सेट कवर की अनुचितता: क्या मैं एम = पाली (एन) मान सकता हूं?

Question

मैं यह दिखाने की कोशिश कर रहा हूं कि सेट कवर से कमी से एक निश्चित समस्या अनुचित है। मेरी कमी एक उदाहरण को आकार के ग्राउंड सेट के साथ बदल देती है$n$और मेरी समस्या के एक उदाहरण में सेट होता है जहाँ एक निश्चित पैरामीटर आकार । मैं फिर दिखा सकता हूं कि सेट कवर का एक उदाहरण जहां कवर का आकार मेरी समस्या के उदाहरण से मेल खाता है, जहां इष्टतम समाधान का आकार (या ऐसा कुछ) है, और इसके विपरीत। मैं यह निष्कर्ष निकालने के लिए रज़-सफ़्रा को आमंत्रित करना चाहूंगा कि मेरी समस्या कुछ स्थिर लिए एक कारक तक अनुचित है । यह ठीक काम करेगा अगर मैं यह मान सकता हूं कि एक निश्चित बहुपद से घिरा है$m$$r$$O(n+m)$$2s$$c \log{r}$$c$$m$$n$। किसी को पता है कि क्या यह यह मानने के लिए कोषेर है? यह निश्चित रूप से सेट कवर के लिए मानक एनपी-कठोरता प्रमाण में उपयोग किए गए उदाहरणों के परिवार के लिए सच है, लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि अगर यह आरजे और सफरा द्वारा नियोजित पीसीपी कटौती के मामले में रहता है।

Answer 1

हां, सेट-कवर इंस्टेंस में मी की संख्या तत्वों की संख्या में बहुपद है।

वैसे - सेट-कवर के लिए कला की कठोरता के परिणाम निम्न हैं:

• नोगा अलोन और मूली सफ़रा के साथ, हमने दिखाया कि कैसे रज़-सफ़रा / अरोरा-सूडान पीसीपी का उपयोग करें ताकि एक बेहतर स्थान प्राप्त कर सकें $c$ कठोरता कारक में $c\log n$।

  http://people.csail.mit.edu/dmoshkov/papers/k-restrictions/k-rest-full.ps

• फीगे ने दिखाया कि इष्टतम कठोरता कारक कैसे प्राप्त करें $(1-\epsilon)\ln n$ग्रहण करना $NP\not\subseteq DTIME(n^{\log\log n})$।

  http://www.cs.duke.edu/courses/spring07/cps296.2/papers/p634-feige.pdf

• मैंने हाल ही में फी की कमी को एनपी-कठोरता परिणाम (यानी, एक परिणाम के आधार पर) को अनुकूलित करने के तरीके पर एक नोट प्रकाशित किया $P\neq NP$), PCPs के बारे में एक प्रशंसनीय अनुमान (एक अनुमान है कि मैं "प्रोजेक्शन गेम्स अनुमान" कहता हूं - 1993 के "स्लाइडिंग स्केल अनुमान" का एक विशेषकरण प्रक्षेपण खेलों के लिए)।

  http://eccc.hpi-web.de/report/2011/112/ (मुझे बाद में पता चला कि कमी दोनों के बीच एक इष्टतम व्यापार समझौता देता है$\epsilon$ और कमी झटका)।

Comments

सबसे कमजोर अलगाव धारणा क्या है जो अभी भी एक उपज देगी $(1-\epsilon)\log n$कठोरता?

— सुरेश वेंकट

दाना, आपके उत्तर के लिए धन्यवाद! एक अनुवर्ती प्रश्न, अगर आपको कोई आपत्ति नहीं है: तो यह एक "बेवकूफ़" प्रश्न है, अर्थात, क्या कोई उच्च-स्तरीय विचार हैं जो कि m = पाली (n) है, या क्या यह ऐसा मामला है जिसे वास्तव में जानना है मेरे सवाल का जवाब देने के लिए रज़-सफ़रा कठोरता प्रमाण?

— एडिथ एल्काइंड

@ सुरेश: मेरा मतलब है कि आप $(1-\epsilon)\ln n$। Feige की धारणा ($NP\not\subseteq DTIME(n^{\log\log n})$) और मेरी धारणा ("प्रोजेक्शन गेम्स अनुमान") अतुलनीय हैं। मुझे विश्वास है कि मेरी धारणा भविष्य के भविष्य में सिद्ध होगी।

— दाना मोशकोविट्ज़

@lostinjungle: यदि n में बहुपद नहीं होता, तो आप कमी को "पॉली-टाइम कमी" नहीं मान सकते। एक विशेष कारण यह है कि एक रज़-सफ़रा / अरोरा-सूडान पीसीपी पैदावार m = पाली (n) यह है कि एक पीसीपी चर / बाधा + और उन्हें असाइन करने के लिए एक सेट है, और चर और बाधाओं की संख्या, साथ ही साथ वर्णमाला का आकार बहुपद हैं, और प्रश्नों की संख्या स्थिर है।

— दाना मोशकोविट्ज़ ऑक्ट

@DanaMoshkovitz: धन्यवाद! मुझे यकीन नहीं है कि मैं आपके पहले दावे को समझता हूं, हालांकि। निम्नलिखित (काल्पनिक) कमी के साथ क्या गलत है: मैं इसके उदाहरण के साथ शुरू करता हूं (कहना) वर्टेक्स कवर$k$ वर्टिकल और सेट कवर का एक उदाहरण बनाएं $m = k^3$ सेट और जमीन के आकार का सेट $n$, कहाँ पे $n$ का समाधान है $n^{\log n} = m$? यह निश्चित रूप से पॉली-टाइम में काम करता है। बेशक, मैंने कभी इस तरह की कमी नहीं देखी है, लेकिन यह तार्किक रूप से असंभव नहीं लगता है। या मैं गलत हूँ? बेशक, मेरे मूल प्रश्न का उत्तर पहले ही दिया जा चुका है, इसलिए इस एक को अनदेखा करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें। मैं बस उत्सुक हूँ ...

— एडिथ एल्काइंड