का फ़ायदा क्या है

Question

मुझे लगता है कि मैं इसे समझ नहीं हूँ, लेकिन $\eta$ एक के रूप में मेरे लिए रूपांतरण दिखता $\beta$ रूपांतरण कि कुछ भी नहीं, का एक विशेष मामला करता $\beta$ रूपांतरण जहां परिणाम सिर्फ लैम्ब्डा अमूर्त में शब्द है कोई लेना देना नहीं है, क्योंकि, एक व्यर्थ की तरह $\beta$ रूपांतरण।

तो शायद $\eta$ रूपांतरण वास्तव में गहरी कुछ और इस से अलग है, लेकिन, अगर यह होता है, मैं इसे नहीं मिलता है, और मुझे आशा है कि तुम मुझे इसके साथ कर सकते हैं।

(धन्यवाद और क्षमा करें, मुझे पता है कि यह लंबोदा पथरी में बहुत मूल बातों का हिस्सा है)

Answer 1

अद्यतन [2011-09-20]: मैं के बारे में पैरा विस्तार $\eta$ -expansion और extensionality। एक अच्छा संदर्भ इंगित करने के लिए एंटोन सलिखमेटोव को धन्यवाद।

$\eta$ रूपांतरण$(\lambda x . f x) = f$ की एक विशेष मामला है$\beta$ - रूपांतरणकेवलविशेष मामला जब में$f$ अपने आप में एक अमूर्त है, उदाहरण के लिए, अगर$f = \lambda y . y y$ तोलेकिन क्या होगा अगर f एक वैरिएबल है, या एक एप्लिकेशन जो एक अमूर्त को कम नहीं करता है?

$$(\lambda x . f x) = (\lambda x . (\lambda y . y y) x) =_\beta (\lambda x . x x) =_\alpha f.$$ $f$

एक तरह से -rule extensionality एक खास किस्म की तरह है, लेकिन हम उस कैसे कहा गया है के बारे में थोड़ा सावधान रहना होगा। हम विलुप्त होने के रूप में बता सकते हैं:$\eta$

1. सभी -terms M और N के लिए , यदि M x = N x तो M = N , या$\lambda$$M$$N$$M x = N x$$M = N$
2. सभी के लिए अगर ∀ एक्स । एफ एक्स = जी एक्स फिर एफ = जी ।$f, g$$\forall x . f x = g x$$f = g$

पहले वाला -calculus की शर्तों के बारे में एक मेटा-स्टेटमेंट है । इसमें x एक औपचारिक चर के रूप में प्रकट होता है, अर्थात, यह λ -calculus का हिस्सा है । यह से साबित किया जा सकता बीटा η -rules, में प्रमेय 2.1.29 उदाहरण के लिए देखें "लैम्ब्डा पथरी: अपनी सिंटेक्स और शब्दार्थ" Barendregt (1985) से। इसे सभी निश्चित कार्यों के बारे में एक बयान के रूप में समझा जा सकता है , अर्थात, जो कि λ -terms के denotations हैं ।$\lambda$$x$$\lambda$$\beta\eta$$\lambda$

दूसरा कथन यह है कि गणितज्ञ आमतौर पर गणितीय कथनों को कैसे समझते हैं। -calculus का सिद्धांत एक निश्चित प्रकार की संरचनाओं का वर्णन करता है, आइए हम उन्हें " λ -models " कहते हैं। एक λ -model अगणनीय हो सकता है, तो वहाँ कोई गारंटी नहीं है कि इसके बारे में हर तत्व एक से मेल खाती है λ अवधि (अधिक वास्तविक संख्या की तुलना में वहाँ के reals का वर्णन अभिव्यक्ति कर रहे हैं देखते हैं बस की तरह)। बहिरंगता तब कहती है: यदि हम λ -मॉडल में कोई दो चीजें f और g लेते हैं, यदि मॉडल में सभी x के लिए f x = g x है , तो f = $\lambda$$\lambda$$\lambda$$\lambda$$f$$g$$\lambda$$f x = g x$$x$$f = g$। अब भले ही मॉडल -ru को संतुष्ट करता है , लेकिन इस अर्थ में इसे व्यापकता को संतुष्ट करने की आवश्यकता नहीं है। (यहां संदर्भ की आवश्यकता है, और मुझे लगता है कि हमें इस बात से सावधान रहने की आवश्यकता है कि समानता की व्याख्या कैसे की जाती है।)$\eta$

ऐसे कई तरीके हैं, जिसमें हम कर सकते हैं प्रेरित - और η -conversions। मैं बेतरतीब ढंग से श्रेणी-सिद्धांत को चुनूंगा, जिसे λ -culculus के रूप में प्रच्छन्न किया गया है , और कोई अन्य व्यक्ति अन्य कारणों की व्याख्या कर सकता है।$\beta$$\eta$$\lambda$

आइए हम टाइप किए गए -calculus पर विचार करें (क्योंकि यह कम भ्रामक है, लेकिन कमोबेश यही कारण तर्क रहित λ -calculus के लिए कार्य करता है )। बुनियादी कानून है कि ऐसा करना चाहिए रखती है में से एक घातीय कानून है सी ए × बी ≅ ( सी बी ) ए । (मैं अंकन उपयोग कर रहा हूँ एक → बी और बी एक दूसरे शब्दों में, पिकिंग जो भी बेहतर दिखने के लिए लगता है।) क्या Isomorphisms कर मैं : सी ए × बी → ( सी बी ) ए और जे $\lambda$$\lambda$

$$C^{A \times B} \cong (C^B)^A.$$ $A \to B$$B^A$$i : C^{A \times B} \to (C^B)^A$ जैसा दिखता है, λ -calculusमें लिखा है? संभवतः वे i = λ f : C A × B होंगे । λ ए : ए । λ बी : बी । च ⟨ एक , ख ⟩ और j = λ छ : ( सी बी ) ए । λ पी : एक × $j : (C^B)^A \to C^{A \times B}$$\lambda$ $$i = \lambda f : C^{A \times B} . \lambda a : A . \lambda b : B . f \langle a, b \rangle$$ के एक जोड़े के साथ एक छोटे से गणना β -reductions (सहित β -reductions π 1 ⟨ एक , ख ⟩ = एक और π 2 ⟨ एक , ख ⟩ = ख उत्पादों के लिए) हमें उस बताता है, हर के लिए छ : ( सी बी ) A हमारे पास i ( j g ) $$j = \lambda g : (C^B)^A . \lambda p : A \times B . g (\pi_1 p) (\pi_2 p).$$ $\beta$$\beta$$\pi_1 \langle a, b \rangle = a$$\pi_2 \langle a, b \rangle = b$$g : (C^B)^A$ के बाद से मैं और जे एक-दूसरे के प्रतिलोम हैं, हम उम्मीद करते हैं मैं ( जे जी ) = ग्राम , लेकिन वास्तव में करने के लिए इस हम उपयोग करने की आवश्यकता को साबित η -Reduction दो बार: मैं ( जे जी ) = ( λ एक : एक । Λ ख : बी । जी एक ख ) = η $$i (j g) = \lambda a : A . \lambda b : B . g a b.$$ $i$$j$$i (j g) = g$$\eta$ इस तो होने के लिए एक कारण है η -reductions। व्यायाम: जो η -rule कि दिखाने के लिए की जरूरत है j ( मैं च ) = च ? $$i(j g) = (\lambda a : A . \lambda b : B . g a b) =_\eta (\lambda a : A . g a) =_\eta g.$$ $\eta$$\eta$$j (i f) = f$

Comments

$\beta$$\beta\eta$$\beta\eta$

$\eta$$\beta$$\eta$

$=$$=_{\beta}$$Mx=Nx$$M=N$$M=N$$M=_{\beta\eta}N$$\eta$

$M$$N$

@AndrejBauer मैं इस बात से सहमत हूं कि ensional-नियम पूर्ण बहुआयामी नहीं है, लेकिन क्या आपको नहीं लगता कि यह अभी भी अपरिमितता का एक सीमित रूप है, अर्थात यह अपरिमितता के स्पष्ट मामलों के एक वर्ग का प्रतिनिधित्व करता है। मूल प्रश्न प्रेरणाओं और अवधारणाओं की तलाश में है, और इस मामले में मेरा मानना ​​है कि व्यापकता के संदर्भ में सोच उपयोगी है (कुछ देखभाल के साथ निश्चित रूप से बहुत दूर नहीं जाने के लिए)।

— मार्क हैमन

Answer 2

इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हम संबंधित मोनोग्राफ "लैम्ब्डा कैलकुलस" से निम्नलिखित उद्धरण प्रदान कर सकते हैं। इसका सिंटैक्स और शब्दार्थ "(बेंड्रैजेट, 1981):

$\beta\eta$$\lambda$$\lambda + \text{ext}$$\text{ext}$$M x = N x \Rightarrow M = N$

$M =_{\beta\eta} N \Leftrightarrow \lambda\eta \vdash M = N \Leftrightarrow \lambda + \text{ext} \vdash M = N$

[इसका प्रमाण निम्नलिखित प्रमेय पर आधारित है।]

$\lambda + \text{ext}$$\lambda\eta$$(\text{ext}) \Rightarrow (\eta)$

$\lambda\eta$

प्रमेय। चलो$M$$N$$\lambda\eta \vdash M = N$$\lambda\eta + M = N$

एचपी-पूर्ण [हिल्बर्ट-पोस्ट के बाद] सिद्धांत पहले-क्रम तर्क के लिए मॉडल के सिद्धांत में अधिकतम सुसंगत सिद्धांतों के अनुरूप हैं।

Answer 3

$\lambda$$\beta$$\eta$

• $\lambda x y.x$$\lambda x y.y$ $\beta\eta$$\beta\eta$

• $\iota$
  

  1. $u\ =_\iota\ v \Rightarrow t\ u\ =_\iota\ t\ v$

  2. $\beta\eta$$t$$u$$t=_\iota u$$t\neq_{\beta\eta}u$

$t$$u$$t=_{\beta\eta\iota}u$

यह बोहम की प्रमेय का परिणाम है।

Answer 4

$\eta$

$=_{\beta \eta}$$\rightarrow_{\beta\eta}$$M=N$$\lambda x.M = \lambda x.N$$=_{\beta}$

$=_{\beta}$$=_{\beta\eta}$$\lambda x. Mx = M$$Mx=Nx$$M=N$

Comments

$\eta$

Theorem 2.1.29 को मोनोग्राफ में Barendregt (लैंबडा कैलकुलस और इसके शब्दार्थ, 1985) द्वारा देखें।

$\xi$ -rule।

— बाउर

और मैं बदले में बहुत खुश नहीं हूं कि खुशी और "के बारे में सुना" जैसे जवाब संबंधित संदर्भों के साथ सीधे प्रासंगिक उद्धरणों की तुलना में अधिक ध्यान आकर्षित करते हैं।

@ एटन: यह एक लोकप्रियता प्रतियोगिता है, क्या आप नहीं जानते? ;-) किसी भी तरह, के साथ क्या है$\xi$-जिसका उपयोग बारेंड्रेग में हो जाता है। मुझे याद नहीं है कि कोई भी इसे खींच रहा है$\xi$-चर्चा में आना। केवल हमारे पास$\alpha$ तथा $\beta$।

— बाउर