एक कटिंग प्लेन ढूँढना जो समान रूप से एक पॉलीहेड्रॉन को विभाजित करता है

Question

मान लें कि हमारे पास मानक रूप में एक पॉलीहेड्रॉन है:

$$\begin{equation*} \begin{array}{rl} \mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b} \\\\ \mathbf{x} \ge 0 \end{array} \end{equation*}$$

क्या हाइपरप्लेन खोजने के लिए कोई ज्ञात तरीका है जो पॉलीहेड्रॉन को इस तरह से विभाजित करता है कि हाइपरप्लेन के प्रत्येक तरफ कोने की संख्या लगभग समान है? (यानी एक एल्गोरिथ्म जो विभाजन के दो किनारों पर वर्टेक्स कार्डिनैलिटी के पूर्ण अंतर को कम करता है)।$\mathbf{d} \mathbf{x} +d_0= 0$

इसके अलावा, क्या इस समस्या की जटिलता के बारे में कोई ज्ञात परिणाम हैं?

परिशिष्ट: कट के प्रकारों पर प्रतिबंध:

यहाँ मूल समस्या की भिन्नता इस आशा के साथ है कि यह मूल की तुलना में हल करना आसान है:

क्या कुशलतापूर्वक गणना करने या अनुमान लगाने का एक तरीका है जिसके लिए प्रपत्र डी के एक हाइपरप्लेन को समन्वित करता हूं d i x i + d 0 = 0 विभाजन के दोनों किनारों पर वर्टेक्स कार्डिनैलिटी के सबसे कम निरपेक्ष अंतर का उत्पादन होगा? कुशल से मेरा मतलब है कि इस तरह के सभी विभाजन के लिए वर्टेक्स कार्डिनैलिटीज की संपूर्ण गणना से अधिक कुशल है।$i$$d_ix_i + d_0 = 0$

नोट: कुछ दिनों की प्रगति के बाद, मैंने यह प्रश्न MathOverflow में भी पोस्ट किया ।

Comments

किसी को यह साबित करने में सक्षम नहीं होना चाहिए कि यह एक एनपी-कठिन समस्या है?

— पीटर शोर

साभार @Peter एक सबूत बहुत अच्छा होगा। उस ने कहा, मुझे लगता है कि समस्या कठिन है, और मुझे लगता है कि मुझे अनुमान या अनुमान एल्गोरिदम में अधिक दिलचस्पी है। कटौती के प्रकारों को प्रतिबंधित करने के विचार के पीछे प्रेरणा यह देखने के लिए थी कि क्या सामान्य समस्या के आसान रूपांतर हैं जिनके लिए हम पहले से ही एक समाधान या एक अनुमान एल्गोरिथ्म जानते हैं।

— अमिलियो वाज़केज़-रीना

इन रेखाओं के साथ कुछ के बारे में कैसे (यदि यह काम करता है तो निश्चित नहीं) - हम जानते हैं कि अधिकतम द्विदलीय मिलानों की संख्या # पी-हार्ड है। हम यह भी जानते हैं कि अधिकतम द्विध्रुवीय मिलान को खोजने के लिए एक रैखिक कार्यक्रम पूरी तरह से एककोशिकीय है और इस प्रकार किसी भी कोने बिंदु / बुनियादी संभव समाधान अभिन्न है। अधिकतम द्विदलीय मिलान समस्या के लिए, मिलान का मान ज्ञात करें। बाधा के साथ एक रैखिक कार्यक्रम का निर्माण करें जिसमें किसी भी समाधान का इष्टतम मूल्य हो। फिर हर कोने बिंदु एक मेल है। समान रूप से बार-बार विभाजित करने में सक्षम होने का मतलब है कि आपको मिलानों की संख्या गिनने में सक्षम होना चाहिए।

— ऑप्ट

कोई बात नहीं। कटिंग प्लेन द्वारा जोड़े गए शीर्षकों की संख्या को गिनने में भी सक्षम होना पड़ेगा।

— ऑप्ट

Answer 1

मुझे ऐसा करने का विश्लेषणात्मक तरीका याद नहीं है!

लेकिन जेनेटिक प्रोग्रामिंग के लिए यह एक शास्त्रीय समस्या है! यदि आप इससे परिचित हैं तो आप पॉलीहेड्रोन के केंद्र में एक सामान्यीकृत वैक्टर का उपयोग कर सकते हैं जो कटिंग विमान का वर्णन करता है।

तो आपकी आबादी [x, y, z, ...] का एक सेट है जो सामान्यीकृत वैक्टर हैं और फिटिंग फ़ंक्शन के रूप में आप 2 विभाजित संस्करणों के बीच के अंतर का उपयोग करते हैं!

इसलिए, यदि अंतर अधिक "फिट" शून्य हो जाता है, तो आपका वेक्टर / प्लेन है!

Comments

क्षमा करें, क्या आप कह सकते हैं कि फिर से आनुवंशिक-प्रोग्रामिंग भाषा का उपयोग किए बिना? "जनसंख्या" क्या है? "फिटिंग फ़ंक्शन" क्या है?

— जेफ