P के बाहर की समस्याएं जो P- हार्ड नहीं हैं

Question

एक पढ़ते समय पीटर शोर से जवाब और एक पहले एडम Crume द्वारा प्रश्न मुझे एहसास हुआ कि मैं क्या यह होने का क्या मतलब के बारे में कुछ गलतफहमी है कि $\mathsf{P}$ -हार्ड।

एक समस्या अगर में कोई समस्या है, तो यह (या यदि आप ) को पसंद करते हैं, तो यह कमी है। एक समस्या बाहर है यदि इसे हल करने के लिए एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म मौजूद नहीं है। इसका मतलब यह है कि होनी चाहिए जो कि बाहर लेकिन नहीं हैं । अगर हम कि FACTORING बाहर है , तो पीटर शोर का जवाब बताता है कि FACTORING ऐसी समस्या हो सकती है।पी एल एन सी पी पी पी $\mathsf{P}$$\mathsf{P}$$\mathsf{L}$$\mathsf{NC}$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}$

क्या कोई ज्ञात समस्या (प्राकृतिक या कृत्रिम) है जो बाहर बिछाने के लिए जानी जाती है, लेकिन नहीं है ? फैक्टरिंग धारणा से कमजोर धारणाओं के बारे में क्या? क्या इस जटिलता वर्ग का कोई नाम है?$\mathsf{P}$$\mathsf{P}$

Answer 1

अगर $\mathsf{P} \neq \mathsf{L}$ तो कोई विरल सेट (यहां तक कि एक गैर गणनीय एक) हो सकता है $\mathsf{P\text{-}hard}$ ।

एक रैखिक क्रम बनाने के रूप में जटिलता कक्षाएं (और कम्प्यूटेशनल समस्याओं) के बारे में सोचने से गलत धारणा आती है जो सच नहीं है। एक समस्या के लिए "कठोरता" शब्द का उपयोग कक्षा में अन्य समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है, गलत धारणा में भी योगदान देता है। एक समस्या के लिए एक नीच (यानी एक जटिलता वर्ग में नहीं होने) का अर्थ यह नहीं है कि समस्या वर्ग के लिए कठिन है (अर्थात कक्षा में अन्य समस्याओं को हल करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है)। मुझे नहीं पता कि "कठोरता" के लिए बेहतर वैकल्पिक शब्दावली है जो वर्तमान में उपयोग में है, एक जो पिछले दशकों में उपयोग की गई है, वह है "सार्वभौमिकता" (जो, IMHO, ने अवधारणा को अधिक विश्वासपूर्वक व्यक्त किया, और फिर हम इस्तेमाल कर सकते थे। कक्षा में नहीं होने के लिए "कठोरता", लेकिन स्थापित शब्दावली को बदलना बहुत मुश्किल है)।

Comments

कुछ ईयूलर डायग्राम मैंने कॉम्प्लेक्सिटी क्लासेस से देखे हैं, उन्होंने मेरे लिए दूसरी गलत धारणा को भी जन्म दिया है, जो मुझे लगता है कि एक्स-कठोरता के बारे में मेरे भ्रम का कारण है।

— Artem Kaznatcheev

@ आर्टेम, हाँ, यह भी एक कारक है। यहाँ मैं कक्षा में क्या कर रहा हूँ: मैं की अतुलनीयता का उल्लेख करता हूँ और$\mod p$ के तहत एक सी 0 में कटौती, उम्मीद है कि यह छात्रों से बचने के बारे में सोच है कि सब कुछ रैखिक आदेश दिया है में मदद मिलेगी। $\mod q$$\mathsf{AC^0}$

— कावे

कुल आदेश भाग के साथ मुझे बहुत कम समस्याएं हैं। विशेष रूप से, मुझे लगता है कि एनपी और coNP यह दिखाने के लिए पर्याप्त हैं कि हमें कुल वर्गों वाले जटिलता वर्गों के बारे में नहीं सोचना चाहिए।

— Artem Kaznatcheev

@ आर्टम, अच्छी बात (हालांकि हम यह साबित नहीं कर सकते कि वे अलग हैं)। मुझे लगता है कि शब्दावली का कारण उचित लोअरबाउंड की कमी है, हमारे पास सैट के लिए एक अच्छा नीचा नहीं है, लेकिन हम सोचते हैं कि इसे हल करना मुश्किल है क्योंकि यह सार्वभौमिक है, लेकिन "सार्वभौमिक" शब्द नहीं है कठिनाई का वही एहसास दें जैसा कि "कठिन" करता है, विशेष रूप से गैर-विशेषज्ञों को। लेकिन यह समस्या पैदा करता है क्योंकि यद्यपि कोई यह तर्क दे सकता है कि समस्या की सार्वभौमिकता का अर्थ है कि समस्या को हल करना मुश्किल है, समस्या को हल करने की कठिनाई का मतलब यह नहीं है कि समस्या सार्वभौमिक है।

— कावे

अर्थात सार्वभौमिक समस्याएं कठिन हैं (कम से कम वर्ग में किसी भी समस्या के रूप में कठिन), लेकिन कठिन समस्याओं को सार्वभौमिक होने की आवश्यकता नहीं है।

— कावे

Answer 2

मुझे लगता है कि आप में ऐसा सेट नहीं बना सकते हैं जो एक लेडनर-शैली तर्क से पी- भार नहीं है। यहाँ एक विशिष्ट उदाहरण है।$P$$P$

उनके पेपर "ए यूनिफॉर्म अप्रोच टू ओब्जेक्ट डायगोनल सेट टू कॉम्प्लेक्सिटी क्लासेस" (सिद्धांत। कंप। विज्ञान। 18, 1982) में, शॉनिंग निम्नलिखित सिद्ध करता है:

प्रमेय मान लीजिए , ए 2 ∉ सी 2 , सी 1 और सी 2 रिकर्सिवली आकर्षक जटिलता वर्ग हैं और परिमित विविधताओं के तहत बंद हो जाती हैं। फिर एक सेट ए ऐसा है कि ए set सी $A_1 \notin C_1$$A_2 \notin C_2$$C_1$$C_2$$A$$A \notin C_1$ , , और अगर एक 1 ∈ पी और एक 2 तुच्छ (खाली सेट या सभी स्ट्रिंग्स) नहीं है तो एक को polytime कई-एक कम करने योग्य है एक 2 ।$A \notin C_2$$A_1 \in P$$A_2$$A$$A_2$

इस लागू करने के लिए सेट खाली सेट होने के लिए, और एक 2 होने के लिए ई एक्स पी polytime कटौती के तहत -Complete, सेट सी 1 के सेट हो पी कि में हैं -हार्ड सेट ई एक्स पी , सेट सी 2 = पी । खाली सेट नहीं किया जा सकता पी -हार्ड (की परिभाषा पी -hardness के लिए एक भाषा की आवश्यकता है है कि वहाँ की भाषा में कम से कम एक उदाहरण और एक उदाहरण नहीं में)। A 2 निश्चित रूप से C 2 में नहीं है । द C 1 और$A_1$$A_2$$EXP$$C_1$$P$$EXP$$C_2 = P$$P$$P$$A_2$$C_2$$C_1$ को उपरोक्त शर्तों को पूरा करने के लिए सत्यापित किया जा सकता है ( N P -complete सेट केलिए Schoening यह कैसे करता है (इसी तरहयह संबंधित प्रश्न देखें)। इसलिए हम एक मिल एक है कि एक नहीं है पी में -हार्ड समस्या ई एक्स पी , और कहा कि एक में नहीं है पी । लेकिन क्योंकि एक 1 ∈ पी और एक 2 nontrivial है, एक कई-एक एक को कम करने योग्य है ई एक्स पी -Complete सेट, तो यह है ई एक्स पी । इसलिए, विशेष रूप से,$C_2$$NP$$A$$P$$EXP$$A$$P$$A_1 \in P$$A_2$$A$$EXP$$EXP$$A$ भार भी नहीं हो सकता ।$P$

ऊपर तर्क में, करने के लिए प्रतिबंध समस्याओं -हार्ड में ई एक्स पी , पुनरावर्ती प्रदर्शनीयता सुनिश्चित करने के लिए आवश्यक है के बाद से एक पूरे के रूप पी कठिन समस्याएं हैं रिकर्सिवली आकर्षक और यहां तक कि गणनीय नहीं नहीं । अब, इसके "प्राकृतिक" उदाहरण एक अलग कहानी है ...$P$$EXP$

Comments

मुझे पसंद है कि यह कैसे माध्यम से जाता है । जब तक मैंने कुछ गलत नहीं समझा। $L = P$

— Artem Kaznatcheev

@ आर्ट: यदि आप लॉग-स्पेस रिड्यूसबिलिटी के तहत कठोरता पर विचार करते हैं, तो हर एनओन्टिव भाषा एल-हार्ड है। इसलिए, यदि L = P, P के बाहर कोई भाषा नहीं है, तो लॉग-स्पेस रिड्यूसबिलिटी के तहत P- हार्ड हैं।

— त्सुयोशी इतो

Answer 3

P के बाहर नहीं बल्कि P- हार्ड की समस्याएँ उत्पन्न करने का एक और तरीका है P के साथ अतुलनीय कक्षाओं के लिए पूरी तरह से समस्याएँ उठाना। कहो कि एक वर्ग X, P के साथ अतुलनीय है, इस अर्थ में कि न तो दूसरे का एक सबसेट है। तब P के बाहर X- पूर्ण समस्या आवश्यक है (अन्यथा P में X शामिल होगा) और P- हार्ड नहीं है (अन्यथा X में P शामिल होगा)।

मैंने पी के साथ कुछ कक्षाओं को अतुलनीय समझने की कोशिश की, लेकिन पी एक बहुत मजबूत वर्ग है, इसलिए ऐसी कई कक्षाएं नहीं हैं। उदाहरण के लिए, RNC और QNC, P। DSPACE ( ) के साथ अतुलनीय हो सकता है, P के साथ भी अतुलनीय हो सकता है। PolyL P के साथ अतुलनीय है, लेकिन लॉगस्पेस रिडक्शन के तहत पूर्ण समस्याएं नहीं हैं।$\log^2$

Comments

मेरी राय में, यह लगभग एक ही सवाल है अलग तरह से व्यक्त किया गया है, और यह जरूरी नहीं कि सवाल का जवाब देने का एक तरीका है। वास्तव में, भाषा A न तो P में है और न ही पी-हार्ड यदि और केवल तभी भाषाओं का ए से पी तक अनुपयोगी होना P के साथ अतुलनीय है (अपनी पसंदीदा धारणा को फिर से लें)। जब तक वर्तमान प्रश्न का संबंध है, मुझे लगता है कि यह विपरीत दिशा में उपयोगी होने की अधिक संभावना है; यही है, यह वर्तमान प्रश्न के उत्तर की व्याख्या करने का एक और तरीका है।

— त्सुयोशी इतो