एक ग्राफ में क्लोन की संख्या: चंद्रमा और मोजर 1965 परिणाम

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मैं चंद्रमा और मोजर के पूर्ण पाठ की तलाश कर रहा हूं 1965 के क्लीक रिजल्ट ऑन ग्राफ़्स इन ग्राफ्स (इसमें मौजूद कई ग्राफ के साथ अधिकतम एनक्लोजर में घातीय हैं )। मेरे विश्वविद्यालय के पेवेल में विशेष पत्रिका तक पहुंच नहीं है। (वास्तव में, पूर्वावलोकन सबूत के पहले कुछ वाक्य प्रदान करता है, लेकिन फिर मुझे बाकी के बिना छोड़ देता है!) $n$

मैं इस परिणाम में रुचि रखता था जो एक शोध दिशा से संबंधित था जिसका मैं पीछा कर रहा था, लेकिन दिशा थोड़ी बदल गई है, इसलिए माना जाता है कि मेरी रुचि अब पूरी तरह से शैक्षणिक जिज्ञासा है।

मेरा सवाल यह है कि:

क्या कागज के पूरे पाठ का लिंक कहीं है या कोई अन्य कागज जो प्रमाण को स्केच करता है या यदि एक प्रूफ स्केच यहाँ पुन: पेश करने के लिए पर्याप्त है, तो क्या कोई इसे जानता है? इसके अलावा, मैं ग्राफ़ की श्रेणी में एक विस्तृत संख्या वाले क्लोन के साथ दिलचस्पी रखता हूं।

मैंने संदर्भ के लिए BibTeX जोड़ा:

@article {springerlink:10.1007/BF02760024,
   author = {Moon, J. and Moser, L.},
   affiliation = {University of Alberta Edmonton Canada},
   title = {On cliques in graphs},
   journal = {Israel Journal of Mathematics},
   publisher = {Hebrew University Magnes Press},
   issn = {0021-2172},
   keyword = {Computer Science},
   pages = {23-28},
   volume = {3},
   issue = {1},
   url = {http://dx.doi.org/10.1007/BF02760024},
   note = {10.1007/BF02760024},
   year = {1965}
}

— जोसफीन म्यूलर
स्रोत

1

आप यहाँ एक दूसरा पेज प्राप्त कर सकते हैं: mendeley.com/research/on-cliques-in-graphs/# :)

— सुरेश वेंकट

अरे! तुम्हें श्राप लगे!

— जोसेफिन मॉलर

8

नोड्स पर पूरा ग्राफ लें और एक परिपूर्ण मिलान निकालें; वहाँ अधिकतम क्लोन हैं।

2 n

$2n$

2^{n}

$2^n$

— जुका सूमेला

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वास्तविक तंग निचली बाउंड एक परिपूर्ण मिलान के बजाय तिरस्कार त्रिकोण का एक सेट निकालकर है। यह बजाय थोड़ा अधिक देता है।

3^{n / 3}

$3^{n/3}$

2^{n / 2}

$2^{n/2}$

— डेविड एप्पस्टीन

3

कृपया जवाब दें, टिप्पणी नहीं।

— सुरेश वेंकट

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मेरे पास हाथ में चंद्रमा और मोजर की एक प्रति नहीं है, लेकिन: -node ग्राफ में ( ) अलग-अलग अधिकतम की अधिकतम संख्या , , या , mod 3 के मान के अनुसार । मुझे लगता है कि यह अधिकतम गिनती के पूरक रूप में देखना थोड़ा आसान है स्वतंत्र सेट। $n$ $n>1$ $3^{n/3}$ $4\cdot 3^{(n-4)/3}$ $2\cdot 3^{(n-2)/3}$ $n$

निचली सीमा वही है जो आप वास्तव में पूछ रहे हैं, और ज्यादातर पहले से ही ऊपर की टिप्पणियों में दी गई है: और की प्रतियों के असंतुष्ट संघ से एक ग्राफ़ , जितना संभव हो सके की कई प्रतियों का उपयोग करके । प्रत्येक अधिकतम स्वतंत्र सेट में इन पूर्ण उपसमूहों में से प्रत्येक से एक नोड होता है जिसमें से सूत्र निम्नानुसार है। $K_2$ $K_3$ $K_3$

मुझे याद है कि चंद्रमा और मोजर के ऊपरी बाउंड प्रूफ में ग्राफ को निचले बाउंड फॉर्म (या मैक्सिमल क्लिक्स के लिए पूरक रूप) में शामिल किया गया है, प्रत्येक चरण में स्वतंत्र सेट या क्लिक्स की संख्या में कमी नहीं हुई है। लेकिन यह साबित करने का एक अलग तरीका है कि सभी क्लोन या स्वतंत्र सेटों को सूचीबद्ध करने के लिए सबसे खराब स्थिति-अनुकूलतम बैकग्राउंडिंग एल्गोरिदम की ओर जाता है (उदाहरण के लिए मेरे पेपर arXiv: cs / 0011009 देखें ), जिसे मैं केवल यहां स्केच करूंगा क्योंकि विवरण हैं थोड़ा थकाऊ। अगर वहाँ एक शीर्ष है तो दिए गए ग्राफ में अधिक डिग्री तीन या के , फिर से प्रत्येक अधिक से अधिक स्वतंत्र सेट या तो में एक अधिक से अधिक स्वतंत्र सेट है या यह भी शामिल है $v$ $G$ $G$ $G\setminus v$ $v$ और और उसके सभी पड़ोसियों को हटाकर से बनने वाले ग्राफ का एक अधिकतम स्वतंत्र सेट है। प्रेरण द्वारा (इन दो छोटे रेखांकन में स्वतंत्र सेट की संख्या के लिए सूत्र में प्लगिंग, कुछ मामले विश्लेषण मॉड 3 के साथ) बाध्य निम्नानुसार है। दूसरी ओर, यदि कोई उच्च डिग्री वर्टेक्स मौजूद नहीं है, तो ग्राफ पथों और चक्रों का एक अलग संघ है, जिसमें कोई भी स्वतंत्र सेट की संख्या की सीधे गणना कर सकता है। $G$ $v$

— डेविड एप्पस्टीन
स्रोत

बहुत विस्तृत उत्तर लिखने के लिए समय निकालने के लिए आपका बहुत-बहुत धन्यवाद।

— जोसेफिन म्यूलर

1

@ डेविड इपस्टीन क्या आपके पास मैक्सिमम k-plexs की संख्या पर बाध्य होने का एक समान परिणाम है (जहाँ k-plex एक क्लिक के समान है, इस तथ्य को छोड़कर कि कोई भी नोड अधिकांश k अन्य नोड्स से डिस्कनेक्ट हो सकता है)

— user844541

7

आप Fomin-Kratsch Exact Algorithms बुक में Moon-Moser प्रमेय भी देख सकते हैं

— vortk
स्रोत

6

अब तक जो जवाब दिए गए हैं, वे शानदार हैं। मुझे लगा कि मैं कुछ संदर्भ जोड़ूंगा।

मून-मोजर प्रमेय स्वतंत्र रूप से मिलर और मुलर [1960] ने एक तकनीकी रिपोर्ट में साबित किया था।
वुड [२०११] और वेटर [२०११] थ्योरम के सरल प्रमाण देते हैं, मूल रूप से डेविड द्वारा बताए गए दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए।

मिलर, आरई और मुलर, डीई 1960। अधिकतम संगत सबसेट की समस्या। IBM रिसर्च रिपोर्ट RC-240, JT वाटसन रिसर्च सेंटर, यॉर्कटाउन हाइट्स, NY।

वैटर, वी। 2011. मैक्सिमल स्वतंत्र सेट और अलग कवर । अमेरिकी गणितीय मासिक 118, 418-423।

वुड, DR 2011. एक ग्राफ में अधिकतम स्वतंत्र सेटों की संख्या पर । सीओआरआर एब्स / 1104.1243।

— सर्ज गैसपर्स
स्रोत

1

मोलर ने चंद्रमा और मोजर के लिए कहा, आपने मिलर और मुलर को जवाब दिया, और गणितीय मासिक से एक टुकड़ा। क्या चल रहा है?

— पाल जीडी

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यहां चंद्रमा और मोजर द्वारा 1965 के पेपर की एक प्रति है: http://users.monash.edu.au/~davidwo/MoonMoser65.pdf

ध्यान दें कि परिणाम वास्तव में पहली बार 1960 में मिलर और मुलर द्वारा सिद्ध किया गया था: http://users.monash.edu.au/~davidwo/MillerMuller-NumberMaximalCliques.pdf

— user26635
स्रोत