पूरी तरह से शास्त्रीय मामला (एमआईपी)
यदि सत्यापनकर्ता शास्त्रीय है और सिद्धकर्ताओं के बीच कोई पूर्व उलझाव नहीं है, तो आपकी कक्षा में BPP∪NP है और MA में समाहित है ।
यह तुच्छ है कि BPP एक निचली सीमा है। यह दर्शाने के लिए कि कक्षा में एनपी है, पूर्णता और ध्वनि की त्रुटि 1−1 / पाली के साथ 3-स्थिरता के लिए मानक दो-प्रोवर एक-राउंड इंटरैक्टिव प्रूफ सिस्टम पर विचार करें। यदि आप ध्वनि त्रुटि को निरंतर कम करना चाहते हैं, तो इसे PCP प्रमेय के साथ मिलाएं।
ऊपरी बाउंड के लिए, निम्न मजबूत कथन है: प्रतिबंध के साथ एमआईपी कि सत्यापनकर्ता से प्रत्येक संदेश में कुल संदेश की लंबाई हे (लॉग एन ) एमए के बराबर है। ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रत्येक नीतिवचन की रणनीति को बहुपद लंबाई की एक स्ट्रिंग द्वारा वर्णित किया जा सकता है।
दिलचस्प है, एक और ऊपरी बाध्य मौजूद है जब सिस्टम में पूर्णता है। पूरी तरह से, हे (लॉग एन ) के साथ पूर्ण पूर्णता के साथ मल्टी-प्रोवर इंटरैक्टिव प्रूफ सिस्टम अधिकांश पी एनपी [लॉग] पर-कुल संचार को पहचानते हैं , और यह तब भी धारण करता है जब हम अनबाउंड साउंडनेस त्रुटि की अनुमति देते हैं। दो सिद्ध करने वालों के मामले में यह साबित करने के लिए, x s को पहले prover द्वारा दिए गए सभी उत्तरों का संघटन होना चाहिए, जब पहले prover के लिए सभी प्रश्नों का एकत्रीकरण s है , और दूसरे prover के लिए y t को समान रूप से परिभाषित करें । सत्यापनकर्ता द्वारा निश्चितता के साथ स्वीकार किए जाने के लिए, ये चर x s और y t हैंकुछ बाधाओं को पूरा करना चाहिए, और ध्यान दें कि यह एक 2CSP है। ट्यूपल्स ( s , t , x s , y t ) के लिए अधिकांश पॉली ( n ) विकल्प हैं , और प्रत्येक पसंद के लिए, हम यह जांचने के लिए NP oracle का उपयोग कर सकते हैं कि क्या सत्यापनकर्ता उस tuple को अस्वीकार करता है। इसलिए, एनपी ओरेकल के साथ, हम चर पर सभी बाधाओं सूचीबद्ध कर सकते हैं एक्स रों और y टीबहुपद समय में। अंत में, हम परीक्षण करने के लिए एक बार फिर एनपी ओरेकल का उपयोग करते हैं कि क्या इन चर के लिए एक असाइनमेंट है जो सभी बाधाओं को संतुष्ट करता है। हालाँकि यह एल्गोरिथ्म कई बार NP oracle polynomially का उपयोग करता है, पिछले एक को छोड़कर सभी प्रश्नों को समानांतर में बनाया जा सकता है, और इसलिए इसे P NP [लॉग] एल्गोरिथम में बदला जा सकता है। दो से अधिक प्रूव करने वालों का मामला एक समान है।
यह ऊपरी बाध्यता तात्पर्य है कि यद्यपि प्रत्येक MA प्रणाली को पूर्णता के साथ एक में बदल दिया जा सकता है, हम O (लॉग एन ) -बिट संचार के साथ पूर्ण पूर्णता के साथ एक बहु-समर्थक इंटरैक्टिव प्रूफ सिस्टम की उम्मीद नहीं कर सकते जब तक कि MA⊆P NP [लॉग] । मुझे नहीं पता कि MA⊆P NP [लॉग] को शामिल किए जाने की संभावना कितनी कम है, लेकिन मैं सिर्फ यह ध्यान देता हूं कि Complexity Zoology बताता है कि BPP⊈ P NP (और इसलिए स्पष्ट रूप से MA⊈P NP [log] ) के सापेक्ष एक ओरेकल है ।
(एकल कहावत के मामले में, गोदरेज और होस्टेड [GH98] के प्रमेय 2 का अर्थ है कि कुल संदेश लंबाई ओ (लॉग एन ) बिट्स के साथ आईपी बीपीपी के बराबर है।)
जोड़ा गया । एक आवश्यक और पर्याप्त लक्षण वर्णन निम्नानुसार है।
इस लक्षण वर्णन की व्याख्या करने के लिए, हमें Karp reducibility (बहुपद-समय कई-एक reducibility) की धारणा का एक संस्करण चाहिए। दो निर्णय समस्याओं ए और बी के लिए , मान लें कि ए , एफपी बीपीपी -रेड्यूसीबल टू बी है (मुझे पता है, यह एक भयानक नाम है) जब बीपी ऑरेकल तक पहुंच के साथ एक नियतात्मक बहुपद-काल ट्यूरिंग मशीन एम है जो हां-मैप करता है उदाहरण के लिए हाँ-इंस्टेंसेस और नो-इंस्टेंसेस टू नो-इंस्टैंस, जहाँ हम "नॉन-स्मार्ट" ऑरेकल एक्सेस की अनुमति देते हैं (मतलब) एमBPP ओरेकल के लिए एक उदाहरण के बारे में एक प्रश्न बना सकते हैं जो BPP समस्या के वादे को पूरा नहीं करता है, जिस स्थिति में ओरेकल हाँ या कोई मनमाना रिटर्न नहीं देता है)। तब यह साबित किया जा सकता है कि समस्या ए पर निम्नलिखित स्थितियां समकक्ष हैं।
(i) A में O (लॉग एन ) -बिट कम्युनिकेशन और टू-साइड बाउंड एरर के साथ मल्टी-प्रोवर इंटरैक्टिव प्रूफ सिस्टम है ।
(ii) A में O (लॉग एन ) -बिट संचार, घातीय रूप से छोटी पूर्णता त्रुटि, और निरंतर ध्वनि त्रुटि के साथ एक दो-प्रोवर एक-राउंड इंटरैक्टिव प्रूफ सिस्टम है ।
(iii) A , NP में एक समस्या के लिए FP BPP -reducible है।
(प्रमाण विचार: आरोपण (ii) ⇒ (i) तुच्छ है। एकतरफा त्रुटि के मामले में उपर्युक्त प्रमाण के लिए निहितार्थ (i) ⇒ (iii) एक समान तरीके से प्राप्त किया जा सकता है। Implication (iii) ⇒ (ii) ) पीसीपी प्रमेय से अनुसरण करता है क्योंकि समस्याओं की श्रेणी संतोषजनक स्थिति (ii) FP BPP -redunciility के तहत बंद है ।)
उलझाऊ प्रस्तोता (एमआईपी *) के साथ शास्त्रीय सत्यापनकर्ता
अगले मामले को एक शास्त्रीय सत्यापनकर्ता और उलझाऊ प्रोवर्स के साथ विचार करें। इस स्थिति में, बाध्य त्रुटि वाले वर्ग में फिर से BPP ,NP होता है।
केम्पे, कोबायाशी, मात्सुमोतो, टोनर, और विडिक [केकेएमटीवी 11] दर्शाता है कि एनपी में हर समस्या में पूर्णता और ध्वनि त्रुटि 1−1 / पाली के साथ एक तीन-प्रोवर एक-राउंड इंटरैक्टिव प्रूफ सिस्टम है जहां संदेशों की कुल लंबाई हे ( लॉग एन ) बिट्स, और ध्वनि उलझा हुआ प्रकोपों के खिलाफ रखती है। इसलिए, MIP * कुल संदेश लंबाई O (लॉग एन ) बिट्स और बाउंड एरर में एनपी होता है। इटो, कोबायाशी, और मात्सुमोतो [IKM09] (बेशर्म प्लग) द्वारा बाद में परिणाम तीन से दो तक की संख्या को कम करता है। मेरे ज्ञान के शीर्ष पर निरंतर ध्वनि का मामला खुला है।
यह ज्ञात नहीं है कि कुल संदेश लंबाई ओ (लॉग एन ) बिट्स के साथ एमआईपी * निर्णायक समस्याओं के वर्ग आर में निहित है या नहीं, और यह सवाल पैड तर्क द्वारा एमआईपी * (R (एक और खुली समस्या) के बराबर है।
संदर्भ
[GH98] ओडेड गोदरेज और जोहान हास्टैड। बंधे हुए संचार के साथ इंटरैक्टिव साक्ष्यों की जटिलता पर। सूचना प्रसंस्करण पत्र , 67 (4): 205–214, अगस्त 1998. http://dx.doi.org/10.1016/S0020-0190%2898%2900116-1
[IKM09] त्सुशी जोतो, हिरोटदा कोबायाशी, और कीजी मात्सुमोतो। गैर-कोशिकीय रणनीतियों के खिलाफ Oracularization और दो-प्रोवर एक-दौर इंटरैक्टिव सबूत। कार्यवाही: कम्प्यूटेशनल जटिलता पर चौथा वार्षिक IEEE सम्मेलन (CCC 2009) , 217–228, जुलाई 2009। http://dx.doi.org/10.1109/CCC.2009.22
[केकेएमटीवी 11] जूलिया केम्पे, हिरोटदा कोबायाशी, कीजी मात्सुमोतो, बेन टोनर और थॉमस विडिक। उलझे हुए खेल लगभग कठिन होते हैं। कम्प्यूटिंग पर SIAM जर्नल , 40 (3): 848-877, 2011. http://dx.doi.org/10.1137/090751293