लिए बाधाओं के लिए खिलौना उदाहरण

Question

क्या कोई खिलौना उदाहरण हैं जो $P = NP$ समस्या के तीन ज्ञात अवरोधों को समझने में 'आवश्यक' अंतर्दृष्टि प्रदान करते हैं - सापेक्षता, प्राकृतिक प्रमाण और बीजगणित?

Answer 1

मुझे एक खिलौना उदाहरण दे दो संबंध विघटन बाधा का। विहित उदाहरण समय पदानुक्रम प्रमेय है कि ${\bf TIME}[t(n)] \subsetneq {\bf TIME}[t(n)^2]$ । प्रमाण (विकर्ण द्वारा) केवल इस प्रमाण की तुलना में थोड़ा अधिक शामिल है कि रुकने की समस्या अनिर्णायक है: हम एक एल्गोरिथ्म A (x) को परिभाषित करते हैं $A(x)$जो इनपुट x पर $x$ th एल्गोरिथ्म $A_x$ को सीधे चरण-दर-चरण t ( ) के लिए परिभाषित करता है । x |) चरण, फिर विपरीत मान को आउटपुट करता है। फिर हम तर्क देते हैं कि A को t (| x |) में चलाने के लिए लागू किया जा सकता है ^ 2 बार।$x$$t(|x|)$$A$$t(|x|)^2$

तर्क समान रूप से अच्छी तरह से काम करता है यदि हम सभी एल्गोरिदम को एक मनमाना ओरेकल सेट ओ तक पहुंच से लैस $O$करते हैं, जो हम मानते हैं कि हम गणना के एक चरण में सदस्यता प्रश्न पूछ सकते हैं। एक कदम के लिए कदम के अनुकरण $A_x^O$ भी द्वारा किया जा सकता है $A$ लंबे समय के रूप के रूप में, $A$ देववाणी की पहुंच है $O$ भी। अंकन में, हमारे पास ${\bf TIME}^O[t(n)] \subsetneq {\bf TIME}^O[t(n)^2]$ सभी दैवज्ञ के लिए $O$ । दूसरे शब्दों में, समय पदानुक्रम से संबंधित है ।

हम प्राकृतिक तरीके से nondeterministic मशीनों के लिए oracles को परिभाषित कर सकते हैं, इसलिए यह oracles के संबंध में वर्गों $P^O$ और NP ^ O को परिभाषित करने के लिए समझ में आता है $NP^O$। लेकिन oracles $O$ और $O'$ सापेक्ष हैं, जिनमें $P^O = NP^O$ और $P^{O'} \neq NP^{O'}$ , इसलिए इस प्रकार के प्रत्यक्ष अनुकार तर्क समय में पदानुक्रम प्रमेय काम नहीं करेंगे $P$ बनाम एनपी को हल करने के लिए $NP$। सापेक्षिक तर्क इस बात से शक्तिशाली हैं कि वे व्यापक रूप से लागू हैं और कई महान अंतर्दृष्टि के लिए नेतृत्व किया है; लेकिन यह वही शक्ति उन्हें $P$ बनाम एनपी जैसे सवालों के संबंध में "कमजोर" बनाती है $NP$।

उपरोक्त, निश्चित रूप से, एक खिलौना उदाहरण है - जटिलता में तर्कों के कई और अधिक जटिल उदाहरण हैं जो अभी भी relativize (यानी, जब मनमाना oracles पेश किए जाते हैं तो पकड़ते हैं)।