* ज्ञात * जटिलता पृथक्करण दिखाने के लिए मुल्मुले-सोहोनी GCT दृष्टिकोण का उपयोग करना कितना मुश्किल है?

जुलाई में प्रिंसटन में आयोजित जीसीटी को समर्पित एक हालिया वर्कशॉप में जोश ग्रोचो द्वारा जटिलता वेबलॉग की इस अतिथि पोस्ट में उन्होंने रिपोर्ट की। उपस्थित लोगों में से कई ने तर्क दिया कि हमें GCT का उपयोग बनाम तुलना में आसान समस्याओं पर हमला करने के लिए करना चाहिए ताकि अंतर्ज्ञान का निर्माण हो सके और देखें कि क्या क्षमता है। $\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}$

यह सवाल जो मुझे कचोट रहा है:

GCT उपयोग करने के लिए यह संभव है को दिखाने के लिए जाना जाता है की तरह विभाजन या ? $\mathsf{P} \neq \mathsf{EXP}$ $\mathsf{L} \neq \mathsf{PSPACE}$

क्या की तरह कुछ $\mathsf{L} \neq \mathsf{PSPACE}$

GCT संदर्भ में भी कोई मतलब नहीं है, या
जीसीटी ढांचे में पूरी तरह से तुच्छ और अविरल है, या
बनाम रूप में मुश्किल के रूप में अनुमान लगाने का नेतृत्व ? $\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}$

cc.complexity-theory gct

— मुगीज़ी रिवाबंगिरा
स्रोत

उस पोस्ट पर जोश की टिप्पणियों से यह प्रतीत होता है कि "जीसीटी भाषा" में इस तरह के अलगाव का सूत्रपात संभव है, लेकिन यह गैर-तुच्छ है और अभी तक इसे करने के लिए कोई भी नहीं मिला है। लेकिन फिर भी एक विशेषज्ञ से किसी भी अंतर्दृष्टि की सराहना करेंगे।

— मुगिज़ी रवेबैंगिरा

AFAIR, मुल्मुले ने अपनी प्रस्तुति ( video.ias.edu/stream&ref=226 ) को GCT के लिए अधिक स्वाभाविक प्रश्न के रूप में #P vs NC के साथ शुरू किया । आपके प्रश्न का उत्तर देने के लिए यह पहला अंतर्ज्ञान हो सकता है।

— माइकल कैडिलैक

उस लिंक Michaël के लिए धन्यवाद। किसी कारण से मेरे कार्यालय के डेस्कटॉप पर इसे सुनने के लिए वॉल्यूम बहुत कम है, लेकिन मैं कोशिश करूंगा कि जब मैं घर पहुंचूं। हालांकि किसी भी मामले में जोश पहले ही एक अच्छा जवाब दे चुका है।

— मुगीज़ी रिवाबंगिरा

जवाबों:

संक्षिप्त उत्तर: शायद नहीं (1), निश्चित रूप से नहीं (2), और संभवतः (3)।

$L$ $P$ $PSPACE$ $EXP$

$FP \neq FEXP$

आपके प्रश्न के लिए: मेरा मानना है कि इन प्रश्नों को एक GCT संदर्भ में तैयार किया जा सकता है, हालांकि यह तुरंत स्पष्ट नहीं है कि कैसे। कम या ज्यादा, आपको एक फ़ंक्शन की आवश्यकता है जो वर्ग के लिए पूरा हो और इसकी समरूपता की विशेषता हो; अतिरिक्त बोनस यदि फ़ंक्शन से संबंधित प्रतिनिधित्व सिद्धांत को समझना आसान है, लेकिन यह उत्तरार्द्ध आमतौर पर काफी कठिन है।

$FP \neq FEXP$ $P$ $NP$ $FEXP$ $FEXP$

$2 \times 2$ $\frac{3}{2}n^2 - 2$

$2 \times 2$ $3 \times 3$ $3 \times 3$ $FP \neq FEXP$ $P \neq NP$

— जोशुआ ग्रोचो
स्रोत

F P \neq F E X P

$FP \neq FEXP$

धन्यवाद! यह बहुत उपयोगी था। मेरा समग्र विचार (और मुझे लगता है कि दूसरों के रूप में अच्छी तरह से) यह सोचने के लिए था कि इस जीसीटी कार्यक्रम में एक "आसान पहला कदम" क्या होगा। लेकिन ऐसा लगता है कि वास्तव में एक नहीं है (अभी तक कम से कम)। आपने उल्लेख किया है कि ग्रोबनर गैसों के दृष्टिकोण में एक दोगुना-तीव्र गति से चलने का समय है, क्या आप जानते हैं कि बर्गिसर और इकेनमेयर के खोज के समय (एसिम्प्टोटिक) क्या था?

— मुगीज़ी रवेबैंगिरा

मेरा मानना है कि यह अभी भी घातीय था (जो आंशिक रूप से बताता है कि क्यों वे लैंड्सबर्ग के परिणाम को काफी पुन: पेश नहीं कर सके), लेकिन केवल एकल घातीय :)।

— जोशुआ ग्रोको

@JoshuaGrochow: यदि आप उत्तर के आरंभ या अंत में अपडेट बैनर लगाते हैं तो यह उपयोगी होगा। मेरे बुढ़ापे में, मेरी आँखें वे नहीं थीं जो वे हुआ करते थे, और पहले जवाब को छोड़ देने पर, मैं बदलाव से चूक गया।

— विजय डी।

जोशुआ ग्रोचो द्वारा arXiv पर एक नया पेपर है , जो दिखाता है कि जीसीटी फ्रेमवर्क में कई ज्ञात कम बाध्य तकनीकों को कैसे रखा जाए और ऐसा लगता है कि यह आपके प्रश्न का कुछ हद तक उत्तर देता है।

(यह ज्यादातर केवल एक टिप्पणी है, लेकिन कोई भी एक टिप्पणी पर ध्यान नहीं देगा इसलिए मैं इसे उत्तर के रूप में पोस्ट कर रहा हूं।)

ज्यामितीय जटिलता सिद्धांत के माध्यम से ज्ञात निचले सीमा को एकजुट करना और सामान्य बनाना

जोशुआ ए। ग्रोको

$AC^0[p]$ जिससे यह ज्ञात परिणामों का एक प्राकृतिक एकीकरण और व्यापक सामान्यीकरण है। इससे यह भी पता चलता है कि जीसीटी का ढांचा कम से कम ज्ञात विधियों की तरह शक्तिशाली है, और कई नए प्रमाण देता है कि जीसीटी वास्तव में महत्वपूर्ण असममित निचले सीमा प्रदान कर सकता है। यह नया दृष्टिकोण पिछले परिणामों और GCT के नए तरीकों के बीच उपयोगी दो-तरफ़ा बातचीत की संभावना को भी खोलता है; हम इस तरह की बातचीत के कई ठोस सुझाव प्रदान करते हैं। उदाहरण के लिए, जीसीटी का प्रतिनिधित्व-सिद्धांत-सिद्धांत स्वाभाविक रूप से नए निचले सीमाओं की खोज में विचार करने के लिए नए गुण प्रदान करता है। यह नया दृष्टिकोण पिछले परिणामों और जीसीटी के नए तरीकों के बीच उपयोगी दो-तरफ़ा बातचीत की संभावना को भी खोलता है; हम इस तरह की बातचीत के कई ठोस सुझाव प्रदान करते हैं। उदाहरण के लिए, GCT का प्रतिनिधित्व-सिद्धांतात्मक दृष्टिकोण स्वाभाविक रूप से नए निचले सीमाओं की खोज में विचार करने के लिए नए गुण प्रदान करता है। यह नया दृष्टिकोण पिछले परिणामों और जीसीटी के नए तरीकों के बीच उपयोगी दो-तरफ़ा बातचीत की संभावना को भी खोलता है; हम इस तरह की बातचीत के कई ठोस सुझाव प्रदान करते हैं। उदाहरण के लिए, GCT का प्रतिनिधित्व-सिद्धांतात्मक दृष्टिकोण स्वाभाविक रूप से नए निचले सीमाओं की खोज में विचार करने के लिए नए गुण प्रदान करता है।

— रॉबिन कोठारी
स्रोत