क्या समानांतर पुनरावृत्ति प्रमेय का एक निरंतर संस्करण है

रेज़ का पैरेलल प्रीटिशन प्रमेय पीसीपी, इंप्रूवमेंट आदि में एक महत्वपूर्ण परिणाम है। प्रमेय को निम्न प्रकार से फॉमलाइज़ किया जाता है।

एक खेल $G=(\mathcal{S},\mathcal{T},\mathcal{A},\mathcal{B},\pi, V)$ , जहां $\mathcal{S},\mathcal{T},\mathcal{A},\mathcal{B}$ परिमित सेट कर रहे हैं, $\pi$ पर एक वितरण है $\mathcal{S}\times\mathcal{T}$ , और विधेय $V:\mathcal{S}\times\mathcal{T}\times\mathcal{A}\times\mathcal{B}\rightarrow\{0,1\}$ । खेल मूल्य को परिभाषित करें

v (G) = max_{h_{A} \in H_{A}, h_{B} \in H_{B}} \sum_{s, t} π (s, t) V (s, t, h_{A} (s), h_{B} (t))

$v(G)=\max_{h_A\in\mathcal{H}_A,h_B\in\mathcal{H}_B}\sum_{s,t}\pi(s,t)V(s,t,h_A(s),h_B(t))$

n

$n$ -फोल्ड गेम । प्रमेय कहता है यदि

तो

G^{n} = (S^{n}, T^{n}, A^{n}, B^{n}, π^{n}, V^{n})

$G^n=(\mathcal{S}^n,\mathcal{T}^n,\mathcal{A}^n,\mathcal{B}^n,\pi^n, V^n)$

v (G) \leq 1 - ϵ,

$v(G)\leq 1-\epsilon,$

v (G^{n}) \leq (1 - ϵ^{c})^{Ω (\frac{n}{\log max {| A |, | B |}})}

$v(G^n)\leq (1-\epsilon^c)^{\Omega(\frac{n}{\log\max\{|A|,|B|\}})}$

यदि सेट अनंत है, तो एक निरंतर स्थान पर मेरा क्वेशियन क्या होता है। यदि कहो कि $\mathcal{S},\mathcal{T},\mathcal{A},\mathcal{B}$ एक स्थान के सबसेट हैं, तो $R^n$ , या अधिक सार रिक्त स्थान कहें। बाकी सभी समान हैं। रेज़ की प्रमेय केवल एक ऊपरी ऊपरी सीमा देता है $1$ क्योंकि उत्तर सेट के आकार अनंत हैं। जाहिर है $n$ फोल्ड वैल्यू सिंगल कॉपी से अपर बाउंडेड है। क्या निरंतर मामले में घातीय कमी भी होती है? क्या निरंतर कार्य या फ़ंक्शंस या औसत दर्जे के फ़ंक्शंस के संग्रह होने के लिए को प्रतिबंधित करना अधिक दिलचस्प होगा ? $\mathcal{H}_A,\mathcal{H}_B$ $C^{\infty}$

— pyao
स्रोत

क्या निरंतर मामले में घातीय कमी भी होती है?

नंबर Feige और Verbitsky [FV02] ने दिखाया कि हर n के लिए , एक गेम G है (प्रश्नों और उत्तरों के परिमित सेट के साथ) जैसे कि v ( G ) /3 / 4 और v ( G ⁿ ) ≥1 / 8। क्योंकि आपका सूत्रीकरण किसी भी आकार के प्रश्नों और उत्तरों के सीमित सेट के साथ गेम को सामान्य करता है, समानांतर पुनरावृत्ति (किसी भी समय कई बार) एक गेम के मूल्य को 3/4 से 1/8 तक कम नहीं कर सकता है।

[FV02] यूरियल फीगे और ओलेग वेरबिट्स्की। समानांतर पुनरावृत्ति द्वारा त्रुटि में कमी- एक नकारात्मक परिणाम। कॉम्बीनेटरिका , 22 (4): 461-478, अक्टूबर 2002। doi: 10.1007 / s00493-002-0001-0 ।

— त्सुयोशी इतो
स्रोत