क्या एनपी के लिए अच्छे पीसीपी हमें पूरे बहुपद पदानुक्रम के लिए अच्छे पीसीपी देते हैं?


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PCP प्रमेय में कहा गया है कि NP की प्रत्येक निर्णय समस्या में संभाव्य रूप से जाँच योग्य साक्ष्य (या समतुल्य है, कि NP में प्रमेयों के लिए पूर्ण क्वेरी के लिए एक पूर्ण और अर्ध-ध्वनि प्रूफ प्रणाली मौजूद है जो निरंतर क्वेरी जटिलता और लघुगणक यादृच्छिक यादृच्छिक बिट्स का उपयोग करते हैं)।

पीसीपी प्रमेय के आस-पास "लोक ज्ञान" (एक पल के लिए पीसीपी के महत्व को अनदेखा करना)। इसका मतलब यह है कि सख्त गणितीय भाषा में लिखे गए प्रमाणों को पूरी तरह से पढ़ने की आवश्यकता के बिना सटीकता के किसी भी वांछित डिग्री तक कुशलतापूर्वक जाँच की जा सकती है। सबूत (या सबूत के बहुत सारे)।

मैं इसे काफी हद तक नहीं देख पा रहा हूं। क्वांटिफायर के अप्रतिबंधित उपयोग के साथ प्रस्ताव के तर्क के दूसरे क्रम के विस्तार पर विचार करें (जो मुझे बताया गया है कि पहले से ही ZFC से कमजोर है, लेकिन मैं कोई तर्कशास्त्री नहीं हूं)। हम पहले से ही प्रमेयों को व्यक्त करना शुरू कर सकते हैं जो कि क्वांटिफायर को वैकल्पिक करके एनपी के लिए सुलभ नहीं हैं।

मेरा सवाल यह है कि क्या उच्च क्रम वाले प्रस्तावक कथनों में 'अनियंत्रित' क्वांटिफायर का एक सरल, ज्ञात तरीका है ताकि एनपी में प्रमेय के लिए पीसीपी पीएच के किसी भी स्तर पर समान रूप से लागू हो। यह हो सकता है कि यह नहीं किया जा सकता है - कि एक क्वांटिफायर लागतों को अनियंत्रित करना, सबसे खराब स्थिति में, हमारे प्रूफ सिस्टम की ध्वनि या शुद्धता का कुछ निरंतर हिस्सा।


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यह मुझे लगता है कि लगभग एक परिभाषा के लिए एक पीसीपी समस्या को बीपीपी में डालती है, जिसका अर्थ होगा कि यह अंदर है Σ2Π2Sipser-Gács-Lautemann द्वारा। लेकिन शायद यह संबंधित प्रश्न भी देखें ।
पीटर शोर

यह उचित लगता है, लेकिन मैं भ्रमित हूं। अगर यह सही होता, तो क्या यह बीपी को बीपीपी में नहीं डालता?
रोस स्नाइडर

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उफ़। मुझे एमए कहना चाहिए, जो इसमें भी निहित हैΣ2Π2
पीटर शोर

यह काम नहीं करेगा। PH इसमें शामिल नींबू के लिए प्रतिरोधी है। EXP ^ 2 की तरह कुछ पर विचार करें। यह एक मजाक के रूप में आरपी, आरएनपी आदि को संभाल सकता है। आप आसानी से उस पदानुक्रम की यात्रा नहीं कर रहे हैं।
स्टीव यूर्टैमो

जवाबों:


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किसी कथन की सत्यता एक प्रमाण प्रणाली में (लघु) प्रमाण होने से भिन्न है। भाषा अभिव्यंजक है, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि भाषा के सभी मान्य बयानों में सिस्टम में कम सबूत हैं।

प्रमेय यह नहीं कहता है कि आप एक बयान की सच्चाई की जांच कर सकते हैं या यहां तक ​​कि मनमाने ढंग से लंबे सबूत या मनमाने प्रमेयों की शुद्धता की भी जांच कर सकते हैं। यह एक में सदस्यता के सबूत के लिए हैएनपीसेट, जिसकी परिभाषा में सदस्यता के बहुपद आकार के प्रमाण (प्रमाण पत्र) हैं। प्रमेय केवल यह कहता है कि आपको सदस्यता के पूर्ण (बहुपद आकार) प्रमाण को पढ़ने की आवश्यकता नहीं हैएनपी इसकी शुद्धता तय करने के लिए तैयार है।

प्रमेय का एक निहितार्थ इसे एक मनमाने भाषा में प्रमेयों के सेट पर लागू करना है, जिनके पास एक कुशल प्रूफ सिस्टम में कम (यानी एक मनमाना बहुपद) साक्ष्य है (अर्थात यह पॉलीनोमियल समय में निर्णायक है यदि किसी दिए गए स्ट्रिंग में दिए गए प्रमाण हैं बयान)। उदाहरण के लिए, ZFC के प्रमेय जिनके आकार के प्रमाण हैंn100 कहाँ पे nसूत्र का आकार है। यदि प्रूफ सिस्टम ध्वनि है तो आप संभावित रूप से उन प्रमेयों की शुद्धता को सत्यापित कर सकते हैं, जिनमें उनके साक्ष्यों के एक छोटे से हिस्से को पढ़ने के साथ संक्षिप्त प्रमाण हैं। मुझे लगता है कि यह अनौपचारिक कथन का अभिप्राय है " सख्त गणितीय भाषा में लिखे गए साक्ष्यों को पूरे प्रमाण पढ़ने की आवश्यकता के बिना सटीकता के किसी भी वांछित डिग्री तक कुशलतापूर्वक जांचा जा सकता है "।


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मुझे स्पष्ट करने का प्रयास करें।

निम्नलिखित कम्प्यूटेशनल समस्या पर विचार करें: एक गणितीय कथन (आपके पसंदीदा स्वयंसिद्ध प्रणाली में) और एक संख्या n को एकात्मक प्रतिनिधित्व में दिया गया है, यह तय करें कि कथन का आकार n का प्रमाण है या नहीं।

यह एक एनपी समस्या है: एक प्रमाण दिया गया है, एक कुशलता से सत्यापित कर सकता है कि यह आकार n का है और यह प्रमेय का एक वैध प्रमाण है। नोट: भले ही वक्तव्य में सभी के लिए क्वांटिफायर शामिल हों, इसका मतलब यह नहीं है कि सत्यापनकर्ता को सभी संभावनाओं की जांच करने की आवश्यकता है, इसका मतलब यह है कि सत्यापनकर्ता उन सभी नियमों का उपयोग करता है जिनमें फॉर ऑल क्वांटिफायर शामिल है।

पीसीपी प्रमेय इसलिए इस समस्या पर लागू होता है, और इसलिए एक अलग (अलग) सबूत प्रारूप है जो संभाव्य सत्यापन की अनुमति देता है।

एक और नोट (पीटर की टिप्पणी के बारे में): पीसीपी सत्यापनकर्ता केवल लघुगणक यादृच्छिकता का उपयोग करता है। इसका मतलब है कि यह एक मानक, निर्धारक, सत्यापनकर्ता द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है जो पूरे प्रमाण को देखता है। यह एक पीसीपी सत्यापनकर्ता के लिए एक भाषा में एनपी में डालता है।

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