क्या इष्टतम जोड़ श्रृंखलाओं को खोजना मुश्किल है?

Question

एक अतिरिक्त श्रृंखला सकारात्मक पूर्णांक का एक अनुक्रम है जहां और प्रत्येक सूचकांक , हमारे पास कुछ सूचकांकों के लिए । जोड़ श्रृंखला की लंबाई ; लक्ष्य अलावा श्रृंखला के है ।x 1 = 1 मैं ≥ 2 एक्स मैं = एक्स जे + एक्स कश्मीर 1 ≤ j , k < मैं एन एक्स $(x_1, x_2, \dots, x_n)$$x_1 = 1$$i\ge 2$$x_i = x_j + x_k$$1\le j,k < i$$n$$x_n$

निम्नलिखित समस्या की जटिलता के बारे में क्या जाना जाता है: पूर्णांक को देखते हुए , सबसे छोटी जोड़ श्रृंखला की लंबाई क्या है जिसका लक्ष्य ? क्या यह एनपी-कठिन है?$N$$N$

विकिपीडिया डाउनी, लियोंग और सेठी द्वारा 1981 के एक पेपर की ओर इशारा करता है जो निम्नलिखित संबंधित समस्या को साबित करता है, एनपी-हार्ड: पूर्णांक के एक सेट को देखते हुए एक अतिरिक्त श्रृंखला की न्यूनतम लंबाई क्या है जिसमें पूरा सेट शामिल है? कई लेखकों ने स्पष्ट रूप से दावा किया है कि यह पत्र एकल-लक्ष्य समस्या को साबित करता है एनपी-कठिन, लेकिन यह नहीं करता है।

Comments

दो प्रश्न: मुझे बाइनरी फॉर्म में दिया गया है जो मैं मानता हूं, और और एक समान हो सकता है (यदि ऐसा है, तो हमेशा बाइनरी विस्तार के माध्यम से लंबाई लॉग एन का एक क्रम होता है)जे $N$$j$$k$

— सुरेश वेंकट

मान लेते हैं कि $N$ को बाइनरी में दिया गया है, हालाँकि $N$ के एकतर होने पर भी मुझे पॉली-टाइम एल्गोरिथ्म का पता नहीं है। और हाँ, अपने आप को जोड़ने की अनुमति है - वास्तव में, जमीन से उतरने के लिए आवश्यक है। 128 के लिए सबसे छोटी श्रृंखला है (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128)।

— जेफ

Answer 1

2002 में एरिक लेहमैन की पीएचडी थीसिस "व्याकरण आधारित डेटा संपीड़न के लिए अनुमोदन एल्गोरिदम" में खुली होने के रूप में इस समस्या का उल्लेख किया गया है। थीसिस के p35 से:

"फिर भी, अतिरिक्त श्रृंखला समस्या का एक सटीक समाधान अजीब तरह से मायावी बना हुआ है। एम-एरी पद्धति समय पॉलीग्लॉग (एन) में चलती है और 1 + ओ (1) सन्निकटन देती है। हालांकि, अगर घातीय रूप से अधिक समय की अनुमति है, पाली। एन), कोई सटीक एल्गोरिथ्म ज्ञात नहीं है। "

Answer 2

और लेहमैन की थीसिस के मुख्य पेपर पर, संदर्भ के साथ समस्या (अनुभाग VB) का एक अच्छा अवलोकन है।

Answer 3

मैं कुछ आंशिक प्रगति का दस्तावेजीकरण करना चाहता हूं - एक बहुपक्षीय समय एल्गोरिथ्म की ओर - अभी तक आशाजनक। अद्यतन : @David (धन्यवाद!) द्वारा इंगित एक गड़बड़ के लिए कुछ विवरण जोड़ा गया।

यह दृष्टिकोण MIN-ONES EVEN-3 CSPs (MOEC) के उदाहरण को कम करने के लिए है, जो एक बहुपद समय हल करने वाली समस्या होती है। कटौती का प्रमाण थोड़ा फजी है, लेकिन मुझे उम्मीद है कि यह मौजूद है!

एमओईसी का एक उदाहरण चर के ब्रह्मांड के आकार वाले सबसेट का परिवार है , और पूर्णांक k । सवाल यह है कि क्या सबसे k पर वजन का एक संतोषजनक कार्य है , जहां एक असाइनमेंट ब्रह्मांड से { 0 , 1 } के लिए एक फ़ंक्शन है , एक असाइनमेंट का वजन चर की संख्या है जो इसे असाइन करता है, और एक असाइनमेंट है: यदि संतोषजनक, चर के हर उपसमूह के लिये { x , y , z } , असाइनमेंट (माना च ) संपत्ति है कि है:$3$$k$$k$$\{0,1\}$$\{x,y,z\}$$f$

।$f(x) + f(y) + f(z) = 0 (mod ~~2)$

आप इसे 3-SAT को संतोषजनकता की एक अलग धारणा के साथ कल्पना कर सकते हैं - कोई भी चुनें या दो चुनें। मैं एमओईसी के उदाहरण के बारे में थोड़ा ढीला रहूंगा कि मैं इसके लिए अनुमति दूंगा, इसके अलावा सामान्य सेट, निहितार्थ, लंबाई दो के विघटन और बाधा ( x = 1 ) । मेरा मानना ​​है कि ये साधारण जोड़ समस्या को बहुपद समय बनाए रखेंगे।$3$$(x = 1)$

मान लीजिए कि हम संख्या लिए जोड़ श्रृंखला समस्या को कम कर रहे हैं । इस कमी के लिए चर सेट निम्न है:$n$

हर के लिए , चर एन मैं । मैं फिर से लिखें चर जाएगा एन एन के रूप में एन । प्रत्येक जोड़ी के लिए मैं , जे ऐसी है कि 1 ≤ मैं , जे ≤ कश्मीर , परिचय चर पी मैं j और क्यू मैं जे । $1 \leq i \leq n$$N_i$$N_n$$N$$i,j$$1 \leq i,j \leq k$$P_{ij}$$Q_{ij}$

निम्नलिखित सबसेट्स का परिचय हर जैसे कि k = i + j के लिए करें :$i,j,k$$k = i+j$

$\{P_{ij}, Q_{ij}, N_k \}$

और निम्नलिखित निहितार्थ:

और P i j ⇒ N $P_{ij} \Rightarrow N_i$$P_{ij} \Rightarrow N_j$

और निम्नलिखित बाधाओं:

।$(N_1 = 1), (N = 1)$

अंत में, हमें उन बाधाओं को जोड़ने की जरूरत है जो यह सुनिश्चित करती हैं कि "संगत" एन- परिवर्तनीय (नोटेशन के दुरुपयोग को क्षमा करें) में से एक को सौंपा गया है, तो कम से कम चर को चुना जाता है। यह सभी P i j पर सामान्य या बाधा को जोड़कर किया जा सकता है जैसे कि I + j योग को N -variable में प्रश्नित करता है। हालाँकि, हमें MOEC- फ्रेमवर्क में इसे पुनः एन्कोडिंग करने का एक तरीका खोजना होगा।$P$$N$$P_{ij}$$i + j$$N$

इसलिए मुझे चर के एक सेट को देते हुए, सामान्य तरीके से रेखांकित करें:

,$(X, l_1, l_2, \ldots, l_t)$

कैसे बाधा "यदि एक असाइनमेंट संतोषजनक है और को एक पर सेट करता है , तो वास्तव में l का एक मुझे असाइनमेंट द्वारा सेट किया जाना चाहिए", MOEC सिंटैक्स के साथ एन्कोड किया जा सकता है। ध्यान दें कि यह हमारी आवश्यकताओं के लिए पर्याप्त है, हम बस बाधाओं का परिचय देते हैं:$X$$l_i$

।$(N_k, \{ P_{ij} ~|~ i + j = k \})$

एन्कोडिंग निम्नानुसार की जाती है। चलो पर निहित पूरा द्विआधारी पेड़ टी पत्ते। एक नया वेरिएबल का परिचय टी घ मैं के लिए सभी 1 ≤ घ ≤ लोग इन टी और 1 ≤ मैं ≤ एल ( घ ) , जहां एल ( घ ) के नोड्स की संख्या को दर्शाता है टी एक्स गहराई में घ ।$T_X$$t$$T_{di}$$1 \leq d \leq \log t$$1 \leq i \leq {\cal L}(d)$${\cal L}(d)$$T_X$$d$

प्रत्येक नोड , यदि p और q वृक्ष में उसके बच्चे हैं, तो EVEN-3 बाधा का परिचय दें:$T_{di}$$p$$q$

$\{T_{di},p,q\}$

इसका मतलब यह है कि यदि नोड के अनुरूप एक चर को सही पर सेट किया जाता है, तो वास्तव में उसके बच्चों में से एक को भी सही पर सेट किया जाना चाहिए। अब निहितार्थ जोड़ें:

और ( डी लॉग टी , जे ) ⇒ एल जे (स्पष्टता के लिए अल्पविराम)।$(X \Rightarrow T_{11})$$(d_{\log t,j}) \Rightarrow l_j$

ईवीएन -3 बाधाओं और निहितार्थों का यह संयोजन उस बाधा के बराबर है जिसे हम सांकेतिक शब्दों में बदलना चाहते हैं।

सहज रूप से, जो हो रहा है वह यह है कि अंतिम दो बाधाएं एक अतिरिक्त श्रृंखला बनाने के लिए आवश्यक प्रतिक्रियाओं को ट्रिगर करती हैं। विशेष रूप से, हमें देखो की है कि एक संतोषजनक काम के बाद एक आवंटित कर रहे हैं - दावा है कि वे के लिए एक अतिरिक्त श्रृंखला बनेगी एन : के बाद से काम सेट करने के लिए मजबूर किया जाता है एन एक के लिए, वहाँ कम से कम होना चाहिए एक P i j जो कि एक पर सेट किया गया था, और निहितार्थ N i और N j को बल देता है$N_i$$N$$N$$P_{ij}$$N_i$$N_j$एक सौंपा जा सकता है, और यह सभी तरह से नीचे चला जाता है (मुझे यकीन है कि इसे प्रेरण के साथ औपचारिक रूप दिया जा सकता है, हालांकि मैंने अभी तक विस्तार के उस स्तर पर काम नहीं किया है)। ध्यान दें कि एक satsifying काम सौंपा सेट नहीं करेगा लोगों की संख्या में इष्टतम है कि दो जोड़े के लिए सच ( आर , एस ) और ( आर ' , एस ' ) , कारण के लिए है कि पी -variables अतिरिक्त के साथ आते हैं निहितार्थों का सामान, और क्यू- वेरीबल्स नहीं हैं (वे ईवीएन -3 संतोषजनकता सुनिश्चित करने के लिए वहां हैं - एक खंड पर जहां एन मैं सच है और $P_{ij}$$(r,s)$$(r',s')$$P$$Q$$N_i$ सच नहीं है, हमें अभी भी उस खंड को संतुष्ट करने के लिए कुछ लेने की जरूरत है, और जिन कारणों से यह देखना आसान है, यह खंडों में एक सार्वभौमिक चर नहीं हो सकता है)।$P_{ij}$

इसलिए मेरा मानना ​​है कि एक अतिरिक्त श्रृंखला एक संतोषजनक कार्य और इसके विपरीत से मेल खाती है। मुझे इसके कुछ भाग का औपचारिक रूप से वर्णन करने दें: एक अतिरिक्त श्रृंखला को देखते हुए, हम एक असाइनमेंट निर्माण करते हैं जो संतोषजनक है। के साथ शुरू करने के लिए, च सेट सब एन मैं 'एक के लिए श्रृंखला में उस सुविधा है, और अन्य एन मैं ' शून्य करने के लिए है। इसके अलावा, यदि k इसके अतिरिक्त श्रृंखला में है, तो प्रत्येक N k के लिए , i k k , j k श्रृंखला के तत्व हैं जैसे कि i k + j k = j । फिर एफ सेट$f$$f$$N_i$$N_i$$k$$N_k$$i_k,j_k$$i_k + j_k = j$$f$ एक (और करने के लिए क्यू मैं k j कश्मीर शून्य करने के लिए), और सभी ( मैं , जे ) ऐसी है कि मैं ≠ मैं k और जे ≠ j कश्मीर और मैं + j = कश्मीर , च सेट क्यू मैं j एक करने के लिए (और पी आई जे से शून्य)। सभी के लिए कश्मीर कि इसके अलावा श्रृंखला में शामिल नहीं है, सभी के लिए मैं , जे ऐसी है कि$P_{i_k j_k}$$Q_{i_k j_k}$$(i,j)$$i \neq i_k$$j \neq j_k$$i+j = k$$f$$Q_{ij}$$P_{ij}$$k$$i,j$ , सभी Q i j और P i j को शून्य पर सेट करें (ध्यान दें कि स्थिरता इस तथ्य से है कि दो संख्याएं केवल एक ही तरीके से जुड़ती हैं)। श्रृंखला में N i कोशामिल करने वाला प्रत्येक खंडसंतुष्ट है क्योंकि या तो इसके अनुरूप एक P- चर या Q- चर एक के लिए सेट किया गया था (और ध्यान दें कि उनमें से कोई भी किसी भी जोड़ी ( i , j ) के लिए एक पर सेट है)। दूसरे खंड के लिए, सब कुछ शून्य पर सेट है। यह निहितार्थ जांचना आसान है।$i+j = k$$Q_{ij}$$P_{ij}$$N_i$$(i,j)$

$t$$t$$Q$$x$$x$वैसे भी लंबी श्रृंखला में खर्च किया जाता है, और शेष अनुकूल रूप से तुलना करता है। हालाँकि, मुझे इसे ध्यान से लिखना होगा, और मैं शायद आधी रात के बाद के सिंड्रोम को देख रहा हूँ!

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यदि यह काम करता है, तो ऐसा लगता है कि यह अभी भी घातीय समय होगा (जब एन बाइनरी में व्यक्त किया गया है) क्योंकि चर की संख्या बहुभुज (एन) के बजाय एन ^ 2 के लिए आनुपातिक है।

— डेविड एप्पस्टीन

$N$

मैं यह नहीं देखता कि आप जिस विवशता का वर्णन करते हैं, वह किसी समाधान को मान्य होने के लिए मजबूर करती है। P_ij = 0 और Q_ij = 1 को सभी i + j = n, और P_ij = Q_ij = 0 के लिए अन्य सभी i, j में सेट करने से आपको क्या रोकता है?

— डेविड एपपस्टीन

$N_i$$P_{ij}$