SERF-reducibility और subexponential एल्गोरिदम

Question

इम्प्लैग्लियाज़ो, पटुरी और ज़ेन के एसईआरएफ-रिड्यूसबिलिटी और सबफ़ेक्टोनियम एल्गोरिदम से संबंधित मेरा एक प्रश्न है। SERF-reducibility की परिभाषा निम्नलिखित देती है:

यदि कम्मी-कम करने योग्य है और वहाँ हे (2 ^ {\ varepsilon n}) एल्गोरिथ्म के लिए p_2 के लिए प्रत्येक \ varepsilon> 0 , तब वहाँ है हे (2 ^ {\ varepsilon n}) के लिए एल्गोरिथ्म p_1 प्रत्येक के लिए \ varepsilon > 0 । (दोनों समस्याओं के लिए कठोरता पैरामीटर n द्वारा निरूपित किया गया है ।)$P_1$$P_2$$O(2^{\varepsilon n})$$P_2$$\varepsilon > 0$$O(2^{\varepsilon n})$$P_1$$\varepsilon > 0$$n$

कुछ स्रोतों का अर्थ है कि निम्नलिखित भी हैं:

यदि $P_1$ कम्मी-कम करने योग्य है $P_2$ और वहाँ $O(2^{o(n)})$ के लिए एल्गोरिथ्म $A_2$ , तब वहाँ है $O(2^{o(n)})$ के लिए एल्गोरिथ्म $P_1$ ।

मेरा प्रश्न यह है कि क्या यह उत्तरार्द्ध का दावा वास्तव में पकड़ में आता है और यदि ऐसा होता है, तो क्या इसका प्रमाण कहीं और है?

पृष्ठभूमि के रूप में, मैं घातीय समय परिकल्पना के आसपास के क्षेत्र को समझने की कोशिश कर रहा हूं। IPZ सब-वेनेटिव प्रॉब्लम को परिभाषित करता है, जिसमें $O(2^{\varepsilon n})$ एल्गोरिथ्म प्रत्येक $\varepsilon > 0$ , लेकिन यह जाहिरा तौर पर वर्तमान ज्ञान की रोशनी में पर्याप्त नहीं है कि समस्या के लिए सबप्रोनोपेनिकल एल्गोरिथ्म का अस्तित्व बताए। । वही अंतर SERF reducibility में मौजूद है, लेकिन मैं आंशिक रूप से उम्मीद कर रहा हूं कि मैं यहां कुछ याद कर रहा हूं ...

Answer 1

संपादित करें: जैसा कि रायन ने टिप्पणियों में कहा है, किसी समस्या का एक निरंतर काल के साथ एक गैर-गणन एल्गोरिथ्म हो सकता है किसी भी निरंतर (एल्गोरिथ्म में तक पहुंच है ) लेकिन कोई समान नहीं समय एल्गोरिथ्म।$O(2^{\epsilon n})$$\epsilon > 0$$\epsilon$$2^{o(n)}$

एक दास कमी के रूप में ट्यूरिंग कटौती के एक परिवार, प्रत्येक के लिए एक है , मैं निष्कर्ष है कि वे केवल प्राप्त करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता से समय एल्गोरिदम या समय एल्गोरिदम।$\epsilon>0$$O(2^{\epsilon n})$$O(2^{\epsilon n})$$2^{o(n)}$

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निम्नलिखित प्रमेय चेन एट अल द्वारा सिद्ध किया गया है । [२०० ९] ।

प्रमेय 2.4 । आज्ञा देना एक nondecinating और अनबाउंड फ़ंक्शन है, और को एक मानकीकृत समस्या होने दें । फिर निम्नलिखित कथन समतुल्य हैं: (1) को समय में हल किया जा सकता है किसी भी स्थिर , जहां एक बहुपद है; (2) को समय में हल किया जा सकता है , जहाँ एक बहुपद है।$f(k)$$Q$
$Q$$O(2^{\delta f(k)}p(n))$$\delta > 0$$p$
$Q$$2^{o(f(k))} q(n)$$q$

ले रहा है हम प्राप्त एक समस्या एक है कि के लिए समय एल्गोरिथ्म हर यदि और केवल यदि यह एक है समय एल्गोरिथ्म।$f(k)=n$$O(2^{\epsilon n})$$\epsilon>0$$2^{o(n)}$

चेन एट अल द्वारा कागज में इसका उल्लेख किया गया है। यह समानता पहले सहज रूप से इस्तेमाल की गई थी, लेकिन यह शोधकर्ताओं के बीच कुछ भ्रम पैदा कर रहा था।

Comments

बस एक नोट: कुछ अन्य शर्तें हैं जिन्हें काम करने के लिए अपने प्रमाण के लिए ग्रहण करने की आवश्यकता है। एक के लिए, को कुशलता से कम्प्यूटेशनल होना चाहिए। दूसरे, एक समान एल्गोरिथ्म होना चाहिए जो प्रत्येक ( लिए और इनपुट के रूप में बारे में सोचो लिए प्राप्त करता है । यह पूरी तरह से संभव है कि इन स्थितियों के बिना, एक समस्या को संतुष्ट कर सकता है (1) लेकिन नहीं (2)। $f$$A$$2^{\delta f(k)}$$\delta$$\delta$$A$

— रयान विलियम्स

सही। Theorem 2.4 को इसके संदर्भ में लेते हुए, ये दो स्थितियां खो गईं। कागज में, फुटनोट 1 पर स्थिति देता है और दूसरी शर्त Remark 2 में दी गई है$f$

— सर्ज गैस्पर्स

इस सुंदर इस बारे में मेरे सभी सवालों के जवाब! आपका बहुत बहुत धन्यवाद। एक दिलचस्प टिप्पणी के रूप में, जबकि ऐसा लगता है कि SERF-घटने से सब-वेनेटिव एल्गोरिदम का अस्तित्व संरक्षित नहीं होता है, ऐसा लगता है कि वास्तव में IPZ का Sparsification Lemma हमें एल्गोरिथ्म देने के लिए पर्याप्त रूप से मजबूत है। -SAT अगर एल्गोरिथ्म है। $2^{o(n)}$$2^{o(m)}$

— Janne H. Korhonen

इस मामले में अंतिम नोट कोई व्यक्ति बाद में ठोकर खा जाता है: जाहिरा तौर पर कुछ स्रोत सबपोनोनेंशियल समय की "नॉनफॉर्म" परिभाषा का उपयोग करते हैं (सभी एक "एल्गोरिथ्म) और अन्य" वर्दी "का उपयोग करते हैं। परिभाषा (वहाँ एल्गोरिथ्म है।) विशेष रूप से IPZ में पूर्व का उपयोग करें। उत्तरार्द्ध के लिए, आपको SERF कटौती की परिभाषा को बदलना होगा ताकि इनपुट के रूप में कमी करने के लिए पैरामीटर दिया जाए; चेन एट अल के उपरोक्त प्रमेय के साथ तुलना करें। विवरण के लिए, Flum और Grohe द्वारा Parameterized जटिलता सिद्धांत (2006) का अध्याय 16 देखें। $\varepsilon > 0$$O(2^{\varepsilon n})$$2^{o(n)}$$\varepsilon$

— जेन एच। कोरोहेन

यह भी लगता है कि फ्लम और ग्रोह अपनी पुस्तक में उत्तर में प्रमेय का प्रमाण देते हैं; लेम्मा 16.1 देखें।

— जेन एच। कोरोहेन