जब एक एफओ संपत्ति एनएल-कठोरता को मार देती है?

संदर्भ: हम केवल डिग्राफ मानते हैं। आज्ञा देना चक्र के साथ रेखांकन की भाषा हो; यह एनएल-पूर्ण समस्या है। आज्ञा देना कम से कम एक किनारे के साथ रेखांकन की भाषा हो। तब तुच्छता, $\text{CYCLE} \cup \text{HASEDGE}$ नहीं रह NL-कठिन है, जबकि $\text{CYCLE} \cup \overline{\text{HASEDGE}}$ रहता है तो।

वास्तविक समस्या: मैं सोच रहा हूँ अगर भाषा

CYCLE \cup {(V, E) : (\exists u, v, x, y) [E (u, v) \land E (x, y) \land \neg E (u, y) \land \neg E (x, v)]}

$\text{CYCLE} \cup \{(V, E):(\exists u,v,x,y)[E(u, v) \land E(x, y) \land \neg E(u, y) \land \neg E(x, v)]\}$ अभी भी NL-कठिन है।

प्रश्न: जो एफओ सूत्र के लिए $\phi$ रेखांकन की शब्दावली पर है

CYCLE \cup {(V, E) : (V, E) ⊨ ϕ}

$\text{CYCLE} \cup \{(V, E) : (V, E) \models \phi\}$ NL मुश्किल? क्या यह संपत्ति निर्णायक है?

आपके सहयोग के लिए धन्यवाद!

cc.complexity-theory graph-theory descriptive-complexity

— माइकेल कैडिलैक
स्रोत

जवाबों:

मुझे अपनी "वास्तविक समस्या" में संपत्ति को कॉल करने । निम्नलिखित मानचित्रण से को कम करता है : $\text{NODIAG}$ $\text{CYCLE}$ $\text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$

किसी दिए गए के लिए , हर शिखर की जगह में द्वारा दो प्रतियां और , और अगर वहाँ एक बढ़त है में , चलो किनारों है और $G=(V,E)$ $v$ $G$ $v$ $v'$ $(u,v)$ $E$ $G'$ $(u,v), (u,v'), (u',v)$ । इस प्रकार हर के लिए ग्राफ को संतुष्ट करता है । $(u',v')$ $G$ $G'$ $\neg \text{NODIAG}$

इसके अलावा, iff एक चक्र है एक चक्र है, इसलिए को संतुष्ट करता है iff satifies । इसलिए NL-कठिन है। $G'$ $G$ $G'$ $\text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$ $G$ $\text{CYCLE}$ $\text{CYCLE}\cup \text{NODIAG}$

मुझे लगता है कि एक समान निर्माण प्रत्येक विशुद्ध रूप से सार्वभौमिक संपत्ति के लिए काम करेगा।

— जान जोहानसन
स्रोत

आपके काम के लिए धन्यवाद Jan! लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि आपने समस्या को पूरी तरह से संबोधित किया है, अगर कोई NODIAG संरचना G में दिखाई देती है, तो यह अभी भी आपके निर्माण, AFAIU के अंत में दिखाई देती है।

— माइकल कैडिलैक

G^{'} ⊨ \neg NODIAG

$G'\models \neg \text{NODIAG}$

G ⊨ CYCLE

$G\models \text{CYCLE}$

G^{'} ⊨ CYCLE

$G'\models \text{CYCLE}$

G^{'} ⊨ CYCLE \cup NODIAG

$G'\models \text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$

G ⊭ CYCLE

$G\not\models \text{CYCLE}$

G^{'} ⊭ CYCLE

$G'\not\models \text{CYCLE}$

G^{'} ⊭ CYCLE \cup NODIAG

$G'\not\models \text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$

CYCLE

$\text{CYCLE}$

CYCLE \cup NODIAG

$\text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$

जनवरी, मुझे गहरा खेद है, मैंने अपने प्रश्न के शब्दों के साथ खिलवाड़ किया; वर्णित सबग्राफ को एक EXCLUDED ग्राफ के रूप में सोचा जाना था। ध्यान दें कि पिछले शब्दांकन के साथ, आपको NODIAG से बाहर होने के लिए ग्राफ़ के लिए चार नए नोड्स और किनारों को , , और में जोड़ना होगा। फिर से, मुझे टाइपोस के लिए बहुत खेद है।

u, v, x, y

$u,v,x,y$

u \to v

$u \to v$

x \to y

$x \to y$

u \to y

$u \to y$

— माइकल कैडिलैक

(पुनश्च: जैसा कि मैंने आपको एक गलत प्रश्न पर काम करने के लिए दिया है, यहाँ एक अच्छा शीर्षक के साथ एक टीसीएस पेपर है जो आपकी सूची में नहीं आता है: डायमंड्स फॉरएवर (द वेराइटी डीए) टेसन और थेरियन द्वारा।)

— माइकेल कैडिलैक

उस स्थिति में, कैसे हर किनारे में एक नया शीर्ष जोड़ने के बारे में: हर द्वारा और । परिणामस्वरूप ग्राफ चक्रीय iff है, और इसमें अपवर्जित संरचना नहीं है। BTW मैं उस सूची को अब बनाए नहीं रख रहा हूँ।

G

$G$

e = (u, v)

$e = (u,v)$

(u, v_{e})

$(u,v_e)$

(v_{e}, v)

$(v_e,v)$

G^{'}

$G'$

G

$G$

— जान जोहानसेन

वास्तविक समस्या एफओ में है। परीक्षण अगर वहाँ मौजूद जैसे और एफओ में स्पष्ट रूप से है। $a,b,c,d \in V(G)$ $(a,c),(b,d) \in E(G)$ $(a,d),(b,c) \notin E(G)$

मान लें कि ऐसा कोई नहीं , तो एक निर्देशित चक्र को स्वीकार करता है अगर और केवल अगर लंबाई के दो के एक निर्देशित चक्र को स्वीकार करता है। यह इस तथ्य से लगाया जा सकता है किसी भी दो कोने के लिए है कि और के , उनके बाहर पड़ोस और कर रहे हैं ऐसी है कि या । $a,b,c,d$ $G$ $G$ $a$ $b$ $G$ $N^-(a)$ $N^-(b)$ $N^-(a) \subseteq N^-(b)$ $N^-(b) \subseteq N^-(a)$

इस प्रकार, यह जाँचने के लिए पर्याप्त है कि क्या कोई मौजूद मौजूद जैसे कि , जो कि FO में है। $a,b \in V(G)$ $(a,b),(b,a) \in E(G)$

तो, में है यदि और केवल यदि $G$ $CYCLE \cup NODIAG$ $(\exists a,b,c,d)[(E(a,b) \wedge E(c,d) \wedge \neg E(a,d) \wedge \neg E(b,c)) \vee (E(a,b) \wedge E(b,a))]$

— एड्रियन
स्रोत

धन्यवाद एड्रियन। क्या आप इस तर्क पर ध्यान देना चाहेंगे कि किसी भी दो नोड्स के आउट-पड़ोस तुलनात्मक क्यों हैं? मैं यह देखने के लिए थोड़ा इंतजार करूंगा कि क्या कोई पूरी समस्या को संबोधित करता है, और यदि कोई नहीं दिखाता है, तो मैं आपके उत्तर के लिए जाऊंगा।

— माइकेल कैडिलैक

मुझे नहीं लगता कि आउट-पड़ोस की तुलना वास्तव में होती है। उदाहरण के लिए किनारों के साथ और चार उदाहरणों का ग्राफ लें । यह ग्राफ माइकल के सूत्र को संतुष्ट करता है, लेकिन साथ अतुलनीय है ।

a, b, c, d

$a,b,c,d$

(a, c)

$(a,c)$

(b, d)

$(b,d)$

N^{-} (a) = {c}

$N^-(a) = \{ c\}$

N^{-} (b) = {d}

$N^-(b) = \{ d\}$

— जन जोहान्सन

@ जान: अगर मैं गलत नहीं हूँ, एड्रिन की बात यह है कि अगर एक ग्राफ <i> नहीं </ i> दूसरे भाग को संतुष्ट करता है, तो अगर उसका एक चक्र है, तो उसका लंबाई का एक चक्र है। २. इसलिए उसका कहना है कि कि अगर ग्राफ <i> नहीं है </ i> दूसरे भाग को संतुष्ट करता है, तो तुलनीयता है।

— माइकल कैडिलैक