क्या गोला पर विलंबित त्रिकोण न्यूनतम कोण को अधिकतम करते हैं?

Question

विमान में विलंबित त्रिकोण एक त्रिकोण में न्यूनतम कोण को अधिकतम करते हैं। क्या गोला पर बिंदुओं के डिलायने त्रिकोणासन के लिए सही है? (यहां "कोण" शीर्ष पर शीर्ष के आसपास के पड़ोस में स्थानीय कोण है)।

इस सवाल से प्रेरित लेकिन Math.SE पर असंबद्ध।

Comments

निश्चित रूप से संपत्ति एक सेट के लिए धारण की जाएगी, जो गोला के छोटे, चपटे क्षेत्र के लिए स्थानीय है, क्योंकि यह कई गुना है। असली सवाल यह होगा कि क्या संपत्ति का बलिदान किया जाता है क्योंकि अंक पूरे क्षेत्र में फैले हुए हैं। मेरा अनुमान है कि पहले स्थान पर एक डिलायने त्रिकोणाकार होने के लिए, आपको यूक्लिडियन मामले की तुलना में अधिक वसा वाले त्रिकोण की आवश्यकता होगी, इसलिए संपत्ति धारण करेगी।

— जोसेफिन म्यूलर

क्या यह तब से इस तथ्य का पालन नहीं करता है कि गोलाकार नक्शे पर एक जेनेरिक बिंदु से सर्किलों तक टकराता हुआ प्रक्षेपण सर्किलों के अनुरूप कोणों (~ किनारों) के बीच कोणों को संरक्षित करता है और अनुरूपता के कारण? या क्या मैं कुछ न कुछ भूल रहा हूं?

— कोई

@someone हां, यह करना चाहिए। कम से कम इसमें से अधिकांश। एक अड़चन या दो हो सकता है, लेकिन यह केंद्रीय विचार होगा। मुझे इसके बारे में ही ख्याल आ रहा था। मुझे महसूस नहीं हुआ कि स्टीरिंगोग्राफिक मैपिंग कंफर्म थी।

— जोसफिन म्यूलर

@ सुरेश वेंकट अब जब आप अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान का उल्लेख करते हैं, तो शायद मेरे पास मेरा अंतर्ज्ञान है। हाइपरबोलिक स्पेस में आपको इस तथ्य पर ध्यान देना होगा कि "अवैध" खतना (यानी हाइपरसाइकल और हॉराइकल) हैं। जबकि गोलाकार स्थान में आप नहीं; आप हमेशा तीन बिंदुओं से गुजरने वाले मंडलियों को पा सकते हैं।

— जोसफिन म्यूलर

मुझे नहीं लगता कि यह काम करता है। आप यह सुनिश्चित करना चाहते हैं कि प्रक्षेपण महान मंडलियों को लाइनों में ले जाए (क्योंकि आप त्रिभुज के किनारों के बीच के कोणों को माप रहे हैं, जो महान मंडल / सीधे हैं)। मुझे नहीं लगता कि आप इसे स्टैरोग्राफिक प्रोजेक्शन के साथ नहीं कर सकते। आप इसे केवल गोले के केंद्र में बिंदु से एक प्रक्षेपण के साथ कर सकते हैं, जो कुछ हलकों को ग्रहण करता है।

— पीटर शोर

Answer 1

सबसे पहले: यह मेरा पहला जवाब था। ध्यान दें कि यह तर्क गलत है। नीचे मेरा दूसरा तर्क देखें।

मुझे नहीं लगता कि यह सच है। विमान में काम करने का कारण यह है कि एक सर्कल में, एक कॉर्ड द्वारा घटाया गया उत्कीर्ण कोण एक समान केंद्रीय कोण है। इस प्रकार, यदि हमारे पास एक छोटा कोण के साथ एक त्रिभुज है, तो कोई भी बिंदु जो विपरीत किनारे के साथ एक बड़ा कोण बनाएगा, खाली Delaunay सर्कल के अंदर है, और इसलिए कॉन्फ़िगरेशन में हम उन बिंदुओं में से एक नहीं हैं जिनके बारे में हम एक त्रिभुज खोज रहे हैं।

अब, मान लीजिए कि आपके पास गोले पर एक डिलायने त्रिकोण है। गोले के केंद्र में एक बिंदु रखें, और एक विमान पर सभी pionts को प्रोजेक्ट करें। त्रिकोण के किनारों (गोले पर महान वृत्त) सभी को रेखाखंडों में ले जाया जाता है। लेकिन खाली बॉल प्रॉपर्टी देने वाले सर्कल को दीर्घवृत्त पर ले जाया जाता है, और इसलिए यदि अनुमानित दीर्घवृत्त के बाहर एक बिंदु है, लेकिन त्रिकोण के परिधि के अंदर, यह बिंदु किनारे के साथ एक बड़ा कोण बना देगा।

संपादित करें:

एक मिनट रुकिए। यह उत्तर पूरी तरह से गलत है, क्योंकि केंद्रीय प्रक्षेपण कोणों को संरक्षित नहीं करता है। मुझे अभी भी लगता है कि अनुमान गलत है, क्योंकि मेरे पास एक और अधिक जटिल तर्क है कि उत्कीर्ण कोणों के बारे में प्रमेय क्षेत्र पर नहीं है। यहाँ तर्क है:

दूसरी ओर:

विमान में इसका कारण यह है कि एक कॉर्ड द्वारा घटाया गया उत्कीर्ण कोण एक समान केंद्रीय कोण है। ऐसा इसलिए है क्योंकि नीचे दिए गए चित्र में, हमारे पास है

$$CYX_2 = \frac{1}{2} (\pi - X_2 C Y)$$ तथा $$C Y X_1 = \frac{1}{2} (\pi - X_1 C Y).$$ घटाना, हम प्राप्त करते हैं $$X_1 Y X_2 = \frac{1}{2} X_1 C X_2.$$

अब, गोलाकार ज्यामिति में, हम प्राप्त करते हैं

$$CYX_2 = \frac{1}{2} ( \pi - X_2CY + A(X_2CY) \,)$$ तथा $$CYX_1 = \frac{1}{2} ( \pi - X_1CY + A(X_1CY) \,),$$ कहाँ पे $A(XYZ)$त्रिभुज XYZ का क्षेत्रफल है। घटाना, हम प्राप्त करते हैं $$X_1 Y X_2 = \frac{1}{2} (X_1 C X_2 + A(X_2CY) - A(X_1CY)\,).$$

अंकों के स्थान के लिए $Y$ एक निरंतर कोण बना रहा है $X_1YX_2$ एक सर्कल होने के लिए, हमें इस प्रकार क्षेत्रों के अंतर की आवश्यकता है $A(X_2CY) - A(X_1CY)$ केवल आवर्तक पर निर्भर करता है $X_1X_2$। हालाँकि, यह अवलोकन के साथ असंगत है$A(XCY)$ है $0$ के लिये $X$ व्यास के विपरीत $Y$ और किसके लिए $X=Y$, लेकिन बीच में कुछ अधिकतम आकार तक बढ़ता है।

इस प्रकार, अंकों के स्थान $Y$ निरंतर कोण के साथ $X_1YX_2$एक वृत्त नहीं है। इसका मतलब है कि कुछ त्रिकोण के लिए$X_1YX_2$ हम एक बिंदु पा सकते हैं $Y'$ की परिधि के बाहर $X_1YX_2$ इतना कोण $X_1YX_2 < X_1 Y' X_2$। इसके बाद हम इसका उपयोग अनुमान लगाने के लिए एक प्रतिपक्ष का निर्माण करने के लिए कर सकते हैं कि क्षेत्र में Delaunay त्रिकोण न्यूनतम कोण को अधिकतम करते हैं।

Comments

मुझे इस सवाल की उम्मीद नहीं थी कि यह मुश्किल है :)। बेसब्री से तस्वीरों का इंतजार है।

— सुरेश वेंकट