कितनी सूझ-बूझ है?

Question

यह देखते हुए कि , कितने -DNF के साथ वैरिएबल और क्लॉज़ हैं, टॉटोलॉजी है? (या कितने -CNFs unsatisfiable हैं?)के एन एम $m, n, k$$k$$n$$m$$k$

Comments

थोड़ी सी प्रेरणा हमें यह विश्वास दिलाने में मदद करेगी कि यह सिर्फ एक यादृच्छिक सवाल नहीं है।

— बाउर

@AndrejBauer: मैं सैट सॉल्वर और उनके प्रदर्शन के बारे में पढ़ रहा था।

— बेनामी

Answer 1

उत्तर $k$ , $m$ , और पर निर्भर करता है $n$। सटीक गिनती आम तौर पर नहीं जाना जाता है, लेकिन वहाँ एक "सीमा" घटना है कि के सबसे सेटिंग्स के लिए $k$ , $m$ , $n$ , या तो लगभग सभी $k$ -SAT उदाहरणों संतुष्टि योग्य हैं, या लगभग सभी उदाहरणों unsatisfiable हैं। उदाहरण के लिए, जब $k=3$ , यह आनुभविक रूप से देखा गया है कि जब $m < 4.27 n$ , 3-SAT उदाहरणों का सभी $o(1)$ अंश संतोषजनक है, और जब $m > 4.27n$ , all but a अंश असंतोषजनक हैं। (ज्ञात सीमा के कठोर प्रमाण भी हैं।)$o(1)$

एक शुरुआती बिंदु "के-एसएटी थ्रेशोल्ड का असममित क्रम" है ।

इन संतोषजनक थ्रेशोल्ड समस्याओं पर अमीन कोजा-ओगलन ने भी बहुत काम किया है।

Answer 2

यह रयान के जवाब को पूरक करने के लिए एक विस्तारित टिप्पणी है, जो कि थ्रेसहोल्ड से संबंधित है, जहां खंड की संख्या काफी बड़ी हो जाती है कि उदाहरण लगभग निश्चित रूप से असंतोषजनक है। एक बहुत बड़ी थ्रेसहोल्ड की भी गणना कर सकता है, जहां n की संख्या से अधिक होने पर क्लॉज की संख्या असंतोष को बल देती है ।$n$

ध्यान दें कि कुछ तकनीकी मुद्दों पर ध्यान देने की आवश्यकता है। यदि दोहराया क्लॉस को में गिना जाता है , तो m को n को बदले बिना वांछित बड़ा बनाया जा सकता है । यह m और n के बीच के अधिकांश रिश्तों को नष्ट कर देगा । तो मान लीजिए कि मी अलग-अलग खंडों की संख्या है। हमें एक और विस्तार पर फैसला करने की आवश्यकता है, क्या उदाहरणों को एन्कोड किया गया है ताकि एक खंड के भीतर शाब्दिक का क्रम या एक उदाहरण के मामले में खंड का आदेश। मान लीजिए कि यह महत्वपूर्ण नहीं है, इसलिए दो उदाहरणों को समान माना जाता है यदि वे एक ही खंड होते हैं, और दो खंड समान होते हैं यदि वे एक ही शाब्दिक होते हैं। इन मान्यताओं के साथ अब हम उन विभिन्न क्लॉस की संख्या को बाध्य कर सकते हैं जिन्हें व्यक्त किया जा सकता है$m$$m$$n$$m$$n$$m$ चर। प्रत्येक खंड प्रत्येक चर सकारात्मक या नकारात्मक होने वाली है, या बिल्कुल भी नहीं हो सकता है, और फिर मीटर ≤ 3 एन ।$n$$m\le 3^n$

पहले पर प्रतिबंध के बिना सैट पर विचार करें । सबसे बड़ा मीटर कौन सा है जो उदाहरण संतोषजनक है? व्यापकता के नुकसान के बिना हम यह मान सकते हैं कि ऑल-जीरो असाइनमेंट एक समाधान है। फिर इस समाधान के अनुरूप 3 एन - 2 एन अलग-अलग खंड हैं, जिनमें से प्रत्येक में कम से कम एक नकारात्मक शाब्दिक है। इसलिए हूँ ≤ 3 n - 2 n किसी भी संतुष्टि योग्य उदाहरण के लिए। सभी खंडों के उदाहरण जिसमें प्रत्येक में कम से कम एक नकारात्मक शाब्दिक होता है, इसमें कई खंड होते हैं, और सभी-शून्य असाइनमेंट से संतुष्ट होते हैं। इसके अलावा, कबूतर के सिद्धांत द्वारा कम से कम 3 एन के साथ किसी भी उदाहरण$k$$m$$3^n-2^n$$m\le 3^n-2^n$ खंड असंतोषजनक है।$3^n-2^n+1$

इस तरह के खंडों के अलग-अलग सबसेट मिलते हैं, प्रत्येक एक अलग उदाहरण का प्रतिनिधित्व करता है जो कुछ असाइनमेंट से संतुष्ट होता है। इसकी तुलना में, विभिन्न उदाहरणों की कुल संख्या 2 3 n है ।$2^{3^n-2^n}$$2^{3^n}$

अब उदाहरणों के लिए उपरोक्त को संशोधित करना जिसमें प्रत्येक खंड में अधिकांश शाब्दिक हैं, ∑ k i = 0 ($k$अलग तरह के खंड, औरΣ k मैं = 0 ($\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}2^i$ खंड जिसमें, कोई नकारात्मक शाब्दिक देखते हैं तोमीटर≤Σ कश्मीर मैं = 0 ($\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}$संतोषजनक उदाहरणों के लिए, और कोई भी बड़ाmअसंतोषजनक है। वहाँ तो कर रहे हैं2Σ कश्मीर मैं = 0 ($m\le \sum_{i=0}^k \binom{n}{i}(2^i - 1)$$m$उदाहरणों किसी विशेष काम से संतुष्ट, के कुल में से2Σ कश्मीर मैं = 0 ($2^{\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}(2^i - 1)}$k-SAT इंस्टेंस।$2^{\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}2^i}$ $k$

Comments

मैंने भी 2008 ish में उसी परिणाम का उत्पादन किया था। शाब्दिक और चर के लिए मानार्थ कार्य भी हैं जैसे कि यदि आप शाब्दिक, चर या खंडों की पुनरावृत्ति नहीं मानते हैं तो यदि x या y से अधिक कई शाब्दिक या चर क्रमशः होते हैं तो दिए गए उदाहरण संतोषजनक नहीं हैं। मुझे उन दो कार्यों को खोजने के लिए खुदाई करनी होगी। +1

— तैफून पे