सबसे छोटे रास्तों के लिए स्वयंसिद्ध

Question

मान लें कि हमारे पास अप्रत्यक्ष भारित ग्राफ $G = (V, E, w)$ (गैर-नकारात्मक भार के साथ) है। आइए मान लेते हैं कि सभी सबसे छोटे रास्ते $G$अद्वितीय हैं। मान लीजिए कि हमारे पास ये पथ ( किनारों के अनुक्रम) हैं, लेकिन जी खुद को नहीं जानते हैं। क्या हम किसी ऐसे जी का निर्माण कर सकते हैं जिसने इन रास्तों को बहुपदों में सबसे कम समय दिया हो? कमजोर संस्करण: क्या हम बहुपद समय में तय कर सकते हैं कि क्या ऐसा जी मौजूद है? जीजी$\binom{n}{2}$$G$$G$$G$

स्पष्ट आवश्यक शर्त निम्नलिखित है: प्रत्येक जोड़ी के रास्तों के लिए उनका चौराहा भी एक मार्ग है। क्या यह स्थिति पर्याप्त है?

Comments

मुझे इनपुट के बारे में उलझन में होना चाहिए: यदि सबसे छोटे रास्तों के मिलन में आपके पास दो कोने , तो एक चक्र पर , तो उनके बीच दो रास्ते हैं (जो सबसे कम जरूरी हैं), और एक आपके द्वारा दूसरे से छोटा होना चाहिए विशिष्टता की स्थिति$u,v$

— सुरेश वेंकट

@ सुरेश: मुझे नहीं पता कि तुम क्या पाना चाहते हो। यदि ग्राफ जी पूरा ग्राफ है, तो किसी भी दो कोने के बीच का सबसे छोटा रास्ता एक किनारे है, और इन सभी सबसे छोटे रास्तों का मिलन पूरा ग्राफ है।

— त्सुशी जोतो

मुझे लगता है कि उत्तर भारित ग्राफ के पुनर्निर्माण के लिए 'नहीं' है, क्योंकि यदि आपके इनपुट से कोई बढ़त गायब है, तो यह वास्तव में (ए) ग्राफ में गायब हो सकता है या (बी) वास्तव में उच्च वजन वाला एक किनारा हो सकता है। मुझे लगता है कि बिना वज़न के संस्करण अधिक दिलचस्प है। इसके अलावा, जिस ग्राफ को हम भारित करना चाहते हैं और जिस मार्ग को हम बिना खोले दिए गए हैं, वह क्यों है?

— Artem Kaznatcheev

आज्ञा देना सबसे छोटा रास्ता के संघ। क्या कोई कारण है कि एक ग्राफ नहीं है जो इन सबसे छोटे रास्तों का उत्पादन करेगा? या, दूसरे शब्दों में, क्या यह मामला नहीं है कि यदि दिए गए सबसे छोटे रास्ते में सबसे छोटे रास्ते नहीं हैं , तो कोई ग्राफ नहीं है जिसके लिए वे सबसे छोटे रास्ते हैं? एच $H$$H$$H$

— साशो निकोलेव

@SashoNikolov हमें किन किनारों को तौलना चाहिए?

— इलियराज

Answer 1

मैं इस पुराने प्रश्न को हलकी खोज करते हुए लड़खड़ा गया, और इस पेपर में हाल ही में मिले जवाबों के बारे में मुझे पता है कि मैं भी इसका हिस्सा हो सकता हूं। मुझे आशा है कि थ्रेड नेक्रोमेंसी और सेल्फ-प्रमोशन का संयोजन क्षम्य है।

क्या हम किसी ऐसे जी का निर्माण कर सकते हैं जिसने इन रास्तों को बहुपदों में सबसे कम समय दिया हो? कमजोर संस्करण: क्या हम बहुपद समय में तय कर सकते हैं कि क्या ऐसा जी मौजूद है?

इसका उत्तर दोनों के लिए हाँ है। मोहम्मद का एल्गोरिथ्म निश्चित रूप से काम करता है, लेकिन एक तेज और अधिक प्रत्यक्ष विधि है जो क्यूबिक अलगाव oracles को चलाने की आवश्यकता से बचाती है। बता दें कि एक सहायक अप्रत्यक्ष भारित ग्राफ है, जहां प्रत्येक किनारे का वजन एक पूर्णांक है, जो दर्शाता है कि इनपुट पर लिए गए रास्तों में से कितने में वह धार है। अब, ऊपर धार-कैपेसिटेड मल्टीकोमोडिटी फ्लो उदाहरण पर विचार करें (क्षमता के रूप में बढ़त भार की व्याख्या) जिसमें लक्ष्य एक साथ नोड्स के प्रत्येक जोड़े के बीच प्रवाह की 1 इकाई को धक्का देना है। जाहिर है, यह एमसी प्रवाह उदाहरण इनपुट पर दिए गए रास्तों के साथ प्राकृतिक तरीके से प्रवाह को धक्का देकर संतुष्ट किया जा सकता है। जैसा कि यह पता चला है, एक साबित कर सकता है कि हमाराई ∈ ई ($H = (V, E, w')$$e \in E$ एच ($n \choose 2$$H$ जी$n \choose 2$पथ कुछ में अद्वितीय लघु पथ हैं यदि और केवल यदि यह एमसी प्रवाह उदाहरण को संतुष्ट करने का सबसे अनूठा तरीका है। हम एक LP की स्थापना करके विशिष्टता का परीक्षण कर सकते हैं, जिसकी बाधाएं MC फ्लो फिजिबिलिटी के लिए सामान्य हैं और साथ ही एक निश्चित रूप से चुने गए उद्देश्य फ़ंक्शन, और एक संतोषजनक के किनारे के भार को इस LP के दोहरे से निकाला जा सकता है।$G$$G$

स्पष्ट आवश्यक शर्त निम्नलिखित है: प्रत्येक जोड़ी के रास्तों के लिए उनका चौराहा भी एक मार्ग है। क्या यह स्थिति पर्याप्त है?

इस स्थिति को कभी-कभी "स्थिरता" कहा जाता है (पथ का एक सेट सुसंगत है यदि किसी भी दो का प्रतिच्छेदन प्रत्येक का एक उपपथ है)। यह ऊपर से इस प्रकार है कि स्थिरता पर्याप्त नहीं है। दो बंधे-छोटे सबसे छोटे जालों में से एक छह नोड्स पर चार रास्तों का निम्नलिखित रंग-कोडित सिस्टम है:

दूसरे शब्दों में, यहाँ चित्रित किए गए 8 किनारों को वेट असाइन करने का कोई तरीका नहीं है, ताकि इन चार रास्तों के साथ-साथ उनके समापन बिंदु के बीच का सबसे छोटा रास्ता भी हो। हालांकि, उनमें से कोई भी जोड़ी सिर्फ एक नोड पर अंतर करती है, इसलिए वे सुसंगत हैं (भले ही हम उन्हें सही तरीके से कुछ अतिरिक्त पथों के साथ भर दें , कुल मिलाकर )। असीम रूप से कई प्रतिरूप हैं जैसे यह एक; एक लक्षण वर्णन के लिए कागज देखें।$n \choose 2$

इस सब पर तीन अन्य त्वरित टिप्पणियां:

1. उन अनुरूप कथनों के बारे में जिनसे आप उम्मीद कर सकते हैं कि अप्रत्यक्ष रेखांकन के बजाय निर्देशित की सेटिंग में सभी ठीक हैं।
2. इस सिद्धांत की एक अच्छी सामयिक व्याख्या है जो कुछ अतिरिक्त अंतर्दृष्टि और अंतर्ज्ञान की ओर ले जाती है कि कैसे सबसे छोटे रास्ते को ठीक किया जा सकता है, और
3. कुछ तकनीकी कारणों से, सिद्धांत अप्रत्यक्ष या (चक्रीय) निर्देशित रेखांकन के बजाय डीएजी की स्थापना में आसानी से सरल हो जाता है।

Answer 2

आप समस्या को एलपी के रूप में लिख सकते हैं, क्या आप नहीं कर सकते? किसी भी दो कोने के लिए, यू, वी और यू से वी तक किसी भी पथ पर, पी का वजन यू और वी के बीच दिए गए सबसे छोटे मार्ग के वजन से अधिक या बराबर है। ये सभी रैखिक असमानताएं हैं, और भले ही वहाँ हैं। तेजी से कई, जुदाई समस्या पी में है (यह सिर्फ एक सभी जोड़े सबसे छोटी पथ समस्या है)। तो, आप इसे हल करने के लिए एलीपोसिड एल्गोरिथ्म का उपयोग कर सकते हैं।