P- पूर्ण भाषाओं का घनत्व

मान लीजिए कि एक बुलियन भाषा है, जो से अधिक परिमित तार की है । चलो में तार की संख्या हो लंबाई के साथ । एक फ़ंक्शन लिए धनात्मक पूर्णांक से धनात्मक वास्तविक संख्या तक, में ऊपरी घनत्व यदि सभी पर्याप्त रूप से बड़े । $L$ $\{0,1\}$ $L_n$ $L$ $n$ $d(n)$ $L$ $d(n)$ $L_n \le 2^n d(n)$ $n$

क्या किसी P- पूर्ण बूलियन भाषाओं में ऊपरी घनत्व ? $O(1/n)$

प्रेरणा

स्थायित्व में ऊपरी घनत्व । YES (सभी परिमित बाइनरी स्ट्रिंग्स की भाषा) में ऊपरी घनत्व होता है 1. किसी भी परिमित भाषा में ऊपरी घनत्व 0 होता है। $1/2$
एक विरल भाषा की संपत्ति है कि एक बहुपद जैसे कि सभी । यदि एक विरल भाषा है, तो एक बहुपद से की तुलना में अधिक है , इसलिए का ऊपरी घनत्व शून्य है। $L$ $p(n)$ $L_n - L_{n-1} \le p(n)$ $n$ $L$ $L_n \le p_1(n)$ $p_1$ $p$ $L$
जिन-यी कै और डी। शिवकुमार ने दिखाया कि एक P- पूर्ण भाषा तब तक विरल नहीं हो सकती जब तक कि P = L (= LOGSPACE) न हो। पी = सह-पी के बाद से, पूरक की कोई भी भाषा तब तक पी-पूर्ण नहीं हो सकती, जब तक कि पी = एल नहीं।
एक साधारण असमानता ( रोजर और शॉनलफेल्ड 1962 के कोरोलरी 2 देखें ) द्वारा, PRIMES में ऊपरी घनत्व । प्रश्न क्या समस्याएं PRIMES, P-hard होने के कारण ज्ञात हैं? चर्चा करता है कि क्या PRIMES P- हार्ड है (यह वर्तमान में खुला हुआ प्रतीत होता है)। $(\log_2 e)/n$
कुछ अर्थों में, एक जटिलता वर्ग के लिए पूर्ण (या सार्वभौमिक) भाषाओं में कक्षा की सभी संरचना होती है। तो मेरी अस्थायी परिकल्पना, कै और शिवकुमार के परिणाम के एक जंगली अपवाद के आधार पर, यह होगा कि ऐसी भाषाएँ बहुत विरल नहीं हो सकती हैं। सामान्य बहुपद बाउंड डिफाइनिंग स्पार्स लैंग्वेज बहुत अधिक प्रतिबंधात्मक है, इसलिए मैं एक ऐसे बाउंड के बारे में पूछ रहा हूं जो थोड़ा कम प्रतिबंधात्मक है।

पर काम lowness Fortnow, Hemaspaandra, और अन्य लोगों द्वारा भी संभवतः संबंधित है।

प्रश्न को P के अलावा अन्य वर्गों से भी पूछा जा सकता है, लेकिन मैं ऐसा कोई परिणाम याद नहीं कर सकता, जो कि, -SAT के घनत्व को स्थापित करने की अनुमति दे । प्रासंगिक साहित्य की ओर संकेत सबसे स्वागत योग्य होगा। $k$

स्वीकृतियाँ

भी संबंधित प्रश्न देखें अभाज्य संख्या की सशर्त घनत्व । इस प्रश्न के पुराने संस्करण पर उपयोगी टिप्पणियों के लिए @Tsuyoshi Ito और @Kaveh का धन्यवाद, जो दुर्भाग्य से बीमार था।

cc.complexity-theory reference-request p-hardness

— आंद्रस सलामन
स्रोत

मुझे लगता है कि (या एक और बहुपद अंश) में बहुत सारे तार हैं, बेहतर सवाल ऊपरी और निचले हिस्से के बारे में पूछना है।

2^{n} / n

$2^n/n$

— कावे

मैं नहीं जानता कि क्या आम पी पूरा समस्याओं का घनत्व है, लेकिन यहाँ एक गद्दी तर्क यह है कि पता चलता है कि कैसे नीचे किसी भी घनत्व कम करने के लिए है : $1/n$

अपनी पसंदीदा P- पूर्ण भाषा । इस भाषा में कुछ घनत्व । अब । सामान्य तौर पर, कुछ फंक्शन होगा , इसलिए यह सभी आकारों के लिए को परिभाषित नहीं कर सकता है , क्योंकि हम केवल ऊपरी घनत्व के बारे में चिंतित हैं, बस यदि , तो । का ऊपरी घनत्व क्या है ? खैर, हमारे पास है $L_n \subseteq \{0,1\}^n$ $d(n) \in \omega(1/n)$ $L'_{n + m} = \{x0^m | x \in L_n\}$ $m$ $n$ $L'$ $L'_k = \emptyset$ $k \neq n + m$ $L'$

d^{'} (n + m) = \frac{| L_{n + m}^{'} |}{2^{n + m}} = \frac{| L_{n} |}{2^{n + m}} \leq \frac{d (n)}{2^{m}}

$d'(n + m) = \frac{|L'_{n + m}|}{2^{n + m}} = \frac{|L_n|}{2^{n + m}} \leq \frac{d(n)}{2^m}$

अब एक मशीन का निर्माण करने की सुविधा देता है उपयोग लॉग-कटौती के लिए एक मशीन का उपयोग कर के लिए । ठीक है, अगर आपको एक इनपुट दिया जाता है, तो इसे क्वेरी टेप पर एक बार में एक बिट कॉपी करें (यह भी गिनें कि क्या है) का उपयोग करने के लिए, फिर तक की गिनती के लिए एक दूसरे काउंटर का उपयोग करें , हर एक को जोड़ते हुए जब आप क्वेरी टेप में एक शून्य जोड़ते हैं (लॉग स्पेस होने के लिए, तो हमें और आसानी से कम्पैटिबल होने की आवश्यकता है)। फिर क्वेरी करें और आउटपुट को अपने उत्तर के रूप में वापस करें। $M$ $L$ $M'$ $L'$ $x$ $n$ $m(n)$ $m(n) \in poly(n)$

यदि हम यह सुनिश्चित करना चाहते हैं कि हम से छोटे हैं, तो बस , और फिर हमारे पास । $1/n$ $m(n) = n$ $d'(2n) \leq d(n)/2^n \in O(1/n)$

— Artem Kaznatcheev
स्रोत

धन्यवाद, यह सवाल का जवाब देता है। यह तर्क पर बहुपत्नी के रूप में से संबंधित होने पर भरोसा करता है - क्या ऊपरी घनत्व प्राप्त करने योग्य होगा?

m

$m$

n

$n$

1 / \log n

$1/\log n$

— एंड्रस सलामन

मुझे ऐसा लगता है, आपको सिर्फ m = log log n की आवश्यकता होगी। सामान्य तौर पर m = f (n) के लिए आप किसी भी f को चुन सकते हैं जो कि log-space में है (n में n के साथ)। (या यदि आप उन कटौती को पसंद करते हैं तो NC)।

— Artem Kaznatcheev