $K^*$ $g(K')$ $K'\subseteq K^*$ $K'\setminus K$ $K^*$ बनाने के लिए छोटे। तो एक अनूठा इष्टतम समाधान है। $g(K')$

— user7852
स्रोत

शायद मुझे कुछ याद आ रहा है, लेकिन इस तरह से उत्पन्न वस्तु उत्तल क्यों है?

— mjqxxxx

@mjqxxxx आप सही हैं। मुझे यह कैसे याद आया ...

— user7852

कैसे निम्नलिखित विचार के बारे में: यह सर्वविदित है कि एक उत्तल वस्तु कुछ दीर्घवृत्ताभ इसका अनुमान लगाया जा सकता है, यानी, वहाँ एक दीर्घवृत्ताभ है

कि इस तरह के

EK $E_K$

। तब

EK⊆K⊆d−−√EK $E_K\subseteq K\subseteq \sqrt{d}E_K$

का अनुमान लगाती है

के साथ लगभग अनुपात

। किसी भी के लिए

युक्त

f(d−−√EK) $f(\sqrt{d} E_K)$

f(K) $f(K)$

d $d$

$L$

$K$

। तो अगर हम पा सकते हैं इष्टतम अण्डाकार

युक्त

$\sqrt{d}E_K \subseteq d E_L$

$E$

, तो

। मुझे नहीं पता कि

गणना कैसे की जाती है। लेकिन मैं की कुल्हाड़ियों के साथ अपने कुल्हाड़ियों संरेखित लगता होगा

$\sqrt{d} E_K$

$f(E) \le d^2 f(L)$

$E$

, और के सभी eigenvalues

$\sqrt{d} E_K$

कुछ दहलीज के नीचे उस दहलीज तक उठाया जाता है। $\sqrt{d} E_K$

— user7852

मैं सहमत हूं कि यदि L एक उत्तल निकाय तक सीमित नहीं है, तो यह K और एक गेंद का मिलन है।

— अश्विनकुमार बीवी

दीर्घवृत्त का उपयोग करने का विचार आपको एक स्थिर कारक नहीं देगा। यह सबसे अच्छा एक पर दे सकते हैं

अंदाज। मेरा अनुमान है किउचित त्रिज्या के एक गेंद के साथ

का उत्तल पतवारएक निरंतर कारक सन्निकटन है। मुझे यकीन नहीं है कि अनुमान को कैसे साबित या बाधित किया जाए। $\sqrt{d}$

$L$

— अश्विनकुमार बीवी at

निम्नलिखित समाधान इस अस्मिता / अनुमान पर आधारित है [साबित होने के लिए]:

अनुमान : पर एक उत्तल समारोह की उम्मीद पर उम्मीद के बीच बड़ा तुलना में छोटी है और पर उम्मीद । $\textrm{conv}(K\bigcup K')$ $K$ $K'$

[We will need the above only for $K,K'$ convex, but is might be true in general]

Take now any set $K$ and apply a rotation $R$ to it centered on the origin, obtaining $R(K)$ . You are going to have $f(K)=f(R(K))$ , because the rotation leaves the length of the elements of $K$ invariant. If I am right about the conjecture, $f(\textrm{conv}(K\bigcup R(K)))\leq f(K)$ . Since for any optimal $L$ you could consider $L'=\bigcup_R R(L)=\textrm{conv}(\bigcup_R R(L))$ , where $\bigcup_R$ indicates the union over all rotations, and have $f(L)\geq f(L') \geq f(L)$ , it would seem that the optimal $L$ can be chosen to be the smallest sphere containing $K$ .

— Marco
स्रोत

It would be sufficient to prove that

$\mathbb{E}_{\textrm{conv}(A)}\leq \mathbb{E}_{A}$ for the expectation of a convex function. That

$\mathbb{E}_{K\bigcup K'}\leq \max\{\mathbb{E}_K,\mathbb{E}_K'\}$ seems easy.

— Marco

I am not entirely sure I get your answer. But it is definitely not true that L can be chosen to be the smallest sphere containing K. Consider a long thin cylinder in

$d$ dimensions of length

$t$ . Then any sphere

$S$ containing

$K$ should have

$f(S)\geq t$ . But if you construct

$L=conv(K\cup U)$ where U is a sphere or radius roughly

$c_1 t/d$ you get

$f(L)$ roughly

$c_2 t/d$ . (where

$c_1,c_2$ are constants)

— Ashwinkumar B V