सुलझाने है समीकरणों के सिस्टम सापेक्ष

मैं रैखिक समीकरणों modulo k को हल करने की जटिलता में दिलचस्पी रखता हूं , मनमाने ढंग से k के लिए (और प्रमुख शक्तियों में विशेष रुचि के साथ):

मुसीबत। अज्ञात मोडुलो में रैखिक समीकरणों की दी गई प्रणाली के लिए , क्या कोई समाधान मौजूद है? $m$ $n$ $k$

उनके कागज के सार में संरचना और logspace-एमओडी वर्गों के महत्व को कक्षाओं पर मॉड _{कश्मीर} एल , Buntrock, डैम, Hertrampf, और Meinel का दावा है कि वे " उनके महत्व का प्रमाण देकर दर्शाते हैं कि परिमित के छल्ले से अधिक रेखीय बीजगणित के सभी मानक समस्याओं इन वर्गों के लिए पूर्ण है $\mathbb Z/k\mathbb Z$ ”। करीब से निरीक्षण पर, कहानी अधिक जटिल है। उदाहरण के लिए, बंटॉक एट अल। शो ( पहले और स्वतंत्र रूप से सुलभ केव, धन्यवाद द्वारा पाया ड्राफ्ट में एक प्रूफ-स्केच के द्वारा) रैखिक समीकरणों के सिस्टम को हल करने के बजाय पूरक वर्ग coMod _kL , k के लिए है।प्रधान। इस वर्ग को k मिश्रित के लिए mod _kL के बराबर नहीं जाना जाता है , लेकिन इस बात पर कभी ध्यान न दें कि - मुझे इस बात की चिंता है कि वे इस बारे में कोई टिप्पणी नहीं करते हैं कि क्या रैखिक समीकरण mod k का सिस्टम हल करना सम्‍मिलित है in kMod _kL के लिए k समग्र!

प्रश्न: क्या सभी पॉजिटिव k के लिए coMod _k L में लीनियर समीकरण modulo k की सॉल्यूशन सिस्टम सम्‍मिलित है ?

यदि आप समीकरणों के सिस्टम को एक प्राइम पी की उच्च शक्ति क्ष को माप सकते हैं, तो आप उन्हें मोडुलो पी भी हल कर सकते हैं ; तो समीकरण modulo q के सिस्टम को हल करना coMod _p L -hard है । यदि आप दिखा सकते हैं कि यह समस्या Mod _q L में है , तो आप सभी k के लिए mod _k L = coMod _k L दिखाते हैं । यह साबित करने के लिए मुश्किल होने की संभावना है। लेकिन यह coMod _k L में है ?

— निएल डे ब्यूड्रैप
स्रोत

पेपर के मसौदे के लिए साइटेसिक्‍स लिंक । ps: से निपटने का एक अधिक मजबूत तरीका

का उपयोग कर रहा है, जहां

स्वीकृत अनुस्मारक

का सेट है । प्रूफ जटिलता में एक संबंधित प्रश्न भी है, सीएफ। " रेखीय बीजगणित का प्रमाण जटिलता " Soltys और कुक, Apal 2004 द्वारा

\mod_{k}

$\mod_k$

\mod_{k}^{A}

$\mod_k^A$

A \subseteq [k - 1]

$A \subseteq [k-1]$

\mod k

$\mod k$

— कावेह

क्या सिर्फ k = 4 और समानता-एल के बारे में?

— डोमटॉर्प

मैं कहना है मुझे लगता है कि हम सकारात्मक इस सवाल का जवाब कर सकते हैं खुश हूँ: जो है, निर्णय लेने से एक रेखीय अनुरूपता संभव सापेक्ष है कि क्या कश्मीर है coMod _{कश्मीर} एल -Complete।

हम वास्तव में प्रधान शक्तियों के विशेष मामले में इस समस्या को कम कर सकते हैं। एक दिखा सकता है कि:

सामान्य रूप। वर्ग coMod _{कश्मीर} एल भाषाओं के होते हैं एल फार्म के एल = एल _{पी ₁} ∩ एल _{पी ₂} ∩ ... ∩ एल _{पी _आर} , जहां एल _{पी _जे} ∈ coMod _{पी _जे} एल और जहां पी _जे के प्रधानमंत्री कारकों से अधिक पर्वतमाला कश्मीर ।

रेमिनेडर प्रमेय द्वारा, समीकरणों की प्रणाली का कोई भी समाधान प्रत्येक प्रमुख शक्तियों विभाजित करके k को समान सिस्टम, mod k के समाधान के लिए जन्म देता है । इसलिए यदि पर रेखीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करना coMod _p_{_j} L में सम्‍मिलित है , तो यह इस प्रकार है कि समीकरण mod k के हल करने वाली प्रणालियां coMod _kL में सम्‍मिलित हैं । $p_{\!j}^{e_j}$ $p_{\!j}^{t_j}$

वहाँ एक मानक एल्गोरिथ्म, द्वारा वर्णित है मैकेंजी और कुक को कम करने के लिए रेखीय congruences एक फैले सेट के लिए (अपने nullspace के लिए निर्माण अर्थात्, के लिए एक प्रमुख शक्ति सापेक्ष एक एक्स = y एक दिया रिंग पर, की [nullspace के लिए एक आधार का निर्माण एक | y ] और देखें कि क्या कोई समाधान )1 के अंतिम गुणांक के साथ मौजूद है); और इसके बाद nullspaces modulo prime power के निर्माण के लिए nullspaces modulo primes, और मैट्रिक्स गुणा modulo Prime पॉवर्स का निर्माण कम करने के लिए। बाद के दोनों कार्य ऐसी समस्याएं हैं जो coMod _k L के लिए संभव हैं , बशर्ते कि आप इसमें शामिल मैट्रिस का निर्माण कर सकते हैं।

यह पता चला है कि मैकेंजी और कुक की कमी में शामिल मेट्रिक्स को स्वयं मैट्रिक्स गुणन द्वारा गणना की जा सकती है, और (महत्वपूर्ण रूप से) एक स्थिर कारक द्वारा। सौभाग्य से, प्रमुख शक्तियों के लिए, शामिल किए गए मेट्रिसेस के गुणांकों को coMod _p L -machines के लिए एक ओरेकल का उपयोग करके कार्य-टेप पर गणना की जा सकती है ; और एक स्थिर द्वारा विभाजन NC ¹ में किया जा सकता है , जो फिर से coMod _p L में संभव है । तो यह पता चला है कि पूरी समस्या अंत में coMod _k L में संभव है ।

पूर्ण विवरण के लिए, देखें [ arxiv: 1202.3949 ]।

— निएल डे ब्यूड्रैप
स्रोत

मैं जानना चाहूंगा, यह है अपने प्रश्न / उत्तर में लगातार? मुझे उस मामले में दिलचस्पी है जहां का आकार अनबाउंड नहीं है।

k

$k$

k

$k$

— जुआन बरमेजो वेगा

@ जुआन: हाँ, एक स्थिर है, यद्यपि कोई भी स्थिर है।

k

$k$

— निएल डी ब्यूड्राप