"निर्देशित" समस्याएं जो उनके "अप्रत्यक्ष" संस्करण की तुलना में आसान हैं।

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मैं पैनकेक छँटाई पर एक व्याख्यान प्रस्तुत कर रहा था , और कहा कि:

जो मुझे सोच में पड़ गया। एक अर्थ है जिसमें "हस्ताक्षरित" छंटाई "निर्देशित" है - आप संकेत को एक दिशा के रूप में देख सकते हैं (और वास्तव में, यह विकासवादी जीव विज्ञान से प्रेरणा है)। लेकिन यह एक आसान समस्या है! यह असामान्य है क्योंकि आम तौर पर (कम से कम ग्राफ़ पर) निर्देशित समस्याएं उनके अप्रत्यक्ष समकक्षों के रूप में कठिन (या कम से कम कठिन) हैं।

"निर्देशित" की एक उदार परिभाषा मानते हुए, क्या निर्देशित समस्याओं के कोई उदाहरण हैं जो उनके अप्रत्यक्ष समकक्षों की तुलना में आसान हैं?

ds.algorithms

— सुरेश वेंकट
स्रोत

2

आप हॉर्न 3SAT पर विचार कर सकते हैं (प्रत्येक खंड को एक निर्देशित खंड के रूप में (ए और बी) _ सी के रूप में दर्शाया जा सकता है क्योंकि उन्हें निहितार्थ के रूप में देखा जा सकता है। तो, यहाँ निर्देशित मामला आसान है जबकि अप्रत्यक्ष 3SAT कठिन है।

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— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

1

मैंने सोचा था कि मैं जिस कक्षा को पढ़ा रहा था, उसके लिए एक समान प्रश्न था (जहां हमने एलपी का उपयोग आईपी समाधान को अनुमानित करने के लिए किया था): क्या समस्याओं का एक वर्ग है जहां एक पूर्णांक समाधान खोजना एक राशन समाधान खोजने से आसान था

— गोपी

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निर्देशित ग्राफ़ के लिए गणना यूलरियन सर्किट, बेस्ट प्रमेय का उपयोग करते हुए बहुपद समय में उल्लेखनीय है , जबकि अप्रत्यक्ष ग्राफ़ के लिए एक ही समस्या # पी-पूर्ण है ।

— टिमोथी सन
स्रोत

सभी उत्तर महान हैं, लेकिन अगर मुझे एक को स्वीकार करना है, तो यह इसलिए है क्योंकि अंतर बड़ा है और समस्या बहुत साफ है।

— सुरेश वेंकट

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एक दिलचस्प और इतना प्रसिद्ध मामला निम्नलिखित नहीं है। मान लीजिए कि हमारे पास एक एज-वेटेड ग्राफ और रूट नोड । हम कम से कम लागत वाली उप ग्राफ चाहते देखते हैं ऐसी है कि से किनारे की संबंध तोड़ना रास्तों ग्राफ में प्रत्येक नोड के लिए। जब यह निर्देशित ग्राफ़ में न्यूनतम लागत वाली arborescence समस्या है और अप्रत्यक्ष ग्राफ़ में यह MST समस्या के बराबर है। दोनों पाली-टाइम में सॉल्व होते हैं, हालांकि इनडायरेक्ट केस आसान होता है। हालाँकि यह समस्या किसी भी लिए निर्देशित ग्राफ़ में पॉली-टाइम सॉल्व करने योग्य है, जबकि यह लिए अप्रत्यक्ष ग्राफ़ में NP-Hard है (क्योंकि यह min-cost कैप्चर करता है। $G$ $r$ $G$ $k$ $r$ $k=1$ $k$ $k=2$ $2$ -से-कनेक्टेड उप-ग्राफ़ समस्या)।

— चन्द्र चकुरी
स्रोत

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शायद यह सबसे अच्छा उदाहरण नहीं है, लेकिन विचार करें (निर्देशित) साइकिल कवर, जहां कार्य को वर्टेक्स-डिसऑइंट (निर्देशित) चक्रों द्वारा सभी कोने को कवर करना है। निर्देशित मामले में, इसे द्विदलीय मिलान में कम किया जा सकता है और बहुपद समय में हल किया जा सकता है। अप्रत्यक्ष मामले में, समस्या को नॉनबिपार्टाइट मिलान (और इसके विपरीत) तक कम किया जा सकता है, जो एक कठिन समस्या है, लेकिन अभी भी बहुपद-समय हल है।

— डैनियल मार्क्स
स्रोत

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इसी तरह का एक और प्रभावशाली उदाहरण निम्नलिखित है: को एक निर्देशित भारित ग्राफ (भार नकारात्मक हो सकता है) होने दें। हम जाँच सकते हैं कि फोर्ड-बेलमैन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके में एक नकारात्मक चक्र है या नहीं। लेकिन अगर अप्रत्यक्ष है तो समस्या बहुत कठिन हो जाती है (लेकिन अभी भी पॉली-टाइम सॉल्व करने योग्य)।

G

$G$

G

$G$

G

$G$

— इलियराज

यह निश्चित रूप से एक अच्छा उदाहरण है, और जब मैं सवाल पूछ रहा था तो मैं इसके बारे में क्या सोच रहा था की तर्ज पर।

— सुरेश वेंकट

2

मुझे हमेशा यह आभास था कि "ग्राफ़ से जुड़ी समस्याएं" निर्देशित ग्राफ़ पर आसान हैं। हो सकता है कि इसके पीछे कुछ सिद्धांत हो, जैसे कि 2-जुड़े घटकों में "कम संरचना" है जो दृढ़ता से जुड़े घटकों ("चक्रों से जुड़ी समस्याएं" = वे जिन्हें प्रत्येक घटक को अलग से देखकर हल किया जा सकता है)।

— डिएगो डे एस्ट्राडा

3

डिएगो: यदि एक निर्देशित बंद चलना एक वर्टेक्स वी के माध्यम से जाता है, तो वी के माध्यम से एक निर्देशित चक्र चल रहा है। अप्रत्यक्ष रेखांकन के लिए अनुरूप कथन सही नहीं है। इस प्रकार निर्देशित रेखांकन में, अक्सर हम साइकिल के बजाय पैदल चलने का कारण बन सकते हैं। वॉक साइकिल की तुलना में अधिक मजबूत और कम ग्राफ-सैद्धांतिक है, जो एक फायदा हो सकता है। हो सकता है कि यह आपके प्रभाव का एक औपचारिक विवरण हो।

— डैनियल मार्क्स

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यहाँ एक समस्या है, जैसा कि मैंने हाल ही में महसूस किया है, वास्तव में अप्रत्यक्ष रेखांकन में कठिन है जो निर्देशित लोगों की तुलना में कठिन है।

मान लीजिए कि आपके पास सकारात्मक और नकारात्मक बढ़त भार के साथ एक ग्राफ है, और आपको एक नकारात्मक वजन चक्र का पता लगाने के लिए कहा जाता है। गोल्डबर्ग'93 (एवी गोल्डबर्ग 1993) द्वारा निर्देशित रेखांकन के लिए इस समस्या के लिए एक स्केलिंग एल्गोरिथ्म है। सबसे छोटे रास्तों की समस्या के लिए एल्गोरिथ्म स्केलिंग। सोडा '93 में।) O ( ) समय में चल रहा है। जहाँ किनारों की संख्या है, कोने की संख्या और एक किनारे के वजन का सबसे बड़ा निरपेक्ष मान है। इसके विपरीत, अप्रत्यक्ष रेखांकन में एक ही समस्या बहुत अधिक एल्गोरिदम है। मेरी जानकारी के लिए, गबॉ'83 (एचएन गबो 1983) सबसे अच्छी तरह से जाना जाता है। डिग्री-संकुचित सबग्राफ और अप्रत्यक्ष नेटवर्क प्रवाह समस्याओं के लिए एक कुशल कमी तकनीक। STOC '83 में।) और O (min ( ) में चलता है। $m\sqrt{n}\log C$ $m$ $n$ $C$ $n^3, mn\log n$ )) पहर। टी-जॉइन का उपयोग करने का एक तरीका भी है जो समान रनटाइम देता है, मुझे याद नहीं है कि मैंने इसे कहाँ देखा था।

एकल स्रोत सबसे छोटे रास्तों (SSSP) एल्गोरिदम के डिजाइन में नकारात्मक चक्र की समस्या महत्वपूर्ण है और यह आश्चर्यजनक नहीं है कि SSSP के लिए सबसे अच्छे समय पर निर्देशित और अप्रत्यक्ष रेखांकन में मनमाने भार के साथ समान रनटाइम्स होते हैं। O ( ) और O (मिनट ( )) क्रमशः। $m\sqrt{n}\log C$ $n^3, mn\log n$

— Virgi
स्रोत

लेकिन यहाँ 'कठिन' का अर्थ उन एल्गोरिदमों के बहुपद (बहुपद) रनटाइम के संबंध में है जो हम जानते हैं; यह हो सकता है कि हम, कुछ तकनीक याद कर रहे हैं निश्चित रूप से

— Virgi

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यह एक और दिलचस्प उदाहरण है। और अद्भुत नए परिणाम पर पीएस को बधाई।

— सुरेश वेंकट

1

धन्यवाद, सुरेश! एक और नोट पर, मैंने सिर्फ यह देखा कि डैनियल मार्क्स के जवाब में इलियराज ने मेरा जवाब दिया था ... डुप्लिकेट के लिए क्षमा करें।

— कुंवारी