मोनोटोन अंकगणित सर्किट

Question

सामान्य अंकगणित सर्किट के बारे में हमारे ज्ञान की स्थिति बूलियन सर्किट के बारे में हमारे ज्ञान की स्थिति के समान प्रतीत होती है, अर्थात हमारे पास कम निचले सीमा नहीं हैं। दूसरी ओर हमारे पास मोनोटोन बूलियन सर्किट के लिए घातीय आकार के निचले हिस्से हैं ।

हम मोनोटोन अंकगणितीय सर्किट के बारे में क्या जानते हैं ? क्या हमारे पास उनके लिए समान अच्छी सीमाएं हैं? यदि नहीं, तो वह कौन सा आवश्यक अंतर है जो हमें मोनोटोन अंकगणितीय सर्किट के समान समान सीमा प्राप्त करने की अनुमति नहीं देता है?

प्रश्न पर टिप्पणी से प्रेरित है इस सवाल का ।

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मैं अंकगणित सर्किट और बूलियन सर्किट के बीच अंतर की बेहतर समझ प्राप्त करने की कोशिश कर रहा था और आपके उत्तरों को पढ़ने से मुझे एक बेहतर समझ प्राप्त करने में मदद मिली। दिलचस्प जवाब (और सवाल) के लिए बहुत बहुत धन्यवाद।

— केवह

Answer 1

मोनोटोन अंकगणित सर्किट के लिए निचले सीमाएं आसान आती हैं क्योंकि वे रद्द कर देते हैं। दूसरी ओर, हम सर्किट कंप्यूटिंग बूलियन कार्यों के लिए घातीय कम सीमा साबित कर सकते हैं, भले ही कोई भी मोनोटोन वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन $g:R\times R\to R$ गेट्स के रूप में अनुमति दी जाती है ( पुस्तक में उदाहरण। संप्रदाय। 9.6 देखें )।

$a\land a=a$$a\lor (a\land b)=a$$(+,\min)$$(+,\max)$। गेट्स तब एल्गोरिथ्म द्वारा उपयोग किए जाने वाले सबप्रोब्लाम्स के अनुरूप होता है। जेरुम और स्निर (वी विनय द्वारा कागज में) वास्तव में साबित होता है कि मिन वेट परफेक्ट मैचिंग (साथ ही टीएसपी समस्या के लिए) के लिए कोई भी डीपी एल्गोरिथ्म घातीय कई उपप्रकार का उत्पादन करना चाहिए। लेकिन परफेक्ट मैथिंग समस्या "डीपी फ्लॉस्टर" की नहीं है (यह बेलमैन के सिद्धांत को ऑप्टिमिलिटी से संतुष्ट नहीं करता है )। रैखिक प्रोग्रामिंग (डीपी नहीं) इस समस्या के लिए अधिक अनुकूल है।

तो क्या अनुकूलन समस्याओं के बारे में जो कि छोटे डीपी एल्गोरिदम द्वारा हल किए जा सकते हैं - क्या हम उनके लिए कम सीमा साबित कर सकते हैं? इस संबंध में बहुत दिलचस्प Kerr का पुराना परिणाम है (उनके Phd में 6.1 प्रमेय )। तात्पर्य यह है कि ऑल-पाइर्स शॉर्टेस्ट पाथ्स समस्या (APSP) के लिए शास्त्रीय फ्लोयड-वारशेल डीपी एल्गोरिथ्म इष्टतम है : उपप्रक्रम आवश्यक हैं। और भी दिलचस्प है कि केर के तर्क बहुत ही सरल (Jerrum और Snir इस्तेमाल किया है कि तुलना में बहुत सरल) है: यह सिर्फ distributivity स्वयंसिद्ध का उपयोग करता है , और इसकी दलीलों को सेट करके "गेट" को "मारने" की संभावना है । इस तरह से वह साबित करता है:$\Omega(n^3)$$a+\min(b,c)=\min(a,b)+\min(a,c)$$0$$n^3$प्लस-गेट्स सेमिनारिंग पर दो मेट्रिसेस को गुणा करने के लिए आवश्यक हैं । संप्रदाय में। अहो, हॉपक्रॉफ्ट और उल्मैन की पुस्तक का 5.9 यह दिखाया गया है कि यह समस्या APSP समस्या के बराबर है।$n\times n$$(+,\min)$

एक अगला प्रश्न यह हो सकता है: सिंगल-सोर्स शॉर्टेस्ट पाथ्स (SSSP) समस्या के बारे में क्या? इसके लिए बेलमैन-फोर्ड डीपी एल्गोरिथ्म (प्रतीत होता है "सरल") समस्या भी गेट्स का उपयोग करती है। क्या यह इष्टतम है? अब तक, सबसे छोटी पथ समस्या के इन दो संस्करणों के बीच कोई अलगाव नहीं है; इन पंक्तियों के साथ वर्जीनिया और रयान विलियम्स का एक दिलचस्प पेपर देखें । इसलिए, SSSP के लिए a लोअर बाउंड -circuits एक शानदार परिणाम होगा। अगला सवाल यह हो सकता है: नैकपैक के लिए कम सीमा के बारे में क्या? इस मसौदे में नैकपैक के लिए निचली सीमा को सर्किट के कमजोर मॉडल में साबित किया जाता है जहां का उपयोग होता हैΩ ( n 3 ) ( + , min ) ( + , मैक्स ) $O(n^3)$$\Omega(n^3)$$(+,\min)$$(+,\max)$$+$-गेट प्रतिबंधित है; परिशिष्ट केर प्रमाण में पुन: प्रस्तुत किया गया है।

Answer 2

हाँ। हम अच्छे निचले सीमा को जानते हैं और हम उन्हें पिछले कुछ समय से जानते हैं।

जेरुम और स्निर ने 1980 तक स्थायी के लिए मोनोटोन अंकगणितीय सर्किटों पर एक घातीय निचली सीमा को साबित कर दिया। वैलेंट ने दिखाया कि एक भी माइनस गेट घातीय रूप से अधिक शक्तिशाली है ।

अधिक (मोनोटोन) अंकगणित सर्किट पर, अंकगणित सर्किट पर Shpilka के सर्वेक्षण की जाँच करें ।

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इसके अलावा इस पृष्ठ पर Shpilka की स्लाइड और वीडियो भी उल्लेखनीय हैं ।

— हारून स्टर्लिंग

Answer 3

अरविंद, जोगलेकर और श्रीनिवासन द्वारा मुझे बताया गया है कि एक और परिणाम - वे रेखीय आकार की चौड़ाई-2 मोनोटोन अंकगणितीय सर्किट द्वारा सुस्पष्ट बहुपद प्रस्तुत करते हैं, लेकिन कोई भी चौड़ाई- मोनोटोन अंकगणितीय सर्किट घातीय आकार लेगा।$2k$$k$

Answer 4

क्या यह गणना करता है: मूलभूत रेंज-सर्चिंग समस्याओं (ऑफ़लाइन सेटिंग में) के लिए चेज़ेल का अर्ध-समूह निचला सीमा । सभी निचली सीमाएँ लगभग इष्टतम हैं (लॉग शब्द तक जब निचली सीमा बहुपद होती है और लॉग लॉग शब्द तब होता है जब निचली सीमा बहुवचन होती है)।

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जो मुझे यह पूछने के लिए प्रेरित करता है कि क्या इन सीमाओं में सुधार किया गया है / तंग किया गया है?

— साशो निकोलेव